高考数学B版真题及模拟：直线、圆的位置关系

直线、圆的位置关系高考理数

(北京市专用)A组

自主命题·北京卷题组(2014北京,19,14分,0.52)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位

置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为

+

=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故椭圆C的离心率e=

=

.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以

·

=0,即tx0+2y0=0,解得t=-

.当x0=t时,y0=-

,代入椭圆C的方程,得t=±

,故直线AB的方程为x=±

.圆心O到直线AB的距离d=

.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=

(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=

.又

+2

=4,t=-

,故d=

=

=

.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.评析本题考查了椭圆的相关知识,直线与圆的位置关系,坐标法等知识;考查数形结合思想、

推理论证能力.B组

统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△

ABP面积的取值范围是

()A.[2,6]

B.[4,8]

C.[

,3

]

D.[2

,3

]答案

A本题考查直线与圆的位置关系.由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r=

,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S=

|AB|·d.易知|AB|=2

,dmax=

+

=3

,dmin=

-

=

,所以2≤S≤6,故选A.方法总结与圆有关的最值问题的解题方法(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.①形如u=

的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截

距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=

()A.-

B.-

C.

D.2答案

A圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为

=1,解得a=-

.故选A.3.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是

()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+

=0或2x+y-

=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+

=0或2x-y-

=0答案

A切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得

=

,解得c=±5.故选A.4.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作

圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=

()A.2

B.4

C.6

D.2

答案

C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=

=

=6.故选C.5.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB

为直径的圆C与直线l交于另一点D.若

·

=0,则点A的横坐标为

.答案3解析本题考查直线与圆的位置关系.设A(a,2a),a>0,则C

,∴圆C的方程为

+(y-a)2=

+a2,由

得

∴

·

=(5-a,-2a)·

=

+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标为3.一题多解由题意易得∠BAD=45°.设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=-

,∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程为y=-3(x-5),由

得xA=3.

6.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-

=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2

,则|CD|=

.答案4解析由题意可知直线l过定点(-3,

),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,

),由于|AB|=2

,r=2

,所以圆心到直线AB的距离为d=

=3,又由点到直线的距离公式可得d=

=3,解得m=-

,所以直线l的斜率k=-m=

,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2

,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|=

=4.

解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法

求解.7.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相

切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为

.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为

=

,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2

=

.答案2解析由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此

或

故a2+b2=1+1=2.

评析本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方

法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.9.(2014课标Ⅱ,16,5分,0.293)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的

取值范围是

.答案[-1,1]解析解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.

解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin45°≤1,∴OM≤

,∴OM2≤2,∴

+1≤2,∴

≤1,∴-1≤x0≤1.评析本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.C组

教师专用题组1.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且

M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是

()A.(1,3)

B.(1,4)

C.(2,3)

D.(2,4)答案

D当直线AB的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,kAB>0和kAB<0时各有一条满足题意的直线l.设圆的圆心为C(5,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=

,y0=

,∴kAB=

=

=

.∵kCM=

,且kABkCM=-1,∴x0=3.∴r2=(3-5)2+

>4(∵y0≠0),即r>2.另一方面,由AB的中点为M知B(6-x1,2y0-y1),∵点B,A在抛物线上,∴(2y0-y1)2=4(6-x1),①

=4x1,②由①,②得

-2y0y1+2

-12=0,∵Δ=4

-4(2

-12)>0,∴

<12.∴r2=(3-5)2+

=4+

<16,∴r<4.综上,r∈(2,4),故选D.2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与

直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为

()A.

πB.

πC.(6-2

)πD.

π答案

A由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面

积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂

线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=

.∴圆C面积的最小值为π

=

π.故选A.

