福建省莆田市五校联考2024届高三上学期期中数学试题（解析版）

PAGEPAGE1福建省莆田市五校联考2024届高三上学期期中数学试题一、选择题1.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.2.命题为锐角三角形，命题中，.则命题是命题的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当成立时，，，，即，命题可推出命题；当成立时，令，，显然，但三角形不为锐角三角形；命题是命题的充分不必要条件.故选：A.3.幂函数满足,则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设幂函数，则，解得，所以所以，故选：A.4.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，则，故选：D.5.设则下列判断中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，所以，令，所以，所以时，，单调递增；，，单调递减，因为，且，所以，故选：B.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数的图象的特征.函数在区间上的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以在区间上是偶函数，故排除B，D，又，故排除C；故选：A7.下列函数中，没有对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】的对称中心是,A不正确;的对称中心是,B不正确;的对称中心是,C不正确;结合指数型函数的图像可知函数无对称中心,D选项正确.故选：D.8.若函数在R上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数在R上没有零点，当时，令，解得，若方程无解，可得或，当，令，解得，若方程无解，则，解得.所以的取值范围是.故选：B.二、多项选择题9.对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A.若a＞b，则B.若a＞b，则ac2≥bc2C.若a＞0＞b，则a2＜﹣abD.若c＞a＞b＞0，则【答案】BD【解析】A．根据a＞b，取a＝1，b＝﹣1，则不成立，故A错误；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性质知ac2≥bc2成立，故B正确；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，则a2＜﹣ab不成立，故C错误；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正确．故选：BD．10.设正实数，满足，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号.A：因为，所以本选项不正确；B：设，函数在时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为，因此有，即，所以本选项正确；C：因为正实数，满足，所以，当且仅当时，取等号，即时，取等号，所以本选项不正确；D：因为正实数，满足，所以，因此本选项正确.故选：BD11.将函数f（x）＝2sinx（sinxcosx）﹣1图象向右平移个单位得函数g（x）的图象，则下列命题中正确的是（）A.f（x）在（，）上单调递增B.函数f（x）的图象关于直线x对称C.g（x）＝2cos2xD.函数g（x）的图象关于点（，0）对称【答案】AC【解析】因为f（x）＝2sinx（sinxcosx）﹣1＝2sin2x﹣2sinxcosx﹣1sin2x﹣cos2x＝﹣2sin（2x）；∴g（x）＝﹣2sin[2（x）]＝2cos2x；故C对；对于A，x∈（，），2x∈（，），此时函数f（x）递增；故A对；对于B，x时，f（x）＝﹣2sin（2）≠±2，故B错；对于D，因为g（）＝2cos2×（）≠0，故D错；故选：AC．12.已知函数为上的可导函数，则下列判断中正确的是（）A.若在处的导数值为，则在处取得极值B.若为奇函数，则为偶函数C.若为偶函数，则为奇函数D.若的图像关于某直线对称，则的图像关于某点成中心对称【答案】BD【解析】A选项，若，则，所以，而显然是单调函数，没有极值，故A错；B选项，若为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数后，也为偶函数，故B正确；C选项，若为偶函数，则不一定为奇函数，如显然为偶函数，但，若不为，则不是奇函数；故C错；D选项，若的图像关于直线对称，则，两边求导，可得，即，所以函数的图像关于中心对称，故D正确.故选：BD.三、填空题13.不等式的解集为，则的值为_________________.【答案】1【解析】，解得，因为不等式的解集为.所以，解得.故答案为：114.命题，为真命题，则实数m的取值范围是______________.【答案】【解析】由，，则，所以.则实数m取值范围是：.故答案为：.15.已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，则，若函数有两个极值点，则有两根，则只需满足有两解，令，则，当时，，则在上递减；当时，，则在上递增；所以，故只需.故答案为：.16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且△为正三角形，则△面积的最大值为___________，四边形ABCD的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角互补）【答案】【解析】如图所示，设△的边长为，则根据托勒密定理可得：，得，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立.又△为等边三角形，则，根据圆内接凸四边形对角互补得.所以△的面积;又因为，，所以.故答案为：；.四、解答题17.已知函数在处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值之和.解：（1）由已知得切点为，且，，解得，；（2）由（1）知，，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，，又，，.因此，函数在区间上的最大值与最小值之和为.18.①函数，②函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，的图像关于原点对称.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：“已知_______，函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为.”（1）求的值；（2）求函数在上的单调递增区间.解：（1）选择条件①：即有：又因为相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，从而，选择条件②：依题意，相邻两对称轴之间距离为，则周期为，从而，，，又的图像关于原点对称，则，由知，从而，（2），令，解得，从而在上的单调递增区间为19.已知0＜α＜，sinα＝．（1）求tanα的值；（2）求cos(2)的值；（3）若0＜β＜且cos(α+β)＝，求sinβ的值．解：（1）∵0＜α＜，sinα＝，∴cosα＝，∴tanα＝.（2）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2αsin2α＝，∴cos(2)＝(cos2αsin2α)＝()＝，（3）∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos(α+β)＝，∴sin(α+β)＝，∴sinβ＝sin[(α+β)α]＝sin(α+β)cosαcos(α+β)sinα＝.20.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求角的大小.解：（1）由已知得＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋－2×2××＝．∴CD＝．（2）∵CD＝AD＝，在中，由正弦定理，得，又∠BDC＝2A，得，，解得cosA＝，所以A＝．21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，且存在两个极值点，证明：.（1）解：的定义域为，.（i）若，则，所以在单调递增.（ii）若，当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）证明：因为存在两个极值点且.，所以的两个极值点满足，所以，不妨设，则则，要证，只需证.设，则，知在单调递减，又当时，，故，即，所以.22.已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）若不等式对恒成立，求实数取值范围.解：（1）令，即不是方程的根，令,则.当时，，