学习报告(数学)

新绛中学学生学习报告班级：0916班 姓名：柴海豪 科目：数学数列通项公式求法集锦求取数列通项公式的题目繁多，但解题原理贯穿于始终，故而方法便成了解题之关键！[典例直击]A、“规律型”（已知数列的前n顶，求该数列的通项公式）1、写出下列数列的通项公式（1）（2）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…（3）3，5，9，17，33，…（4）（5）7，77，777，…（6）（7）0，（8）[点拨]观察数列特点或将其先变形，找出各项与序号n之间的关系[解]（1）原数列可改写为1+1，2+，3+，4+，5+，…即故原数列的一个通项公式为an=n+（2）数列的奇数项与顶数相等，偶数项比项数大1。故此数列可改写为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，…故此数列可看成数列{bn}：0，1，0，1，0，1，…与数列{cn}：1，2，3，4，5，6，…对应项之和。又bn=，cn=n，所以原数列的一个通项公式为an=n+（3）数列的前n项可记为21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，…，∴an=2n+1（4）数列的整数部分1，2，3，4…恰好是序号n分数部分与序号的关系为∴数列的通项公式an=n+=（5）将原数列改写为易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为an=10n—1，∴所求数列an=（6）数列偶数项为负，奇数项为正，故而通项公式中必含因式(—1)n+1等2项—1改写成后，数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号n的关系可记为2n+1。而各项分子为2，5，10，17，26，…，与序号n的关系可记为n2+1∴数列的一个通项公式为an=(—1)n+1（7）∵5=22+110=32+117=42+1∴an=（8）原数列可写成∴an=(—1)n+1[方法提取]（1）负号的调解用—1n/(—1)n+1[一个数列偶负奇正，则通项公式的含因式(—1)n+1]（2）在解决有关分式的数列时，分子、分母分开求通项。（3）记忆一些常见的通项公式。①正数数列1，2，3，4，…，an=n②1，3，5，7，…，an=2n—1③2，4，6，8，…，an=2n④—1，1，—1，1，…，an=(—1)n⑤1，—1，1，—1，…，an=(—1)n+1⑥1，2，4，8，…，an=2n—1⑦1，4，9，16，…，an=n2⑧1，…，an=⑨9，99，999，…，an=10n—1⑩7，77，777，…，an=(10n—1)B、“已知Sn，求an”2、已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n有2an=Sn+。则求数列{an}的通项公式。解：∵2an=Sn+∴Sn=2an—当n≥2时，an=Sn—Sn—1=2an——2an—1+=2an—2an—1∵ ∴{an}为一等比数列当n=1时，an=S1=2an—∵a1=∴an=·2n—1=2n—2[方法提取]已知Sn求an的方法：（1）当n≥2时，an=Sn—Sn—1（2）当n=1时，a1=S1（3）检验，若满足，则an即为通项公式，若不满足则分段表示。C、“累加法”3、一个数列{an}，a1=1，an+1=an+2n，则数列{an}的通项公式。解：∵an+1=an+2nan+1—an=2n∴a2—a1=2×1a3—a2=2×2a4—a3=2×3a5—a4=2×4……an=an—1=2(n—1)以上各式两边均相加，可得：an—a1=2(1+2+3+…+n—1)=2×=n2—n∴an=n2—n+1[方法提取]若一数列满足“an+1—an=f(n)”的形式，则用累加法。D、“累乘法”4、已知一个数列{an}，且a1=1，an+1=an·上述两边同时相乘，则∴∴[方法提取]若一数列满足=f(n)，则适和“累乘法”。E、“柯造数列法”5、已知一个数列{an}，且满足a1=2，an=2an—1—1，则求该数列的通项公式。