专题4-空间机构运动分析

Kinematics如图8.2.1-1所示为由两个转动副和两个球面副组成的空间RSSR四杆机构。原动件1和从动件3分别同机架4组成转动副并分别成为曲柄和摇杆，故此机构又称为空间曲柄摇杆机构。在已知各杆长度l1、l2、l3的前提下，对空间曲柄摇杆机构进行运动分析的主要任务是确定从动件3随原动件1的转角q1和等角速度w1转动而变化的角位移、角速度和角加速度的函数关系为了将机构的运动问题抽象成坐标系的变换问题，在需要分析运动的构件上固结相应的直角坐标系。该四杆机构需要建立三个坐标系：机架4坐标系o4x4y4z4；原动件1坐标系o1x1y1z1；从动件3坐标系o3x3y3z3。

坐标系的设置与选择，通常是先选定各个z轴，然后再确定各个x轴。

确定z轴

构件1与3分别同机架组成转动副，则取转动副轴线就为z轴，与机架相固结的z4轴则与z1轴相重合，各z轴的方向选择如图8.2.1-2中的箭头所示。

确定x轴

分别过球副中心B、C所作z1轴和z3轴的垂线即为x1轴和x3轴；x4轴则选在z3和其相邻的z4这两个轴线的公垂线上（也即z3和z4两轴间最短距离）2)用矩阵法写出B，C两点的坐标

在进行空间连杆机构的位移分析中，常采用拆杆法来建立参数间的矩阵关系式。

拆杆法即设想将图8.2.1-4所示的空间四杆机构中将连杆2拆离，余下的构件成为开式运动链，其中构件3也可绕机架4自由转动。应用空间一般坐标变换，可写出B、C两点在机架坐标系ax4y4z4中的时变坐标。点坐标的建立

B点在坐标系Ax1y1z1中的坐标为[l1,0,0]T，坐标系Ax1y1z1相对坐标系ax4y4z4的坐标变换过程为

由此可参照式(8.1.2-3)写出

(8.2.1-1)

故得

(8.2.1-2)C点坐标的建立

C点在坐标系Dx3y3z3中的坐标为[l3,0,0]T，坐标系Dx3y3z3相对坐标系ax4y4z4的坐标变换过程为

由此写出变换矩阵

最后可得3)建立输出角与输入角间的位移方程式上述拆杆法是假想将连杆2拆离，但实际上机构中B和C两运动副因有连杆2相连，从而约束了B、C两点间的距离，使其在机构运动中始终保持定长l2，因而可列出其约束方程为将B、C两点的坐标式(8.2.1-2)和(8.2.1-4)代入上述约束方程，经整理、简化可得以下输出角q3的三角方程式

式中系数A、B、C与机构的输入角和常量参数间的关系为解式(8.2.1-6)，可得q3的两个解在机构中，对应原动件的一个输入位置，从动件只有一个确定的输出位置，如何理解q3有两个解？给定原动件一个瞬时位置角q1，得到q3的两个解，说明从动件有两个可能的位置。实际上机构自初始位置（或安装位置）起的运动过程中，各构件的位置变化都是连续的，所以可根据机构的初始位置及运动连续性确定出其中只有一个解为从动件3的位置角q3（请复习平面铰链四杆机构的运动分析内容，情况完全类似）。4)求解角速度和角加速度

将式(8.2.1-6)对时间求导一次，其中。中经整理可得计算从动件3的角速度公式为将式(8.2.1-10)对时间求导一次，并设原动件1作等速转动，即，可得计算从动件3的角加速度公式为

式中A、B见式(8.2.1-7)。而D为8.2.2空间RSSP四杆机构的运动分析图8.2.2-1所示空间RSSP四杆机构同空间RSSR四杆机构比较，只是将构件3与机架4组成的转动副R换成移动副P，且构件3的长度l3=0而成为滑块3。因此，图8.2.2-1所示机构又称为空间曲柄滑块机构。

选定坐标系，标定有关参数。

确定机架4上的坐标系ax4y4z4

。

确定曲柄1上的坐标系Ax1y1z1

。

确定滑块3上的坐标系Dx3y3z3

。

最后在图上标出有关参数q1、s4、a4、h4、s3

。

与空间RSSR四杆机构有所不同的是x3轴可取得与x4轴平行，所以q3=0º，而位置尺寸s3则成为表示滑块3的输出位移变量。

显然，对其的运动分析仍可应用式(8.2.1-1)至式(8.2.1-5)进行。

首先建立用矩阵形式表示的B、C(与D重合）点的坐标，然后按连杆等长条件建立约束方程式(8.2.1-5)，只需在坐标和方程中将l2=0及q3=0代入。经整理、简化可得求解输出位移s3的二次方程为

