《概率论》试卷汇总

《概率论与数理统计》1填空题：（每题2分，共20分）1、设事件、相互独立，且，则=.2、袋中有5只球（其中2只白球、3只黑球），从中不放回地每次随机取一只球，则第二次取到白球的概率为.3、若服从泊松分布,则___.4、若随机变量的分布函数为则的概率密度为__.5、设随机变量的分布律为,随机变量与相互独立且同分布，则随机变量的分布律为。6、设随机变量的期望值分别为则.7、在冬季供暖季节，住房温度是随机变量，已知平均温度为，标准差，试用切比雪夫不等式估计概率：.8、设为取自正态总体的样本，令,则当____时，服从分布.9、设总体服从区间上的均匀分布，从中取得样本,则参数的矩估计量为____.10、设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值为则的置信度为95%的置信区间是.（注：）二、选择题：（每题2分，共10分）1、某人射击的命中率为，用表示他在5次独立射击中命中目标的次数，则的分布为（）A.0－1分布B.二项分布C.均匀分布D.泊松分布2、设随机变量的分布函数是,则随机变量的分布函数为（）A.B.C.D.3、若随机变量相互独立，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.4、已知随机变量与相互独立，且～，～下式成立的是（）A.B.C.D.5、设为取自正态总体的样本，下列统计量能作为的无偏估计量的是（）A.B.C.D.三、解答下列各题：（每题10分，共30分）1、甲乙两台机器制造出一批零件，根据长期资料总结，甲机器制造出的零件废品率为2%，乙机器制造出的零件废品率为3%，已知甲机器的制造量是乙机器的两倍.今从该批零件中任意取出一件，（1）求取到废品的概率（2）若取到的零件经检验是废品，求该零件是乙机器制造的概率.2、设连续型随机变量的分布函数为（1）求常数的值（2）计算概率3、设离散型随机变量的所有可能取值为，已知，求的分布律及分布函数四、（本题12分）设二维随机变量的概率密度为1、求边缘概率密度，并判断是否相互独立；2、求概率五、数理统计应用题：（每题12分，共24分）1、设总体的密度函数为，其中(>0)为参数，是来自总体的一组样本观测值，求参数的最大似然估计量.2、设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取25名考生的成绩,算得平均成绩为分，标准差为10分，问在显著性水平下,能否认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分?（注：）六、证明题：（本题4分）设是两个随机事件，随机变量试证明随机变量和不相关的充分必要条件是与独立《概率论与数理统计》2（参考数据：，，，，，，，）填空、选择题：（每题3分，共30分；请将各题的答案填入下列表格）1、已知，则=.2、设与相互独立，且，，，则___3、设服从区域上的均匀分布，则概率.4、设是取自总体的样本，则统计量服从____分布（注明分布的自由度）.5、设，且关于的方程有实根的概率是，则参数.6、设随机变量～（二项分布），用切比雪夫不等式估计：（）.（A）（B）（C）（D）7、设事件与互不相容，且，，则下面结论正确的是（）(A)与互不相容(B)(C)(D)8、设两个随机变量和相互独立，且同分布：，，则（）(A)0(B)(C)(D)9、设随机变量的方差相关系数则方差（）.(A)40(B)34(C)25.6(D)17.610、若的分布函数为，与相互独立且具有相同分布规律，,则的分布函数为（）（A）（B）(C)(D)二、概率论应用题：（40分）1、（10分）某厂有A、B、C三条流水线生产同一产品，其产品分别占总产量的35%、40%、25%，这三条生产线的次品率分别为2%、3%、4%,现从出厂的产品中任取一件，（1）求恰好取到次品的概率；（2）若取到次品，求该次品是B流水线生产的概率.2、（15分）设随机变量的概率密度为，求：（1）概率；（2）的分布函数；（3）的概率密度.3、（15分）设随机变量的联合概率密度为，（1）求常数的值；（2）求边缘概率密度；（3）分析随机变量是否相互独立.三、数理统计应用题：（25分）1、设总体的概率分布律为，其中为未知参数，取样本，记样本观测值为，求参数的矩估计量和最大似然估计量.（15分）2、随机抽取某班16名学生的英语考试成绩，得平均分数为分，样本标准差分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为分，试问在显著性水平下，该班的英语平均成绩是否显著高于全年级的英语平均成绩？（10分）四、解答下列问题：（5分）某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每月销售量服从参数为的泊松分布.假定各月的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内（12个月）售出该商品件数在120件到150件之间的概率《概率论与数理统计》3填空题：（每题3分，共30分）1、设,.则.2、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为，则每次试验成功的概率为.3、有甲、乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为___.4、某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为___.5、设离散型随机变量的分布函数为，则.6、设随机变量，则____.7、设随机变量，则____.8、设随机变量，则____.9、设且与相互独立，则___.10、设总体的概率密度为，来自总体的一个样本平均值，则参数的矩估计___.