评析本题考查了直线和圆的位置关系.考查了数形结合的思想方法.利用圆的性质和点到直

线的距离公式得到圆的直径的最小值为OE的长度是求解的关键.3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若

·

≤20,则点P的横坐标的取值范围是

.答案[-5

,1]解析本题考查平面向量的数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆的相交.解法一:设P(x,y),则由

·

≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得

解得

或

即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),

易知-5

≤x≤1.解法二:设P(x,y),则由

·

≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),

同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),易知-5

≤x≤1.4.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不

存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=

,y0=

.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=

,所以x0=

,代入直线l的方程,得y0=

.因为

+

=

+

=

=

=3x0,所以

+

=

.由(*)解得t2<

,又t2≥0,所以

<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为

+y2=

.(3)由(2)知,曲线C是在区间

上的一段圆弧.如图,D

,E

,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式Δ=0,解得:k=±

,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I=

∈

,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈

∪

.

5.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.

规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥

两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C

位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=

.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

解析解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-

.因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=

.设点B的坐标为(a,b),则kBC=

=-

,kAB=

=

.解得a=80,b=120.所以BC=

=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-

(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=

=

.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以

即

解得10≤d≤35.故当d=10时,r=

最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.

因为tan∠FCO=

,所以sin∠FCO=

,cos∠FCO=

.因为OA=60,OC=170,所以OF=OCtan∠FCO=

,CF=

=

,从而AF=OF-OA=

.因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=

.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=

,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=

=

=

=

,所以r=

.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以

即

解得10≤d≤35.故当d=10时,r=

最大,即圆面积最大.所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.评析本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学

模型及运用数学知识解决实际问题的能力.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:20分钟分值:35分)一、选择题(每题5分,共15分)1.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y2=8x的准线与圆心为C的圆x2+y2+2x-8=0交于A,B两点,则|

-

|等于

()A.2

B.2

C.2

D.4

答案

D易知圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为3,则|

-

|=|

|=2

=4

,故选D.2.(2017北京海淀二模,4)圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x|-1的公共点的个数为

()A.4

B.3

C.2

D.0答案

D圆的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.y=|x|-1=

圆心(0,1)到直线y=x-1(或y=-x-1)的距离d=

>1,故公共点的个数为0.故选D.3.(2016北京海淀二模,8)已知直线l:ax+

y-1=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,直线l与圆O:x2+y2=1的交点为C,D.给出下面三个结论:①∀a≥1,S△AOB=

;②∃a≥1,|AB|<|CD|;③∃a≥1,S△COD<

.其中,正确结论的序号是

()A.①②

B.②③C.①③

D.①②③答案

C由ax+

y-1=0得A

,B(0,a),S△AOB=

·

=

,故①正确;设原点到直线l的距离为h,因为S△AOB=

|AB|h=

|OA|·|OB|=

,S△COD=

|CD|h=

|OC|·|OD|·sin∠COD≤

,所以|AB|≥|CD|,故②错误,③正确.选C.4.(2017北京西城一模,12)曲线

(θ为参数)与直线x+y-1=0相交于A,B两点,则|AB|=

.二、填空题(共5分)答案2解析将曲线的参数方程化为普通方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心为(0,1),∵直线x+y-1=0过圆心,∴AB为圆的直径,|AB|=2.5.(2018北京西城一模,19)如图,已知圆O:x2+y2=4和椭圆C:x2+2y2=4,F是椭圆C的左焦点.(1)求椭圆C的离心率和点F的坐标;(2)点P在椭圆C上,过P作x轴的垂线,交圆O于点Q(P,Q不重合),l是过点Q的圆O的切线.圆F的圆

心为点F,半径长为|PF|.试判断直线l与圆F的位置关系,并证明你的结论.

三、解答题(共15分)解析(1)由题意,椭圆C的标准方程为

+

=1,所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=

.故椭圆C的离心率e=

=

.椭圆C的左焦点F的坐标为(-

,0).(2)直线l与圆F相切.证明如下:设P(x0,y0),其中-2<x0<2,则

+2

=4,依题意可设Q(x0,y1),则

+

=4,直线l的方程为y-y1=-

(x-x0),整理为x0x+y1y-4=0.所以圆F的圆心F到直线l的距离d=

=

.因为|PF|2=(x0+

)2+

=(x0+

)2+

(4-

)=

+2

x0+4,所以|PF|2=d2,即|PF|=d,所以直线l与圆F相切.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:45分)一、选择题(每题5分,共15分)1.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且△OAB为正三角形,

则实数m的值为

()A.