由式(8.2.2-1)可得计算输出位移s3的公式为

式中“+、-”号的选取可根据机构的初始位置及运动连续性一次选定。

在图8.2.3-1所示空间RSSR四杆机构中，已知原动件1和从动件3的转轴垂直交错，机构的尺寸参数为：x=23.5mm，y=12mm，z=22.8mm，lAB=27mm，lBC=22mm，lDC=13.5mm。当原动件1在j=10º位置时，角速度w1=1

rad/s，试用解析法计算从动件3的转角y和角速度w3。

y=-51.379º，w3=0.772rad/s。图8.2.3-2

在图8.2.3-2所示空间RSSP四杆机构中，已知机构的尺寸参数为：l1=28mm，l2=50mm，转动副A轴线与运动副D导路中心线夹角a4=150º，且其公垂线距离。当原动件1在q1=160º位置、角速度w1=1.5

rad/s时，试用解析法计算滑块3的位移s3和速度v3机器人机构的组成

机器人的主体一般采用空间开式链机构，它是完成机器人预定运动和动力要求的重要执行部分，故也称机器人操作器或机器人机构。

图8.4.1-9所示为空间通用关节工业机器人的执行部分，它是由多个连杆所组成。设计者的意图是模仿人臂的基本运动。

由上看出，它是一个装在固定机架上的开式运动链，各杆间由运动副联接，在机器人学中习惯将这些运动副称为关节。在该运动链的末端固联着一个夹持式手爪，通常称为末端执行器。根据机器人使用场合的不同，末端执行器可以夹持一焊枪、或油漆喷枪、或自动螺母扳手、或钻头、或电磁铁、......等等。

下面对上述的机器人机构的组成作进一步的分析。

臂部（包括小臂和大臂）是机器人机构的主要部分，称为主体机构。其作用是支撑腕部和手部，并带动它们使手部中心点P按一定的运动轨迹，由某一位置运动到达另一指定位置。

腕部是连接臂部和手部的部件，其作用主要是改变和调整手部在空间的方位，从而使手爪中所握持的工具或工件取得某一指定的姿态。

例如，设想用机器人的手部夹持一个螺钉对准螺孔拧入，首先必须使螺钉前端到达螺孔入口位置，然后必须使螺钉的轴线对准螺孔的轴线，使轴线相重合拧入，这就需要调整螺钉的方位角。前者即为手部的位置，后者即为手部的姿态。为使机器人机构实现多变的运动，也为了调整和控制机器人运动的方便，机器人机构中的运动副大多采用单自由度的运动副───转动副和移动副。这样只需在每个关节（运动副）处输入各个独立运动即可，如电机（含减速器）的转动或液压、气压作动筒输出的相对移动。

机器人机构的自由度一般是指主体机构和腕部的自由度之和，常用的自由度为4~7。随着自由度增多，机器人的运动也更加灵活多变，使得通用性增强，但机器人机构的分析、设计及控制的难度也随之增加。

有时为了使机器人机构具有更大的灵活性和机动性，如能避开障碍进入难以到达的空间等，此时需要自由度大于6的机器人机构，这种机构又称为冗余机器人机构。一般情况下，机器人手部在空间的位置和运动范围主要取决于臂部的自由度，故臂部的运动链称为机器人的主体机构，其运动称为主运动，臂部各关节称为基本关节。

具有三个自由度的主体机构属于基本型，按照度量机器人手部中心点（P）位置所设坐标系的运动特点，三自由度主体机构的典型结构形式有以下四种。如图8.4.2-4所示，主体机构是由三个转动关节组成的空间开链机构。该机构具有人手臂的某些特征，故大臂与机座的转动关节称为肩关节，大臂与小臂的转动关节称为肘关节，而整个臂部绕机座z轴的转动关节称为腰关节。