二、选择题：（每题4分，共20分）1、设随机变量的概率密度为则常数（）A．1 B．2C．3 D．42、设随机变量，且与相互独立，则（）A． B．C． D．3、设来自正态总体的样本，其中已知，未知，则下列（）不是统计量．A．B．C．D．4、已知随机变量的密度函数为，则（）。A.B.C.D.5、设是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，则的分布函数为（）A.B.C.D.以上都不是三、解答下列各题：（每题10分，共50分）1、已知一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为次品的概率是,一次品被误认为合格品的概率是从中随机抽取一件产品经检查认为是合格品，求这件产品确实是合格品的概率。2、设随机变量的联合概率密度为，求边缘概率密度；随机变量是否相互独立？3、设总体服从泊松分布（参数未知），取样本，记样本观测值为，求的最大似然估计量.4、随机抽取某班16名学生的概率统计考试成绩，得平均分分，样本标准差分，若全年级成绩服从正态分布，且平均成绩为分，试问在显著性水平下，该班的概率统计平均成绩是否显著低于全年级平均成绩？（，）5、设随机变量服从分布，求随机变量的概率密度函数。《概率论与数理统计》4（参考数据：，，，，，）填空、选择题：（每题3分，共30分）1、设,,，则至少发生一个的概率为___.2、设～在区间上服从均匀分布，且与相互独立，则_.3、设随机变量服从参数为4的泊松分布，用切比雪夫不等式估计：.4、设随机变量与独立同分布，已知的分布律为，则.5、设样本来自总体，则～_.(请注明分布参数)6、是任意事件，在下列各式中，不成立的是()（A）. （B）.（C）.（D）7、设、、为三个事件，且，则有()（A）（B）（C）（D）8、设随机变量的分布函数为，则的值为()（A）.（B）.（C）.（D）.9、设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是()（A）与独立.（B）.（C）.（D）.10、设随机变量的分布函数为，则的分布函数为()（A）.（B）.（C）.（D）二、概率论应用题：（40分）1、（8分）某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率.2、（8分）设随机变量的概率密度为现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于（即）的次数，求3、（10分）设随机变量的概率密度为，求：（1）常数（2）的分布函数4、（14分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.（1）写出的联合概率密度，并求边缘概率密度；（2）分析随机变量是否相互独立.（3）求的概率密度.三、数理统计应用题：（每题15分，共30分）1、设总体的概率密度为，其中为未知参数，取样本，记样本观测值为，求参数的矩估计量和最大似然估计量.2、设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为）.《概率论与数理统计》5（参考数据：，，，）填空题：（每题3分，共30分。请将各题答案填在下列表格）1、设为随机事件，则三个事件都不发生可以表示为.2、已知，则的最大值为.3、设事件，且,,，则___.4、已知7件产品中有2件次品，从中任取3件产品，则恰好取到1件次品的概率是.5、设随机变量服从参数为3的泊松分布，则.6、设随机变量的分布函数为，则.7、设随机变量且与相互独立，则～.8、设随机变量，用切比雪夫不等式估计：.9、设服从区域上的均匀分布，则概率.10、已知随机变量～，则服从的分布为.（注明分布参数）二、概率论应用题：（40分）1、甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.（10分）2、（15分）设随机变量的概率密度为，（1）求常数；（2）的分布函数；（3）求.3、（15分）二维随机变量的概率密度为求：（1）系数；（2）的边缘密度函数；（3）问是否独立？三、数理统计应用题：（30分）1、设总体的概率分布律为，为未知参数；取样本，记样本观测值为，求参数的矩估计量和最大似然估计量.（15分）2、设某机器生产的零件长度（单位：cm），机器工作正常时零件的平均长度为10cm，今抽取一组容量为16的样本，测得样本均值cm.试问机器工作是否正常？（显著性水平为）.（10分）3、设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，.在置信度0.95下，求的置信区间。（5分）《概率论与数理统计》6（附参考数据：，）填空、选择题：（每题3分，共30分；）1、已知，则.2、设随机变量的概率密度为，则常数.3、设随机变量与相互独立，且，则.4、设随机变量～，用切比雪夫不等式估计：.5、设总体其中均未知，是来自总体的样本，对于假设，可采用检验法进行统计推断。6、设事件互不相容，且则必有（）A．