椭圆标准方程及几何性质-生用

PAGE1/6椭圆标准方程典型例题一、知识要点：1、椭圆的定义:第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和为等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.=1\*GB3①当，点P无轨迹；=2\*GB3②当时，点P的轨迹为线段；=3\*GB3③当时，点P的轨迹为椭圆。第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到相应的定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.2、椭圆的方程与几何性质:标准方程性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线3、点和椭圆的位置关系。点和椭圆的方程为=1\*GB3①若，则点在椭圆内；（证明直线与椭圆恒相交的问题）=2\*GB3②若，则点在椭圆上；=3\*GB3③若，则点在椭圆外；4、直线和椭圆的位置关系。直线：，椭圆的方程为。（若直线过轴上一点，最好设直线方程为；若直线过轴上一点，最好设直线方程为）将直线方程代入椭圆的方程得到关于一元二次方程，设它的判别式为Δ，=1\*GB3①相离Δ<0直线和椭圆无交点；=2\*GB3②相切Δ＝0直线和椭圆只有一个交点；=3\*GB3③相交Δ>0直线和椭圆有两个交点；弦长为，则5、椭圆的标准方程的一般形式：=1\*GB3①若知道焦点的位置，可按焦点的位置设椭圆的标准方程。=2\*GB3②若不知道焦点的位置，可讨论在轴轴上两种情况，也可以直接设。=3\*GB3③和焦点相同的椭圆的标准方程为；=4\*GB3④和离心率相同的椭圆的标准方程为；6、椭圆的焦半径公式已知椭圆的标准方程为,焦点F1，F2为椭圆的左右焦点，若点为椭圆上一点，其横坐标为，则，，（左加右减）7、焦点三角形应注意以下关系：以焦点在轴上为例：P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝(1)定义知：r1＋r2＝2a；(2)余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2；(3)面积：＝r1r2sin＝·2c|y0|，=4\*GB2⑷，=5\*GB2⑸当P在短轴的端点时，为最大，即从长轴的端点向短轴的端点移动，逐渐变大。（6）焦点在轴上时，若轴，则8、椭圆中点弦问题常用“点差法”求解。若椭圆焦点在轴上，弦的端点设为，中点为，把点代人圆锥曲线方程后相减得定值。（注意不要记），（设点不求点）注意中点应在椭圆内部。9、直线过椭圆的焦点时，=1\*GB3①直线垂直焦点所在的轴时弦长最短，且最短为，此时弦叫通经，最长是长轴长；=2\*GB3②以椭圆弦长为直径做圆，则此圆与相应的准线相离。二、例与练1、已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．2、已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程3、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．4、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．5、已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．6、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．7、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．8、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．9、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．10、已知方程表示椭圆，求的取值范围．11、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．12、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．13、知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹．14、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．15、椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为A．4B．2C．8D．16、已知椭圆，试确