由此结构形式可知，手部中心点可到达一定大小的球体内任何点位。

同其他类型的主体机构比较，其特点是占据空间小，而工作范围大，手部的灵活性也较好，可以绕过障碍物进行操作。缺点是运动直观性差，驱动控制比较复杂。

机器人腕部为了便于手爪在空间能得到任意要求的姿态，在通用的空间机器人机构中，其腕部至少应有三个自由度。如上述图8.4.1-1所示机器人机构的腕部有三个转动关节，故有三个自由度。在某些情况下，可增加一个移动关节，其结构示意图如图8.4.3-1所示，以使手部作小行程的横向移动。机器人手部的常见类型

机器人的手部是用来抓持物件的机构，故又称为抓取机构，或称为夹持器。手部的结构形式很多，大部分是按工作要求和物件形状而特定设计的，其自由度根据需要而定。如简单夹持器只有一个自由度，使两手指能开合即可。若要模拟人手五指的运动，是非一般机器人技术所能实现的。

常用的手部按抓持物件的方式可分为夹持类和吸附类。夹持类手部又可细分为夹钳式、勾托式、弹簧式等等；吸附类手部又可分为气吸式和磁吸式等。8.4.4具有三自由度的主体机构的位置问题

机器人机构的空间位置和姿态问题是研究机器人运动学和动力学的基本问题。为量度其位置和姿态参数，必须设立参考坐标系。一般选择与机座固联的直角坐标系oxyz为参考坐标系，并称为基准坐标系。

机器人机构的位置问题包含着两方面的内容：

其一称为“直接问题”。即当给定机器人机构各关节运动变量和构件尺寸参数后，如何确定机器人机构末端手部的位置和姿态。这类问题通常称为机器人机构的正向运动学问题。

其二称为“间接问题”。即当给定机器人手部在基准坐标系中的空间位置和姿态参数后，如何确定各关节的运动变量和各构件的尺寸参数。这类问题通常称为机器人机构的反向运动学问题。

通常正向运动学问题用于对机器人进行运动分析和运动效果的检验；而反向运动学问题与机器人的设计和控制有密切关系。

以下通过三自由度的圆柱坐标式和球坐标式机器人主体机构（不考虑腕部的自由度）的位置分析，初步建立和了解机器人机构运动学的正、逆解。圆柱坐标式主体机构的正、逆解

图8.4.4-1所示为圆柱坐标式主体机构的组成示意图。构件2与机座1组成圆柱副，构件2相对构件1可以输入转动(q)和移动(h)；构件3与构件2组成移动副，构件3相对构件2只可输入一个移动(r)。运动学正解三个输入变量为：转角q，从x轴开始度量，对着z轴观察逆时针转向为正。位移h，从坐标原点沿z轴度量。位移r，手部中心点P至z轴的距离。

确定手部中心点P在基准坐标系中相应的位置坐标xp，yp，zp。由图8.4.4-1中的几何关系可得:

