5-3平面向量的数量积及平面向量的应用学练案-高三数学一轮复习

高三数学一轮复习学练案（第22期）编写人：朱振国审查人：吕亮使用日期：2023.1153平面向量的数量积及平面向量的应用一、自主复习【查】考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【必备知识】(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).常用结论与微点提醒a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别.a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.二、师生研学【研】【学习过程】考点一平面向量的数量积运算【例1】(1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.(2)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值为()A.－eq\f(1,2)B.0C.4D.－1【训练1】(1)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.(2)在△ABC中，|BC|＝4，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()考点二平面向量数量积的应用角度1垂直问题【例2－1】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)角度2长度问题【例2－2】(1)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a方向上的投影为5，则|a－2b|为()A.2 B.4 C.8 (2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值为()A.1 B.eq\f(\r(5),2) C.eq\r(2) D.eq\r(3)角度3夹角问题【例2－3】已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【训练2】(1)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.(2)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，则|2a－3b|＝______.(3)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq\r(5)b，则cos〈a，c〉＝________.考点三平面向量与三角函数【例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影.、【训练3】已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))，b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝1，a＝2eq\r(3)，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.三、训练提升【练】【当堂检测】a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，则|2a－b|等于()eq\r(2)B.eq\r(17)C.eq\r(15)eq\r(5)a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝eq\f(1,2)|b|，则向量a与b的夹角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足eq\f(BE,BC)＝eq\f(AF,AB)＝λ，则当eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0时，λ的值所在的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,8)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,8)))4.在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.5.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，D为线段BC的中点，点E为线段BC垂直平分线l上任一异于D的点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(7,2)B.eq\f(7,4)C.－eq\f(7,4)a，b，e是平面向量，ea与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是________.【真题再现】1（2023全国甲卷文科3）已知向量，，则（）A.B.C.D.2（2023新高考I卷3）已知向量，.若，则（）A. B. C. D.3．【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足|a|=1,|bA．-2 B．-1 C．1 D．24．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．-6 B．-5 C．5 D．65．【2020年新课标2卷文科】已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（

）A． B． C． D．6．【2020年新课标3卷理科】已知向量，满足，，，则（）A． B． C． D．7．【2019年新课标1卷理科】已知非零向量满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．8．【2019年新课标2卷理科】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．3B．2C．2