B.

C.

或-

D.

或-

答案

D如图,过O作OC⊥AB,则C为AB的中点,|BC|=

,所以|OC|=

=

=

,所以|OC|=

=

,所以m=±

.

2.(2017北京海淀一模,6)已知曲线C:

(t为参数),A(-1,0),B(1,0).若曲线C上存在点P满足

·

=0,则实数a的取值范围为

()A.

B.[-1,1]

C.[-

,

]

D.[-2,2]答案

C解法一:∵A(-1,0),B(1,0),曲线C上存在点P满足

·

=0,∴点P的轨迹方程是x2+y2=1.曲线C的普通方程为y=x+a,圆心(0,0)到曲线C的距离d=

,由题意,

≤1,即-

≤a≤

,∴选C.解法二:曲线C的普通方程为y=x+a,设P(x0,x0+a),则

=(x0+1,x0+a),

=(x0-1,x0+a),因为曲线C上存在点P满足

·

=0,所以

-1+

+2ax0+a2=0,即2

+2ax0+a2-1=0,只需方程2

+2ax0+a2-1=0有实根,所以Δ=4a2-4·2(a2-1)≥0,解得-

≤a≤

.方法点拨当直线和圆以参数方程的形式给出时,常用方法为将参数方程化为普通方程,通过

研究直线和圆的位置关系解题,也可以直接利用直线的参数方程找到等量关系,构造方程或不

等式解题.3.(2016北京西城二模,8)设直线l:3x+4y+a=0,圆C:(x-2)2+y2=2,若圆C上存在两点P,Q,直线l上存

在一点M,使得∠PMQ=90°,则a的取值范围是

()A.[-18,6]

B.[6-5

,6+5

]

C.[-16,4]

D.[-6-5

,-6+5

]答案

C如图,在圆C上取P、Q两点,连接PQ,设弦心距为x,以PQ为直径作圆D,与直线3x+4y+

a=0相切,此时圆心C(2,0)到直线3x+4y+a=0的距离d=x+

|PQ|=x+

,∴d2=2+2x

≤2+2=4(当且仅当x=1时取“=”),∴

≤2,解得-16≤a≤4,故选C.

解题关键数形结合,把圆心C到直线l的距离等价转化是解题关键.4.(2018北京一六一中学期中,9)已知圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则

圆C的方程为

.二、填空题(每题5分,共15分)答案(x-1)2+(y+1)2=2解析∵圆心在x+y=0上,∴设圆心坐标为(a,-a).∵圆C与直线x-y=0和x-y-4=0都相切,∴

=

=r,解得a=1,r2=2,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.思路分析不妨设圆心为(a,-a),将相切的条件转化为方程,即可求a和半径,从而得到圆C的方

程.方法总结求圆的方程一般设标准形式,利用待定系数法求解.5.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM面

积的最小值为

.答案2解析圆M:x2+y2-2x+2y=0可化为(x-1)2+(y+1)2=2,故圆心为(1,-1),半径r=

.因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2

.要求△ABM面积的最小值,只需求圆上的动点M到直线AB的距离d的最小值,而圆心(1,-1)到直线AB的距离为2

,所以dmin=2

-r=2

-

=

,所以S△ABM的最小值为

·|AB|·dmin=

×2

×

=2.

思路分析|AB|为定值,要求△ABM面积的最小值,只需求圆上的动点M到直线AB的距离的最小值.6.(2016北京朝阳二模,14)在平面直角坐标系xOy中,以点A(2,0)、曲线y=

上的动点B、第一象限内的点C为顶点构成等腰直角三角形ABC,且∠A=90°,则线段OC长的最大值是