专题1-10 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题（原卷版）

专题110数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题TOC\o"13"\n\h\z\u题型一求和后放缩题型二放缩通项再裂项相消求和题型三放缩成等比数列题型四根式的放缩题型五跳过第一项再放缩求和题型六利用重要不等式放缩题型七通过糖水不等式进行放缩题型八放缩后错位相减求和题型九数列恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：必须记例如：或者等2.一个重要的指数恒等式：次方差公式这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式分子分母同加常数：常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型（1）；（2）；（3）；（4）；二、根式型（5）；（7）；（8）；（9）；三、指数型（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．题型一求和后放缩已知，设，为数列的前项和.证明：已知为，证明：．已知，设，记，证明：.已知数列中，，，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明.题型二放缩通项再裂项相消求和已知，若数列的前n项和为，求证：.已知数列前n项积为，且，设，求证：．设求证：已知，设，数列的前项和为，求证：已知，记，，．证明：当时，．已知，若，为的前n项和，证明：．已知数列，设，求证：已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：.【详解】，则，.，则.∴.∴题型三放缩成等比数列（2014全国2卷）已知，证明：.已知，证明：已知，记，求证：．【解析】当时，；当时，，所以．记，证明：．已知，数列，证明：.已知数列，，求证：对任意的且，有已知，求证：对任意的，．题型四根式的放缩的整数部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．62023届·广东省综合素质测试（光大联考）已知正项数列的前n项和为，且满足.(1)证明：数列是等差数列；(2)设数列的前n项和为，证明：已知数列的前项和，设数列的前项和，且满足，求证：（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．题型五跳过第一项再放缩求和已知，设数列，证明：．已知数列满足且，求证：．已知，若，数列的前n项和为，证明：.已知，证明：．题型六利用重要不等式放缩设求证题型七通过糖水不等式进行放缩求证题型八放缩后错位相减求和2024届·广州·仲元中学校考已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，(1)求和的通项公式：(2)记，证明：题型九数列恒成立问题已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围.已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为.数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是.已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是．设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为