球坐标式主体机构的正、逆解

图8.4.4-2所示为球坐标式主体机构的组成示意图。立柱2与机座1和构件3分别组成转动副，因此立柱2相对机座1、构件3相对立柱2分别可输入一个转动(q,j)；构件4与构件3组成移动副，构件4相对构件3可输入一个移动(r)。将给定的q、j、r三个变量瞬时值代入式(8.4.4-4)，即可解出xp，yp，zp，从而确定了手部中心点P的瞬时空间位置。一、SerialandParallelManipulators§4.3.3运动学SerialandParallelManipulatorsPUMA560HexapodLinksandJointsJoints:LinksEndEffectorRobotBasis2DOF’s二、多关节机器人的运动分析机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系随关节运动而运动。二、多关节机器人的运动分析用相邻两连杆之间的齐次变换矩阵A矩阵来描述它们之间的位姿关系。A1表示第一连杆相对基坐标的位姿，A2表示第二连杆相对第一连杆位姿……则第二连杆对基坐标的位姿为手爪相对于基座的位姿:注意前后顺序二、多关节机器人的运动分析上式称为机械手的运动学方程。若已知各关节变量，则所有的矩阵都可以求出，按顺序相乘，即可得机械手末端相对于基座的位姿——正向运动学。若已知机械手末端相对于基座的位姿，可反求各关节变量——逆向运动学。位置运动学正运动学∶关节变量位姿逆运动学∶位姿关节变量DirectKinematics（正向运动学）Whereismyhand?DirectKinematics:HERE!InverseKinematics（逆向运动学）HowdoIputmyhandhere?IK:Choosetheseangles!假设：我们假设机器人末端是一个平板面，并称其为“手”或“端面”。只有在必要时，才将末端执行器的长度加到机器人的末端来确定末端执行器的位姿。说明：实际上，机械手型机器人没有末端执行器，用户可根据实际应用为其附加不同末端执行器。而末端执行器的大小和长短决定机器人末端位置。假设机器人要在零件p上钻孔而须向零件p处移动。机器人基座相对于参考坐标系u的位置用坐标系R来描述，机器人手用坐标系H来描述，末端执行器（即用来钻孔的钻头的末端）用坐标系E来描述，零件的位置用坐标系P来描述。钻孔的点的位置于参考坐标系U可以通过两个独立的路径发生联系：一个是通过该零件的路径，另一个是通过机器人的路径。这就是说，该零件中点E的位置可以通过从U变换到P，并从P变换到E来完成，或者从U变换到R，从R变换到H，再从H变换到E。事实上，由于在任何情况下机器人的基座位置在安装时就是已知的，因此变换TR(坐标系R相对于坐标系U的变换)时已知的。比如，一个机器人安装在一个工作台上，由于它被紧固在工作台上，所以它的基座的位置时已知的。即使机器人时可移的或放在传送带上，因为控制器始终掌控着机器人基座的运动，因此它在任意时刻的位置也是已知的。由于用于末端执行器的任何器械都是已知的，而且其尺寸和结构也是已知的，所以TE（机器人末端执行器相对于机器人手的变换）也是已知的。此外，TP（零件相对于全局坐标系的变换）也是已知的，还必须要知道将在其上面钻孔的零件的位置，该位置UHU可以通过将该零件放在钻模上，让后用照相机，视觉系统，传送带，传感器或其他类似仪器来确定。最后需要知道零件上钻孔的位置，所以TE也是已知的。此时，唯一未知的变换就是TH（机器人手相对于机器人基座的变换）。因此，必须找出机器人的关节变量（机器人旋转关节的角度以及滑动关节的连杆长度），以便将末端执行器定位在要钻孔的位置上。可见，必须要计算出这个变换，它指出机器人需要完成的工作。后面将用所求出的变换来求解机器人关节的角度和连杆的长度。PR§4.3.4正逆运动学坐标变换的最终目的是确定机器人各杆件之间的相互位置关系，通过关节角的值计算末端操作器在空间位置（正运动学）或预算出末端操作器在要求位置的关节角（逆运动学）。

主要包括以下内容：

1)相对杆件的坐标系的确定；

2)建立各连杆的模型矩阵A；

3)正运动学算法；

4)逆运动学算法。

在机器人中，通常有两类关节：转动关节和移动关节。不同于人类的关节，一般机器人关节为一个自由度的关节，其目的是为了简化力学、运动学和机器人的控制。转动关节提供了一个转动自由度，移动关节提供一个移动自由度，各关节间是以固定杆件相连接的。旋转关节有两种基本形式：铰链和两杆的相对转动。关节杆件机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端杆件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）的位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个手爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末端和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件数作为研究讨论对象。实际上，为了使得机器人更容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。下面给出了八种类型的常见杆件构形：

1)两个平行的转动关节且在两轴间没有扭转；连杆参数ln—连杆的长度；如果连杆的中心线被认作x方向并且从关节n-1到关节n沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可以绕关节n-1转动

n角，该角认为是两连杆夹角并且这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是z方向并且绕zn-1转动；y轴由右手定则确定。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线)(2)Xn-1：垂直两连杆公垂线xn-1=zn-1→zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角；

(3)dn：两连杆间偏置：xn-1→xn沿zn-1距离，0；

(4)n：两连杆间角度，Xn-1→Xn绕zn-1的转角，变量。

2)两个转动关节在空间形成两轴间90°的扭转；连杆参数ln—连杆的长度；如果连杆的中心线被认作x方向并且从关节n-1到关节n沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可以绕关节n-1转动

n角，该角认为是两连杆夹角，这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是z方向并且绕zn-1转动；y轴由右手定则确定。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线)(2)Xn-1：xn-1=zn-1→zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，

90°；

(3)dn

：两连杆间偏置：xn-1→xn沿zn-1距离，

0；

(4)n：两连杆间角度，Xn-1→Xn绕Zn-1的转角，变量。

3)两个转动关节相互交叉垂直轴；两个关节转动轴相交，连杆参数ln=0；关节轴被认为是z方向；x方向由两个z轴确定，y方向由右手定则确定；dn为偏移值。

坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离，两轴相交为0；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，-90°；