解：an+λ=2(an—1+λ)①an+λ=2an—1+2λ∵an=2an—1—1∴λ=1将λ=1代入①式中，得：an—1=2(2an—1—1)∴{an—1}是一等比数列∴an—1=an·qn—1=1·2n—1=2n—1∴an=2n—1+1[方法提取]①柯造“λ”，使其构造成一数列进而求解；②公式法：an=kan—1+d（λ=）新绛中学学生学习报告班级：0909班 姓名：吴若 科目：数学恒成立问题初探恒成立问题中求参数的范围各类试题中的热点题型，多以8分或10分的中等难度题出现，下面看它的求解方法：1、简单恒成立问题的总结也可等于例：若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立，求实数a的取值范围。解：当a=0时，2x+2>0，解集不为R，故a=0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式解集为R，只需综上，所求实数a的取值范围为（，+∞）2、最值法（或分离参数法）将含参数a的关于x的不等式，通过分离参数a后，当f(x)的最值存在时有以下充要条件：可等于例：已知三个不等式①x2—4x+3≤0，②x2—6x+8≤0，③2x2—9x+m≤0要使同时满足①②的所有x的值满足③，求m的取值范围。解：由①②得2≤x≤3，要使同时满足①②的所有x的值满足③，即2x2—9x+m≤0在x∈[2，3]上恒成立，即m≤—2x2+9x在x∈[2，3]上恒成立，又—2x2+9x在x∈[2，3]上最小值为9，由恒成立原理，得m≤9。3、根的分布法对于二次函数在区间[α，β]内有（1）f(x)=ax2+bx+c>0（a>0）在[α，β]上恒成立（2）f(x)=ax2+bx+c<0（a>0）在[α，β]上恒成立例：已知不等式(1—m)x2+(m—1)x+3>m在x∈[—2，2]上恒成立，求m的取值范围。解：（1）当m>1时，m—1>0，原题即为(m—1)x2+(1—m)x+m—3<0成立，只须(m—1)(—2)2+(1—m)(—2)+m—3<0 (m—1)22+(1—m)2+m—3<0（2）当m=1时，不等式在[—2，2]上显然成立。（3）当m<1时，1—m>0，因—＝∈[—2，2]故只须Δ=(m—1)2—4(1—m)(3—m)<0，解得m<1综合（1）（2）（3），知m的取值范围为m<4、数形结合法若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边函数的图象，则可以画图直接判断得出结果，尤其对于选择题、填空题，这种方法更显方便、快捷。例：当x∈（0，+∞）时，不等式x2+2ax+a2—a—>0恒成立，求实数a的取值范围。解：令f(x)=x2+2ax+a2—a—，则对称轴x=—a，Δ=4a2—4×1×(a2——)=2a+b（1）Δ<0，即a<—3，x∈R,f(x)>0恒成立，a<—3满足条件；（2）Δ≥0，若x∈（0，+∞）时，恒有f(x)>0；综（1）（2）知，实数a的取值范围：（—∞，—3）∪[，+∞]新绛中学学生学习报告班级：0909班 姓名：高瑞雪 科目：数学数列通项公式求法集锦公式法若已知数列为等差或等比数列，求出首项，公差或公比，运用公式an=a1+(n—1)d，an=a1·qn—1或an=am+(n—m)d，an=am·qn—m例题：在等差数列{an}中，已知a4+a6=28，a7=20，求an∵a4+a6=2a5=28 ∴a5=14∵a7=a5+2d=20 ∴d=3∴an=a5+(n—5)×3=14+3n—15=3n—1已知Sn求an三步曲①n≥2时，an=Sn—Sn—1②n=1时，a1=S1③检验：将n=1代入an，看是否满足若满足an=,若不满足an=n=1或n≥2例题：数列{an}的前n项和Sn=3n2—2n+1，则它的通项公式（1）n≥2an=Sn—Sn—1=3n2—2n+1—3(n—1)2+2(n—1)—1=6n—5（2）n=1a1=S1=3×1—2×1+1=2（3）检验n=1a1=6×1—5=1（不等合）∴an=2(n=1)6n—5（n≥2）累加法若题干给出an+1—an=f(n)，