广西壮族自治区河池市八校2023-2024学年高二上学期第二次联考（12月）数学试题（解析版）

PAGEPAGE1广西壮族自治区河池市八校2023-2024学年高二上学期第二次联考（12月）数学试题注意事项：1．本卷共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为抛物线方程为，所以，所以抛物线的准线方程为，故选：A2.已知空间向量，且，则m的值为（）A. B. C.6 D.【答案】B【解析】因为，则，解得.故选：B.3.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3 B.3或7 C.5 D.7【答案】D【解析】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.4.两圆和的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】A【解析】圆可化为：，设圆心为，圆可化为：，设圆心为，，，故两圆外离.故选：A.5.“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得且，则方程表示的曲线为双曲线；而时，满足方程表示的曲线为双曲线，但，不满足，所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件.故选：A6.以下命题正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直B.直线l的方向向量，平面的法向量，则C.两个不同平面的法向量分别为，，则D.平面经过三点，向量是平面法向量，则【答案】C【解析】对于A项，因为，所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；对于B项，因为，所以，所以或不垂直，故B错误；对于C项，因为，所以，所以，故C正确；对于D项，因为，，向量是平面的法向量，所以，，即，解得，故D错误.故选：C.7.已知点P在双曲线上，轴（其中F为双曲线的右焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为3，则该双曲线的离心率（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】如图，不妨设，，则有，解得，所以，.又双曲线的渐近线方程为，所以，点到直线的距离，点到直线的距离.由已知可得，，即，整理可得，，所以，.故选：D.8.在正三棱柱中，，D，E分别为棱的中点，F是线段上的一点，且，则点C到平面DEF的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记的中点为，连结，过作，如图，根据题意，易知两两垂直，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，故，，，，，，因为，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，故，又，所以点到平面的距离为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分．共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】由题意知，圆的标准方程为，较短弧所对圆心角是，因为较短弧长与较长弧长之比为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：BC.10.点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（）A. B.C.直线AF的斜率为 D.的面积为16【答案】ABD【解析】由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确；设点，则，则，，则，即或，所以直线的斜率为0，故C错误；的面积为，故D正确.故选：ABD11.在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（）A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C关于原点对称C.点P的纵坐标的取值范围为 D.直线与曲线C有且仅有两个公共点【答案】BCD【解析】对于选项A，设曲线上任一点为，则有，点关于x轴对称的点为，代入，得到，不一定成立，所以选项A错误；对于选项B，设曲线上任一点为，则有，点关于原点对称的点为，代入，得到，成立，所以选项B正确；对于选项C，由，得到，看成关于的方程，则有，整理得到，解得，所以选项C正确；对于选项D，由，消得到，解得或，当时，，当时，，所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，所以选项D正确，故选：BCD.12.在正方体中，E、F、G分别为的中点，则下列选项正确的是（）A.B.直线与EF所成角的余弦值为C.三棱锥与正方体的体积之比为D.存实数使得【答案】AD【解析】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，则，故，A对；，则，故直线与EF所成角的余弦值为，B错；，设为平面的一个法向量，则，取，有，而，所以到面的距离，又，所以中，则，所以，而，所以三棱锥与正方体的体积之比为，C错；由，则，故存在实数使得，D对.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.平面上任意一点满足，则该点的轨迹是___________．【答案】椭圆【解析】由满足知，点到定点与的距离之和为，又与之间距离为，根据椭圆定义可知，该点的轨迹为椭圆.故答案为：椭圆.14.已知直线与相互平行，则两直线与之间的距离为___________．【答案】【解析】由，则，有，解得，即，化简得，可化为，则与之间的距离.故答案为：.15.过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为___________．【答案】6【解析】设，则，由题意可知：直线l的斜率存在，则，因为A、B在双曲线上，则，两式相减得，则，即，整理得，此时直线，即，联立方程，消去y得，则，即直线l与双曲线有两个交点，符合题意，所以直线l斜率为6.故答案为：6.16.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则__________．【答案】3【解析】作，，垂足分别为E，H，记，l与x轴的交点为G，则，易知，，所以，又，所以，即，，所以，故为的中位线，所以.故答案为：3四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知圆，直线．（1）试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．解：（1）由题意可得圆的圆心为，半径为；易知直线恒过定点，显然，即点在圆内，所以直线l与圆C相交；（2）易知圆心到直线距离为，可得，解得.18.（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程：①顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；②渐近线方程是，虚轴长为4．（2）求适合下列条件的抛物线的标准方程：①焦点F关于准线的对称点为；②关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12．解：（1）①设双曲线方程为，则，解得，双曲线半焦距为c，于是，解得，，所以双曲线的标准方程是；②当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，其渐近线方程为，依题意，，解得，双曲线方程为；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，其渐近线方程为，依题意，，解得，双曲线方程为，所以所求双曲线的标准方程为或.（2）①显然抛物线焦点在y轴上，设其方程为，焦点，准线，依题意，，解得，所以抛物线的标准方程为；②设抛物线方程为，由，得，于是，解得，即，所以所求抛物线的标准方程为.19.已知过点的直线l与抛物线相交于两点．（1）求证：；（2）当的面积等于时，求直线l的方程．解：（1）由题可设直线的方程为，，由，消得到，，由韦达定理得，，又，因为，所以，得到，所以.（2）因为，由（1）知，所以，解得，所以，直线l的方程为或.20.设分别是椭圆的左、右焦点，当时，点P在椭圆上，且．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．解：（1）椭圆的方程为，，又，所以，所以.（2）根据题意可得，则，且，则，又，所以，即，则，解得，经检验，符合题意．21.如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段存在点D，使得，并求的值．解：（1）由是正方形，则，且面，面面，面面，则面，由面，所以.（2）由，则，所以，且面，如下图，可构建空间直角坐标系，则，，若是面的一个法向量，则，取，则；若是面的一个法向量，则，取，则；故锐二面角的余弦值为.（3）由题意，可设且，则，又，所以，故.故在线段存在点D，使得.22.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若过点的直线l交双曲线C的右支于E，F两点，Q为x轴上一点，满足；试