(3)dn

：两连杆间偏置：xn-1→xn沿zn-1距离，dn；

(4)n：连杆绕zn-1的转角，变量。

4)两个转动关节相互垂直并且重合；连杆参数ln=0；关节轴被认为是z方向；x方向由两个z轴确定，y方向由右手定则；dn为偏移值。原点由n-1坐标系决定

坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1、：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离，两轴相交0；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，90°；

(3)dn

：两连杆间距离：xn-1→xn沿zn-1移动距离，0；

(4)n：连杆绕zn-1的转角，变量。

5)两个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数ln=0；关节轴线方向是z向；x向由z轴确定，y方向由右手定则确定；dn

与dn+1为柱关节变量。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1、：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离，两轴相交0；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，-90°；

(3)dn

：移动关节移动变量；

(4)n：移动关节转角为0。

6)一个转动关节和一个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数ln=0；转动关节轴线方向和移动关节移动方向是z向；x方向由z轴确定，y方向由右手定则确定；n为转动关节变量、dn+1为移动关节变量。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1、：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离，两轴相交0；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，-90°；

(3)dn+1

：移动关节移动变量，dn=偏置量；

(4)n：转动关节变量。

7)一个移动柱关节和一个转动关节相互平行；连杆参数ln=偏置量；关节轴线方向是z向；x方向由z轴确定，y方向由右手定则；转动和移动关节变量为n和dn+1。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1、：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，0°；

(3)dn+1

：移动关节移动变量；

(4)n：转动关节变量。

8)一个移动柱关节和一个转动关节相互垂直；连杆参数ln=0；关节轴线方向是z向；x向由z轴确定，y方向由右手定则；dn为偏移值。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定

(1)Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2)Xn-1、：xn-1=zn-1×

zn

(3)Yn-1：根据右手定则确定二、参数确定

(1)连杆长度ln：zn-1→zn沿xn-1的距离，两轴相交0；

(2)两关节轴扭角n：zn-1→zn绕xn的转角，90°；

(3)dn

：移动关节移动变量；

(4)n+1：转动关节变量。Linkn-1Linknzn-1yn-1xn-1znxnynzn+1xn+1yn+1dnanJointn+1anJointn-1Jointnan-1※

到达下一坐标系的标准运动我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。1绕Zn轴旋转，它使得Xn+1和Xn互相平行※

到达下一坐标系的标准运动2沿Zn轴平移dn+1距离，使得Xn和Xn+1共线3沿Xn轴平移an+1的距离，使Xn和Xn+1的原点重合。※

到达下一坐标系的标准运动4将Zn轴绕Xn+1轴旋转，使得Zn轴与Zn+1轴对准。这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系列出变换矩阵由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言的。因此，总的变换矩阵A等于各变换矩阵右乘。从而得到的结果如下：以此类推，总的变换矩阵为：D-H参数表通过原理图确定各参数，制定D-H参数表如下：#da1

23456将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一步求解。例题对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐标系及参数表。第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入D-H参数表#da1009020030040-90500906000第四步：将参数代入A矩阵，可得到第5步求出总变化矩阵§4.3.4机器人的逆运动学解让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步骤。上例最后方程为求逆运动学方程的解

根据第3行第4列元素对应相等可得到依次用左乘上面两个矩阵，得到：根据1，4元素和2，4元素，可得到：将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到已知于是可得到：依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1~A4的逆，可得到机器人的逆运动学解这样，就可以计算出来了，接下来再一次利用式由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：机器人的逆运动学解最后用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素，得到：机器人的逆运动学解§2.10机器人的运动学编程在实际应用中，对运动学的求解是相当繁琐和耗时的，因此需要用计算机编程来实现。并且应尽量避免使用矩阵求逆或高斯消去法等相对繁琐的算法。正确的算法是：§2.11设计项目利用本书中所介绍的四自由度机器人，结合本章所学的知识进行四自由度机器人的正逆运动学分析。

SCARA型机器人的运动学模型的建立，包括机器人运动学方程的表示，以及运动学正解、逆解等，这些是研究机器人控制的重要基础，也是开放式机器人系统轨迹规划的重要基础。为了描述SCARA型机器人各连杆之间的数学关系，采用Denavit和Hertenberg提出的齐次变换矩阵的方法，即D-H法。SCARA型机器人操作臂可以看作是一个开式运动链。它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成的。为了研究操作臂各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。SCARA机器人坐标系的建立

