2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-3.2双曲线

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

3.2双曲线

3.2.1双曲线及其标准方程

基础过关练

题组一双曲线的定义及其应用

1.（2022广东汕头金山中学月考）已知M（-3,0）,N⑶。，|PM|-]PN|=6,则动点P的

轨迹是（）

A.一条射线B.双曲线右支

C.双曲线D.双曲线左支

2.设9则关于x,y的方程三—三=1所表示的曲线是（）

A.焦点在y轴上的双曲线

B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆

D.焦点在x轴上的椭圆

3.双曲线x2-^=l的左、右焦点分别为M,F2,点P在双曲线上，若|PF』=3,则

|PF2|=（）

A.5B.1C.3D.1或5

4.已知双曲线。一看=1上一点P到左焦点B的距离为10,则PR的中点N到坐标

45

原点0的距离为（）

A.3或7B.6或14C.3D.7

5.设F„F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上,且满足NFFF2=90°,则

△F1PF2的面积是（）

A.1B.yC.2D.V5

6.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线)-1=1的左、右焦点分别为R,F2,P为右支

41Z

上一动点,Q(1,4),则|PQ|+1PF"的最小值为.

题组二双曲线的标准方程

7.已知双曲线的焦点为日(-4,0),F2(4,0),双曲线上一点P与F„F?的距离差的绝

对值等于2,则该双曲线的标准方程为()

%2y2

A.土—匕=1

124

公=1

8.(2022河北张家口四中期中)已知双曲线的一个焦点为B(-花,0),点P在该双

曲线上，线段PF,的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是(

A.?—y2=lB.x2—

D.[-1=1

2332

22

9.已知方程三-±=i表示双曲线,则k的取值范围是()

l+fc1-fc

A.(-1,1)B.(0,+8)

C.[0,+8)D.-1)U(1,+8)

10.求经过点P(-3,2V7)和Q(-6V2,-7)的双曲线的标准方程.

22

11.已知某双曲线与双曲线3—9=1有相同的焦点,且经过点(-今-遍)求该双

ioy

曲线的标准方程.

12.已知双曲线C的焦点为%(-2,0),F2(2,0),点A在C上,且关于原点0的对称点

为B,|AB|=|FR|,四边形ARBF2的面积为6,求双曲线C的标准方程.

题组三双曲线的综合运用

13.(2022浙江金华期中)金知4ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),其内切圆圆心在直

线x=3上，则顶点C的轨迹方程是()

%2y2

A.3=1B.£-

三9一16169

v2-.2

C・卜*l(x>3)D.———=1(x>4)

ioy

14.(2022江西南昌一模)许多建筑融入了数学元素后更具神韵，数学赋予了建筑

活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线旋转

形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图形，上、下底面与

地面平行.现测得下底面直径AB=20aU米,上底面直径CD=20鱼米,AB与CD间的

距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为

()

图1图2

A.10米B.20米

C.10g米D.10西米

22

15.已知某双曲线与椭圆刍+5=1有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的

2736

纵坐标为4,求该双曲线的标准方程.

能力提升练

题组一双曲线的定义及其应用

v2C

1.（2022北京丰台月考）已知以产2为双曲线9-y'l的两个焦点，点P在双曲线上

4

且满足NFFF2=90°,那么点P到x轴的距离为()

.2V30„V30„2V5口烟

---D.—C.U.—

22

2.(2022江西宜春月考)已知方程等-+Jw=l(m，n£R)表示双曲线，且该双曲

mz+nn_3mz

线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()

A.(0,V3)B.(0,3)

C.(-1,V3)D.(-1,3)

3.(2021广东东莞期末)已知双曲线C:?-*1的左、右焦点分别为F„F2,P为双

曲线C上一点，直线1分别与以R为圆心，|FFl为半径的圆和以Fz为圆心，|F2Pl

为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=()

A.2V7B.6C.8D.10

4.(2022山西怀仁期末)已知F-2分别是双曲线的左、右焦点,A,B是过

ioy

点迪的直线与双曲线左支的交点，且|AB|=5,则AABF?的周长是.

题组二双曲线的标准方程及其应用

5.已知双曲线的两个焦点分别是F1(-V5,0),F2(V5,0),P是双曲线上一点，且

IPFII・|PFz|=2,则该双曲线的标准方程为.

