河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期11月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河南省部分重点中学2023-2024学年高一上学期11月联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．{3，8} B．{3，7，8} C．{3，4，8}D．{2，3，4，7，8}【答案】C【解析】因为集合，，所以．故选：C．2．“且”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当且时，成立，反过来，当时，例：，，不能推出且．所以“且”是“”的充分不必要条件．故选：C．3．函数的定义域为（）A． B． C．D．【答案】D【解析】要使原函数有意义，则解得，且x≠1，∴函数的定义域为．故选：D．4．下列各组函数中，为同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】B【解析】对于A，由，得或x≥1，所以的定义域为；由得x≥1，所以的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，A错；对于B，的定义域为R，的定义域为R，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以B正确；对于C，的定义域为，的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以C错；对于D，的定义域为，的定义域为R，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D错．故选：B．5．“，”为假命题的一个充分不必要条件是（）A．a≤0 B．a≥3 C．a≤2 D．a≥1【答案】B【解析】“，”为假命题，则“，”为真命题，只需在上的最大值小于等于2a即可，而函数的最大值．，故2a≥4，解得a≥2，因为，但a≥2推不出a≥3，所以a≥3是“，”为真命题的一个充分不必要条件，故B正确，其他三个选项均不符合题意．故选：B．6．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】B【解析】若函数的定义域为R，则对任意恒成立，当时，不等式化为，恒成立；当a≠0时，需即．综上所述，实数a的取值范围是．故选：B．7．函数在区间上单调递增，则实数b的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】B【解析】函数当x≥b时，函数，图象开口向下，关于对称，所以在[b，+∞）上单调递减；当时，函数，图象开口向上，关于对称，所以在上单调递减，在上单调递增；若在区间上单调递增，则有解得3≤b≤4．故选：B．8．设，，，则下列关系正确的是（）A． B．C．D．【答案】C【解析】，因为函数在R上是增函数，所以，即，又，所以，因此．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，c≠0，则C．若，a，b同号，则 D．若，则【答案】BCD【解析】若，当c≤0时可得ac≥bc，故A错误；若，c≠0，则，，故B正确；若，则，又因为a，b同号，故，所以，则，故C正确；若，则，，故D正确．故选：BCD．10．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A． B． C．D．【答案】AC【解析】函数是偶函数，又在区间上单调递减，故A符合；函数为奇函数，故B不符合；函数是偶函数，又在区间上单调递减，故C符合；函数既不是奇函数，也不是偶函数，故D不符合．故选：AC．11．如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为（）A．米 B．米 C．米D．米【答案】CD【解析】设，，由题意知，即，，所以，化简得，因此矩形绿地的周长，当且仅当时取等号，故矩形菜地的周长可能为米，米．故选：CD．12．用表示不超过x的最大整数，例如，，则（）A．，B．当时，的最小值为2C．不等式解集是D．方程的解集为【答案】ACD【解析】对于选项A：设x的整数部分为a，小数部分为b，则，得，故A正确；对于选项B：当时，，当且仅当，即时，等号成立，这与矛盾，故B错误；对于选项C：由不等式可得，，∵[x]表示不超过x的最大整数，∴，即原不等式的解集为，故C正确；对于选项D：由知，x2为整数且，解得，可知，可得x≥0，因为，即，由，解得，可得；由，解得或（舍去），可知，即或；当时，，可得；当时，，可得，所以方程的解集为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数（且a≠1）的图象恒过定点____________．【答案】（2，5）【解析】根据题意，函数中，令，解得，此时，即函数的图象恒过定点（2，5）．故答案为：（2，5）．14．已知集合恰有7个真子集，则m的取值范围是____________．【答案】【解析】由题设知：集合A中有3个元素，即有3个不同解，所以有2个不为0的不同解，则解得且m≠0．故答案为：．15．若，且，则实数______．【答案】9【解析】∵，∴，又∵，∴，由换底公式得，即，即，解得．故答案为：9．16．已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则______．【答案】1012【解析】因为为奇函数，所以．因为为偶函数，所以，所以，又因为，所以①，所以，所以②，①+②得，所以，所以，又因为，所以．故答案为：1012．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）计算：；（2）计算：；（3）已知，求的值．解：（1）原式．（2）原式．（3）因为，则，所以．18．已知集合，，全集．（1）求；（2）若且，求a的取值范围．解：（1）因为，，所以，因为，所以或．（2）因为，，所以，当时，成立，此时，解得，当时，因为，所以或解得2<a≤3，故a的取值范围是．19．已知，命题，；命题，．（1）写出命题p的否定，并求为真时，实数a的取值范围；（2）若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．解：（1）由题意，，若为真，即对恒成立，所以只需，解得a≤2，即实数a的取值范围是．（2）由（1）可得，为真时，a≤2．所以，若命题p为真，则；若命题q为真，则对于恒成立，因此只需，即，解得，因为命题p，q有且只有一个为真，若p真q假，则有或解得a≥4；若p假q真，则有解得；综上，p，q有且只有一个为真时，a的取值范围是．20．已知二次函数．（1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围；（2）若对任意的，恒大于零，求实数a的取值范围．解：（1）因为的解集为，，所以，解得，即实数a的取值范围是．（2）因为在上恒成立，所以，而函数的图象开口向上，对称轴方程是，当即时，对称轴在区间左侧，所以，解得，此时a无解；当，即时，对称轴在区间内部，所以，解得；当即时，对称轴在区间右侧，所以，所以，此时a无解；综上，．21．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本C（x）（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）（1）求2023年的利润P（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解：（1）∵∴当时，，当x≥40时，，故（2）由（1）得当时，，∴；当x≥40时，，当且仅当，即时等号成立，故，∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．22．（12分）已知函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若在区间上的最大值为．（i）求实数a的值；（ii）若函数，是否存在正实数b，使得对区间上任意三个实数r，s，t，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，当时，可得到在和上单调递增．（2）（i）若在区间上的最大值为，①当时，函数在区间上单调递减，∴，解得（舍去）；当时，函数在区间上单调递增，∴，解得；综上，．（ii）由（i）知，，且在区间上单调递增，∴，