第05讲：函数基础知识和基本性质期末高频考点题型讲与练 解析版

第05讲：函数基础知识和基本性质期末高频考点题型讲与练【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域考点二：函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的考点三．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值考点四．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【题型归纳】题型一：函数的定义域1．（2023下·云南红河·高一统考期末）函数的定义域为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.【详解】由题得，解得且.故选：A.2．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】由题知，即，解得，故函数的定义域为.故选：B3．（2023上·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的定义域，可得，求出的范围，即可得到函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为.故选：A.题型二：已知函数的定义域求参数范围4．（2023上·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）函数的定义域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先验证时的情况，再当时，利用二次函数的性质列不等式求解.【详解】当时，，定义域不为；当时，若函数的定义域为，则，解得故选：A.5．（2021下·甘肃庆阳·高一校考期末）若函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知恒成立，利用二次函数恒成立求解即可.【详解】∵函数的定义域为，所以恒成立，当时，显然不合题意，当时，则∴综上所述故选：C.6．（2022上·广东汕头·高一校考期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得不等式恒成立，分类讨论列不等式组求解，【详解】由题意得对恒成立，当即时，不满足题意，当时，由解得，综上，的取值范围是，故选：B题型三：复杂（根式、分式）函数的值域7．（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知值域为，故A错误；时，等号成立，所以的值域是，B错误；因为定义域为，，函数值域为，故C正确；，，，所以，故D错误.故选：C.8．（2022上·四川雅安·高一统考期末）的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，又在时单调递增，所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：D.9．（2021上·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．【详解】解：设，则，则，则函数等价为，对称轴为，则当时，函数取得最大值，即，即函数的值域为，，故选：．题型四：求解析式三大方法10．（2023上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将变为，根据整体代换思想，可得答案.【详解】由题意，故，故选：D11．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知定义在上的函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，解方程组求即可.【详解】由可得，所以由解得，故选：A12．（2021·高一课时练习）已知，则函数的解析式是（

）A． B．（且）C． D．【答案】B【分析】根据换元法求解析式即可.【详解】解：由题知且，令，则（且），∴（且），∴（且）．故选：B．题型五：函数相等问题13．（2023上·甘肃临夏·高一校考期末）下列两个函数相等的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】直接根据函数的三要素判断.【详解】对于A，，定义域为R，，，故A不正确；对于B，定义域为R，定义域为，故B错误；对于C，，的定义域为，故C正确；对于D，定义域为，的定义域为，故D错误；故选：C.14．（2023上·四川遂宁·高一校考期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，的定义域是，，且定义域为，是相同函数，A选项正确.B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.C选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.故选：A15．（2023上·广东清远·高一统考期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【分析】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.【详解】对选项A，因为定义域为R，定义域为R，定义域相同，但，所以，不是同一函数，故A错误；对选项B，因为定义域为R，定义域为，定义域不同，所以，不是同一函数，故B错误；对选项C，因为定义域为，定义域为，定义域不同，所以，不是同一函数，故C错误；对选项D，因为定义域为R，定义域为R，又，所以，是同一函数，故D正确.故选：D题型六：分段函数问题16．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数，若的零点个数为2，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出的图象，令，利用数形结合思想即可求解的范围.【详解】由题知，函数，作出的图象，利用数形结合思想可知：当时，与有两个交点.故选：B.17．（2022上·河南焦作·高一校考期末）若函数且满足对任意，都有成立，则的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据条件先分析出的单调性，然后列出关于的不等式组，由此求解出结果.【详解】因为对任意，都有成立，所以在上单调递增，所以，解得，故选：D.18．（2022上·河南新乡·高一校考期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数在上单调递增，，解得，实数的取值范围是.故选：C题型七：函数的单调性问题19．（2023上·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】已知是二次函数，其对称轴为，开口向上，要使得函数在区间上是减函数，则必须，即，所以实数的取值范围是.故选：D.20．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由可得：或或,解得或，所以满足的的取值范围是，故选：B.21．（2022上·广东深圳·高一校考期末）若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根据偶函数的性质有在上单调递减，在上单调递增，且，再由偶函数、单调性求解集.【详解】由题设，偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，故或，解集为或.故选：B题型八：函数的最值问题22．（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.【详解】若，此时，，而，故无解；若，此时，，而，令，，画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立，则要，解得：.故选：B.23．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.【详解】解：因为，所以，所以，即，由，则，即，因为对于任意，存在，使得，所以，则，解得，即.故选：A24．