1.SCARA机器人坐标系建立原则根据D-H坐标系建立方法，SCARA机器人的每个关节坐标系的建立可参照以下的三原则(1)轴沿着第n个关节的运动轴;基坐标系的选择为:当第一关节变量为零时，零坐标系与一坐标系重合。(2)轴垂直于轴并指向离开轴的方向。(3)轴的方向按右手定则确定。

2.构件参数的确定根据D-H构件坐标系表示法，构件本身的结构参数、和相对位置参数、可由以下的方法确定:(1)为绕轴(按右手定则)由轴到轴的关节角。(2)为沿轴，将轴平移至轴的距离。(3)为沿轴从量至轴的距离。(4)为绕轴(按右手定则)由轴到轴的偏转角。

3.变换矩阵的建立全部的连杆规定坐标系之后，就可以按照下列的顺序来建立相邻两连杆n-1和n之间的相对关系:(1)绕轴转角。(2)沿轴移动。(3)绕轴转角。(4)沿轴移动。这种关系可由表示连杆n对连杆n-1相对位置齐次变换来表征。即展开上式得

由于描述第n个连杆相对于第n-1连杆的位姿，对于SCARA教学机器人(四个自由度)，机器人的末端装置即为连杆4的坐标系，它与基座的关系为:

如上图坐标系，可写出连杆n相对于n-1变换矩阵:

其中：以下相同。相应连杆初始位置及参数列于表2.4，表中、为关节变量。

构件1000102001030010400010SCARA机器人的正运动学分析

各连杆变换矩阵相乘，可得到SCARA机器人末端执行器的位姿方程(正运动学方程)为下式它表示了SCARA手臂变换矩阵，它描述了末端连杆坐标系{4}相对基坐标系{0}的位姿。

SCARA机器人的逆运动学分析

1求关节变量为了分离变量，对方程的两边同时左乘,得:即：左右矩阵中的第一行第四个元素(1.4)，第二行第四个元素(2.4)分别相等。即:

由以上两式联立可得:

式中：

2求关节变量由式(2.87)可得:

式中：3求关节变量再令左右矩阵中的第三行第四个元素(3.4)相等，可得:

4求关节变量再令左右矩阵中的第一行第一个元素、第二行第一个元素(1.1，2.1)分别相等，即：由上两式可求得:

至此，机器人的所有运动学逆解都已求出。在逆解的求解过程中只进行了一次矩阵逆乘，从而使计算过程大为简化，从的表达式中可以看出它有两个解，所以SCARA机器人应该存在两组解。运动学分析提供了机器人运动规划和轨迹控制的理论基础。KinematicsofManipulatorsObjective:Todriveamethodtocomputethepositionandorientationofthemanipulator’send-effectorrelativetothebaseofthemanipulatorasafunctionofthejointvariables.RobotSpecificationsNumberofaxesMajoraxes,(1-3)=>positionthewristMinoraxes,(4-6)=>orientthetoolRedundant,(7-n)=>reachingaroundobstacles,avoidingundesirableconfiguration

AnExample-ThePUMA560ThePUMA560has

SIX

revolutejoints.ArevolutejointhasONEdegreeoffreedom(1DOF)thatisdefinedbyitsangle.1234Therearetwomorejointsontheend-effector(thegripper)NoteonJointsWithoutlossofgenerality,wewillconsideronlymanipulatorswhichhavejointswithasingledegreeoffreedom.Ajointhavingndegreesoffreedomcanbemodeledasnjointsofonedegreeoffreedomconnectedwithn-1linksofzerolength.LinkAlinkisconsideredasarigidbodywhichdefinestherelationshipbetweentwoneighboringjointaxesofamanipulator.Linknq

n+1a

nq

nJointn+1Jointnz

nx

nx

n+1z

n+1x

nz

nTheKinematicsFunctionofaLinkThekinematicsfunctionofalinkistomaintainafixedrelationshipbetweenthetwojointaxesitsupports.Thisrelationshipcanbedescribedwithtwoparameters:thelinklengtha,thelinktwistaLinkLengthIsmeasuredalongalinewhichismutuallyperpendiculartobothaxes.Themutuallyperpendicularalwaysexistsandisuniqueexceptwhenbothaxesareparallel.LinktwistProjectbothaxesi-1andiontotheplanewhosenormalisthemutuallyperpendicularline,andmeasuretheanglebetweenthemRight-handsenseLinkLengthandTwistAxisiAxisi-1ai-1