B.C.D.7、任一连续型随机变量的概率密度一定满足（）A.在定义域内单调不减B.C.D.8、设随机变量的概率密度为，令，则的概率密度为（）A.B.C.D.9、设总体，是来自总体的样本，则当时，依概率收敛于（）A.0B.2C.4D.610、设总体是来自总体的样本，为样本均值，则（）A.B.C.D.二、解答下列各题：（每题8分，共40分）1、发报台分别以概率和0.4发出信号“+”和“—”，由于随机干扰，当发出“+”时，收报台未必收到信号“+”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“+”和“—”，同样当发出信号“—”时，收报台以概率0.9和0.1收到信号“—”和“+”，求某一时刻：（1）收报台收到信号“+”的概率；（2）当收报台收到信号“+”时，其源发信号是“+”的概率2、10件产品中有3件次品，从中随机取2件，求：（1）至少取到1件次品的概率；（2）在取到的2件产品中发现1件次品的情况下，另1件也是次品的概率。3、某车间生产的圆盘其直径在区间服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望.4、设随机变量的联合分布律如下（1）写出的分布律及条件下的条件分布律YX-101-10.10.30.2100.10.3（2）写出的分布律.5、设随机变量的联合概率密度为，（1）求边缘概率密度；（2）分析随机变量是否相互独立、是否不相关。三、数理统计应用题：（30分）1、总体的分布律为，其中为未知参数，对给定的样本（），试求参数的最大似然估计量并判定估计量的无偏性。（15分）2、设某产品的某项质量指标服从正态分布，现从一批产品中随机抽取了25个，测得该项指标的平均值为1657，样本标准差为150，问能否认为这批产品的该项指标的均值为1600？（取显著性水平）（10分）3、总体服从方差为9的正态分布，要保证的期望落在区间的概率为，其中为样本均值，问样本容量至少应取多大？（5分）《概率论与数理统计》1参考答案一、填空题：（每空2分共20分）1、2、3、34、5、6、7、8、9.10.二、选择题：（每题2分共10分）1、B2、C3、D4、A5、B三、计算：（每题10分共30分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）由，即有又，而，则，5分（2）5分3、解：（1）设随机变量取的概率依次为，则，解得5分（2）5分四、解：（本题12分）（1）3分6分因为，所以与不相互独立。8分（2）4分五、数理统计应用题（本题24分）1、构造似然函数4分取对数求导，令9分得，的最大似然估计量为12分2、解：（1）3分的拒绝域为7分因10分所以拒绝，认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分12分六、证明：(本题4分)记，则的分布律分别为X1Y1PP可见现在求,由于只有两个可能值和，故从而因此，当且仅当，即与不相关当且仅当与相互独立.《概率论与数理统计》2参考答案一、填空、选择题：（每空3分共30分）1、2、3、4、5、6、D7、D8、C9、C10、B二、概率论应用题：（40分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）5分（2）5分（3）5分3、解：（1）根据即，所以5分（2）3分6分（3）因为，所以与相互独立。4分三、数理统计应用题（本题25分）1、（1）因为3分令，得参数的矩估计量为5分（2）构造似然函数4分取对数求导，令8分得，的最大似然估计量为10分2、解：（1）2分的拒绝域为6分因8分所以拒绝，该班的英语平均成绩显著高于全年级的英语平均成绩10分四、解：（本题5分）因为，由中心极限定理《概率论与数理统计》3参考答案一、填空：（每空3分共30分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、选择：（每空4分共20分）1、D2、B3、C4、B5、C三、解答下列各题：（每题10分，共50分）1、解：（1）5分(2)5分2、解：（1）4分8分（3）因为，所以与相互独立。2分3、解：构造似然函数4分取对数求导，令8分得，的最大似然估计量为10分4、解：（1）2分的拒绝域为6分因8分所以拒绝，该班的英语平均成绩显著低于全年级的英语平均成绩10分5、解：时，时，所以10分《概率论与数理统计》4参考答案一、填空、选择题：（每空3分共30分）1、2、63、4、5、6、B7、C8、C9、D10、A二、概率论应用题：（40分）1、解：8分2、解：，则～，4分8分3、解：（1）因为即，解得5分（2）5分4、解：（1）2分8分（2）因为，所以与不相互独立。2分（3）4分三、数理统计应用题（本题30分）1、解：（1）因为令，得的矩估计量为5分（2）构造似然函数4分取对数求导，令8分得，的最大似然估计量为10分2、解：（1）代入，得的置信度为的置信区间为5分（2）2分的拒绝域为6分因8分所以接受10分《概率论与数理统计》5参考答案一、填空题：（每题3分，共30分）二、概率论应用题：（40分）1.解：设表示事件“甲命中目标”，表示事件“乙命中目标”，则表示“目标被命中”，且所求概率为2.解：（1）依据即得（2）3.解：（1）依据即得（2）（3）因为，所以与相互独立三、数理统计应用题（30分）1．解：因为令，解得的矩估计量为7分似然函数为：令得参数的极大似然估计为：2．解：2分的拒绝域为6分因