6.(2022重庆育才中学月考)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难

入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与

+(y-b)2相关的代数问题,可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的

几何问题.结合上述观点，可得方程IV%2+4x+5——2_4x+程=2的解

为.

题组三双曲线的综合运用

22

7.(2022四川成都外国语学校期中)已知点P在曲线G：3—5=1上，点Q在曲线

ioy

2222

C2:(x+5)+y=l上，点R在曲线C3:(x-5)+y=l上,则|PQHPRI的最大值是()

A.6B.8C.10D.12

8.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品，现

要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去，已知

PA=100km,PB=150km,BC=60km,ZAPB=60°,试在灾民区中确定一条界线，使位于

界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一

界线是一条什么曲线，并求出其方程.

答案全解全析

基础过关练

1.A因为|PM|-|PN|=6=|MN],所以动点P的轨迹是一条射线.

方法总结

已知定点M,N及动点P,||PM|-|PN||<|MN|时，点P的轨迹是双曲

线；||PMHPN||=|MN|时，点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射

线；||PM|-|PN||>|MN|时，点P的轨迹不存在.

2.C因为。£(斗，冗)，所以-(^。入立0〉0,所以关于乂,丫的方程三一二=1所

\4/sin©cosd

表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆.

3.A依题意得,a=l,b=3,因此c=V10.因为|PF』=3£(c-a,a+c),所以点P在双曲

线的左支上，因此|PF』-1PF21=-2,即3-|PF21=-2,所以|PF?|=5,故选A.

易错警示

已知F„F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上,若|PE|<c-a,则点P

不存在;若c-aW|PF,|<c+a,则点P只能在左支上;若[PF』2c+a,则点P既能在左

支上,又能在右支上.

4.A连接PF2(Fz为双曲线的右焦点)，则ON是△PFE的中位线，•••|0用三匹|.

•JIPF1HPF2I|=4,|PFJ=1O,|PF21=14或6,|ON|=JPF2|=7或3.

5.A由双曲线的定义得IIPF1HPF2I|=4,

2

易知|F1F21=2V5,V|PFt1+1PF212=IFE12,

222

/.(IPFtJ-1PF21)=IPF!1+1PF21-21PFtI•|PF2|=16,

/.IPF,I-|PF2|=2,

则△FFF2的面积是:|PFj・|PF21=1.故选A.

6.答案9

22

解析因为点P在双曲线亍-裔=1的右支上，所以|PF』-|PFz|=4,所以

|PFi|=|PF2|+4.连接QF2.

又Q(l,4),F2(4,0),所以|PF"+|PQU|PF2|+4+|PQ|2|QF2|+4=9,当且仅当Q,P,F2

三点共线时取.故|PQ|+|PF』的最小值为9.

7.C由题意设双曲线的标准方程为真与=l(a>0，b>0).易得c=4,a=l,所以

b2=c2-a2=16-l=15.所以双曲线的标准方程是x2-^=l.故选C.

8.B设双曲线的标准方程为**l(a>O,b〉O),易知c=V5,又c2=a2+b2,所以

a2bz

22一

b2=5-a2,所以巳-4=1.因为线段PF,的中点坐标为(0.2),F,(-^5,0),所以点P的

QN5-az

坐标为(y,4).将(而,4)代入双曲线方程，得?4=1,解得a2=l或a?=25(舍去)，

Q/5-az

所以双曲线的标准方程为x2-^-=l.故选B.

9.A由题意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+l)<0,所以-l<k<L

故选A.

10.解析设双曲线的方程为mx2+ny2=l(mn〈0),

则｛需;富」i解得「二前

I/乙fit"I171L,'YX,~

<一25，

22

故双曲线的标准方程为5-3=1.

2575

22

11.解析由双曲线.-近=1,得C2=16+9=25,AC=5.

设所求双曲线的标准方程为马-白1(a>0,b>0).

a2b2

•.•所求双曲线与双曲线3=1共焦点，，b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为

22

-xy——=11

a225-a2,

点(-y，-⑹在所求双曲线上，

.卜(_(-㈤2

,•a225-a2'

化简得4a「1291+125=0,

解得a2=l或a2ag.

4

当a2卫时,b2=25-a2=25--=--<0,舍去，

444

.*.a2=l,b2=24,

2

...所求双曲线的标准方程为X2-^=1.