i-1JointParametersAjointaxisisestablishedattheconnectionoftwolinks.Thisjointwillhavetwonormalsconnectedtoitoneforeachofthelinks.Therelativepositionoftwolinksiscalledlinkoffset

dn

whishisthedistancebetweenthelinks(thedisplacement,alongthejointaxesbetweenthelinks).Thejointangle

qn

betweenthenormalsismeasuredinaplanenormaltothejointaxis.LinkandJointParametersai-1Axisi-1Axisidi

i

i-1ai-1LinkandJointParameters4parametersareassociatedwitheachlink.Youcanalignthetwoaxisusingtheseparameters.Linkparameters:a0

thelengthofthelink.an

thetwistanglebetweenthejointaxes.Jointparameters:qn

theanglebetweenthelinks.dn

thedistancebetweenthelinksLinkConnectionDescription:

ForRevoluteJoints:a,

,andd.areallfixed,then“

i”isthe.

JointVariable.ForPrismaticJoints:a,

,and.areallfixed,then“di”isthe.

JointVariable.Thesefourparameters:(Link-Lengthai-1),(Link-Twist

i-1(,(Link-Offsetdi),(Joint-Angle

i)

areknownasthe

Denavit-Hartenberg

LinkParameters.A3-DOFManipulatorArm0123LinksNumberingConvention Baseofthearm: Link-0 1stmovinglink: Link-1 . . . . . . Lastmovinglink Link-nLink0Link1Link2Link3FirstandLastLinksintheChaina0=an=0.0a0=an=0.0Ifjoint1isrevolute:d0=0andq1isarbitraryIfjoint1isprismatic:d0=arbitrary

andq1=0AffixingFramestoLinksInordertodescribethelocationofeachlinkrelativetoitsneighborswedefineaframeattachedtoeachlink.TheZaxisiscoincidentwiththejointaxisi.Theoriginofframeislocatedwhereaiperpendicularintersectsthejointiaxis.TheXaxispointsalongai(fromitoi+1).Ifai

=0(i.E.Theaxesintersect)thenXi

isperpendiculartoaxesiandi+1.TheYaxisisformedbyrighthandrule.AffixingFramestoLinksFirstandlastlinks

Baseframe(0)isarbitraryMakelifeeasyCoincideswithframe{1}whenjointparameteris0Frame{n}(lastlink)Revolutejointn:

Xn

=Xn-1whenqn=0Origin{n}suchthat

dn=0Prismaticjointn:

Xnsuchthatqn=0Origin{n}atintersectionofjointaxisnandXn

whendn=0Linkn-1Linknzn-1yn-1xn-1znxnynzn+1xn+1yn+1dnanJointn+1anJointn-1Jointnan-1AffixingFramestoLinksAffixingFramestoLinksNote:assignlinkframessoastocauseasmanylinkparametersaspossibletobecomezero!Thereferencevectorzofalink-frameisalwaysonajointaxis.Theparameterdiisalgebraicandmaybenegative.Itisconstantifjointiisrevoluteandvariablewhenjointiisprismatic.Theparameteraiisalwaysconstantandpositive.aiisalwayschosenpositivewiththesmallestpossiblemagnitude.Therobotcannowbekinematicallymodeledbyusingthelinktransformsie:

Where

0nTistheposeoftheend-effectorrelativetobase;Ti

isthelinktransformfortheithjoint;andn

isthenumberoflinks.TheKinematicsModelDenavit-HartenbergParametersAxisi-1ai-1

i-1AxisiLinkidi

iTheLinkParametersai=thedistancefromzitozi+1. measuredalongxi.ai=theanglebetweenziandzi+1. measuredaboutxi.di=thedistancefromxi-1toxi. measuredalongz

i.qi=theanglebetweenxi-1toxi. measuredaboutz

iGeneralTransformationBetweenTwoBodiesInD-Hconvention,ageneraltransformationbetweentwobodiesisdefinedastheproductoffourbasictransformations:Atranslationalongtheinitialzaxisbyd,Arotationabouttheinitialzaxisbyq,Atranslationalongth