此形式时采用累加法，变形an+1=an+f(n)例题：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，则an=由题意得an+1—an=2nn=1a2—a1=2n=2a3—a2=4n=3a4—a3=6n=n—1an—an—1=2(n—1)把上面各式相加an—a1=2+4+6+…+2(n—1)an—a1==n2—nan=n2—n+1累乘法若题干给出=f(n)，此形式时采用累乘法，变形an+1=f(n)·an例题：已知数列{an}满足a1=1，=，求ann=1n=2n=n—1n=3把上面各式相乘an=构造法a、对于可an+1=kan+m（一次函数）一般构造等比数列{an+λ}λ=例题：已知数列{an}a1=1an+1=2an+1（1）求证{an+1}为等比数列；（2）求an的表达式；解：（1）证明：q={a}是一个与n无关的等比数列。（2）数列{an+1}是以a1+1=2为首项，q=2为公比的等比数列an+1=2×2n—1=2nan=2n—1b、对于an=c·an±1+kcn→构造等差数列例题：已知a1=1，an=2，an—1+2n∵an=2an—1+2n两边同除以2n∴∴∴{}是以为首项，公差为1的等差数列∴=+(n—1)=n—∴an=(n—)·2n新绛中学学生学习报告班级：0909 姓名：陈锦苗 科目：数学数列前n项和求法集锦对于我们数学的必修五来说，重点考来考去无非就那么几个重点。而失分较多的，也总在最后一道大题：数列问题上。今天，我重点向大家介绍解决数列前n项和的求法。一共有四大类。公式法大家都知道等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d.等比数列的通项公式an＝a1qn－1.那么，如果知道了通项公式，我们就可以通过等差数列前n项的求和公式Sn＝或Sn＝na1+d,等比数列前n项求和公式Sn＝或Sn＝.不过，我们一般采用的都是Sn＝/Sn＝,计算起来比较方便。（对于等差数列，求其前n项和，我们只需得知首项及末项；对于等比数列，则需要分类讨论：n＝1；n≠1这两种情况一般不用分，就怕出现特殊情况，所以平常多注意）在这里，我们举一个等比数列的例子例：设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f(n)的值是多少？解析：通过观察可知，该数列是以2为首项，8为公比的等比业数列，f(n)为其前n项和，那么选用Sn＝便可得出答案。解：∵f(n)是以2为首项，8为公比的等比数列的前n项和，∴f(n)＝2+24+27+210+…+23n+10＝＝(8n+4－1)错位相减法若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的相对项乘积组成的新数列为{an·bn}，当求该数列的前n项的和时常常采用将{an·bn}的各项乘以公比q，并向后错一项与{an·bn}的同次项对应相减即可转化为特殊数列的求和，所以我们把这种数列求和的方法称为错位相减法，这种方法也同样适用于{}所以，错位相减法，说白了就是适用{等差·等比}或{}数列，只需要将其前n项和后n项分别列出来，即Tn＝a1·b1+a2·b2+a3·b3+a4·b4+…+an·bn.然后再分别乘以等比数列的公式q，即qTn＝qa1·b1+qa2·b2+qa3·b3+qa4·b4+…+qan·bn.再（1－q）Tn即可得到。例：求和：Sn＝1×+3×+5×+…+解析：由最后一项an＝可以得知该数列为。∴选用错位相减法。解：∵Sn＝1×+3×+5×+…+(2n-1) =1\*GB3① ∴Sn＝1×+3×+…+(2n-3)×+(2n-1)× =2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得Sn＝1×+2×+2×+2×—（2n—1）× ＝1×+—(2n－1)× ＝—∴Sn＝3—（n∈N+）分组求和法此方法主要适用于{等差±等比}，只要碰到这类问题，分别求等差和等比的前n项和，最后再加/减一下即可。例：求数列1,3,5,…[(2n—1）+]的前n项和解析：分析数列选用分