22

12.解析设双曲线C的标准方程为召-£=1(a>0,b>0).易知原点0分别为AB和

FE的中点，

所以四边形ARBF2为平行四边形，

又因为|AB|=|FEl,

所以平行四边形ARBF2为矩形.

因为四边形AF3F2的面积为6,

所以|AFi||AFz|=6,

又因为|AF-2+|AF2|2=|FF2「=16,1IA&HAF2I|=2a,

222222

所以4a2=IAF,|+1AF2|-21AFI|IAF21=16-12=4,解得a=l,所以b=c-a=3.

c、，2

故双曲线C的标准方程为x2-^-=l.

13.C如图,设AABC与圆的切点分别为D,E,F,则|AD|=|AE|=8,

|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.

22

根据双曲线的定义，所求轨迹是双曲线的右支，除去点(3,0),方程为？-£1(X>3).

916

故选C.

14.B取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点0为坐标原点建立平面直

角坐标系，如图所示.

易知D(10V2,20),B(10V10,-60).

'200_400_]

设双曲线的标准方程为今汩(a>0,b>0),则短"解得依二案二，所

以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.

15.解析由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为

22

彳-卷=l(a>0,b>0),且a?+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得此

az

交点的坐标为2运4)或(-“亏,4).由交点在双曲线上知号—1=1.

(u^+匕2=9,(2_A.2”2

由竺一竺_1得n%Z/故所求双曲线的标准方程为5-器=1.

能力提升练

1.D不妨设|PF1|=X,|PF2]=y(x>y).

易得c=V5,a=2,b=l.

,点P在双曲线上，.\x-y=4.①

•.•NFFF2=90°,，x2+y2=20.②

由①②得xy=2,.,.S&1PF2gxy=L

设△F1PF2斜边上的高为h,则称•2c-h=V5h=l,

解得h=?,故点P到x轴的距离为日故选D.

2.D因为双曲线两焦点间的距离为4,所以c=2.

2222

当焦点在X轴上时，方程『+一7=1可化为等--*_=1,所以

z+nn-3m£mz+n3mz-n

4=(m2+n)+(3m'-n),解得m2=l.

22

因为三一-*=1表示双曲线，所以近+0•(3m2-n)>0,即(n+1)(n-3)(0,

mz+n3mz-n

解得T〈n〈3,故n的取值范围是(-1,3).

2222

当焦点在y轴上时，方程=一+-=1可化为--不^=1,所以

mz+nn-3mzn-3mz-(mz+n)

4=(n-3m2)-(ni2+n),解得m2=-l,无解.

综上,n的取值范围是(-1,3).故选D.

3.B依题意得a=4,b=3,c=Va2+b2=5.

不妨设点P在双曲线的右支上,如图所示.

过F2作FzD_LAFi于点D.

易得四边形ABF2D为矩形.

,.,|AF,|=|PFd,|BF2|=|PF2|,

A|F1D|=|AF1|-|AD|=|AFl|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.

又：|FF21二2C=10,

222

...在RtZ\RDF2中，|F2DI=IF1F212-1FIDI=V10-8=6,

A|AB|=|F2D|=6.

4.答案26

解析由题意得|AFz|-|AFj=2a=8,IBF2I-|BF』=2a=8,

所以IAF2I+IBF2HlAF』+|BFj)=16,

即IAF2I+IBF2I-|AB|=16.

因为|AB|=5,所以|AF2|+|BF2」=16+5=21,

所以AABF2的周长为IAF21+1BF21+1ABI=21+5=26.

、v2c

5.答案--y2=l

4

解析由题意得,双曲线的焦点在X轴上，且|FE|=2c=2花.

2

由双曲线的定义知||PFj-IPF2I|=2a,得|PFI|2-2|PFJ­|PF2|+|PF2|=

4a2.

由耐•丽=0矢口PF|_LPF2,

二|PFI|2+|PF2「=|FF2|2=20.

2222

又|PFj•|PF2|=2,/.a=4,/.b=c-a=l,

2门

该双曲线的标准方程为二v-y2=1.

4

6.答案x=土手

解析由|V%2+4x+5-Vx2-4x+5I=2,

得IJa+2)2+(1-0)2-J(X-2)2+(1-0)21=2,其几何意义为平面内一点(X,1)

与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2.

平面内与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.

22

设双曲线的方程为〜卷=1(a>0,b>0),

a2b2

由题意得a=l,b=V22