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨德强学校校考期末）设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为1，则有对任意的成立，将m看成变量，得出不等式组，解之可得结果．【详解】因为奇函数在上是增函数，且，所以的最大值为1．所以只需即对任意的恒成立即可，令，则，即解得或或．故选：D．题型九：利用奇偶性求函数的解析式25．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，，当时，．【答案】【分析】先根据奇函数性质求a，然后设，利用奇函数定义和已知条件求解可得.【详解】因为函数为奇函数，所以，解得.设，则，所以，又为奇函数，所以，即当时，.故答案为：26．（2023上·安徽芜湖·高一统考期末）函数为偶函数，当时，，则时，．【答案】【分析】由偶函数的定义求解．【详解】时，，是偶函数，∴，故答案为：．27．（2023上·广东汕尾·高一统考期末）已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；又，可得，所以；易知函数在上单调递增，所以不等式即为，根据函数单调性和奇偶性可得，解得.故答案为：题型十:利用函数的奇偶性与单调性解不等式28．（2023上·上海松江·高一校考期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是.【答案】【分析】先求定义域，再根据初等函数单调性和复合函数单调性判断的单调性，由奇偶性定义判断其奇偶性，然后根据奇偶性和单调性求解可得.【详解】由得，显然在区间上单调递增，由复合函数单调性可知，在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增.又，所以函数为奇函数，所以，所以，解得.故答案为：29．（2023上·山西朔州·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为.【答案】【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又在区间上单调递增，由，得，解得.由，得，解得或.所以，即或解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.30．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为．【答案】【分析】设函数，由条件可知函数是偶函数，并且在单调递减，然后利用函数的性质解抽象不等式即得.【详解】令，因为函数是定义在R上的奇函数，则，故为定义在R上偶函数，由，得在为减函数，由，可得，即，故，所以，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.题型十一：函数性质的综合性问题31．（2023上·重庆·高一统考期末）已知函数．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)求在上的值域．【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)在上为增函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合的奇偶性与单调性，即可求出在上的值域．【详解】（1）函数是奇函数．的定义域为，关于原点对称，因为，所以在上是奇函数．（2）在上为增函数；证明：任取，则，因为，所以，，，则，即．故在上为增函数．（3）结合（1）（2）知在上为增函数，即在上为增函数，当时，取得最小值，且最小值为当时，取得最大值，且最大值为故在的值域为．32．（2023上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；函数在上是增函数证明见解析(2)【分析】（1）根据奇函数的性质代入可求，然后结合函数单调性的定义即可证明；（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化为，解之即可得结论.【详解】（1）∵是奇函数，定义域为，∴，则，，所以，符合为奇函数，证明：任取，且，则，由，可得，则，，∴，即，∴函数在上是增函数.（2）∵函数在上是奇函数∴又函数在上是增函数∴令为，则解得即∴不等式的解集为33．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知是定义在上的奇函数．(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)若对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）根据定义在上的奇函数过原点，以及奇函数的性质，列方程即可求解；（2）先判断函数的单调性，结合单调性的定义证明结论即可；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式转化进行求解即可.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，则有，可得：，所以，又因为，所以，解得：，所以，；（2）在上单调递增．证明如下：由（1）得，取，令，则，由于函数为上的单调递增函数，且，又因为，所以，则，所以，即，所以在上单调递增；（3）因为是定义在上的奇函数，所以原不等式可转化为：，又因为在上单调递增，所以，令，则，原式化为：，整理得：，令，则，且当时等号成立，则，令，则对恒成立，又的图象开口向上，对称轴为，且，当，即时，在上恒成立，当，即或时，有，即，解得：，此时，综上所述，的取值范围为.【强化精练】一、单选题34．（2023上·浙江台州·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】依题意可得，求解即可.【详解】依题意可得，解得，所以函数的定义域是.故选：B.35．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数为定义在上的奇函数，则（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用奇函数的性质分别求得与，从而得解.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，又，即，则，所以.故选：B.36．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】利用函数的定义判断.【详解】A.的定义域为，的定义域为R，故错误；B.的定义域为，的定义域为，给错误；C.的定义域为，的定义域为R，故错误；D.的定义域为，的定义域为，故错误；故选：D37．（2023上·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数在定义域上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分段函数单调性的特征，求实数的取值范围.【详解】当时，单调递增且，所以当时，也单调递增，则解得，所以.故选：B.38．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题.【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以所以函数是定义在上的偶函数，因为对，且有，所以在上单调递增，所以，当时，则有，所以，即，所以在上单调递增，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，因为，所以即为，所以，解得.故选：B.39．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知定义在上的函数满足，在区间上满足，则下列关系式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用函数单调性的定义判断得在上的单调性，再利用赋值法与的单调性逐一判断ABC；举反例排除D即可.【详解】因为在上满足，所以在上单调递增，对于A，因为，所以，即，故A错误；对于B，因为，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，故B正确；对于C，因为在上单调递增，所以，即，故C错误；对于D，令，易得其满足题设条件，但，故D错误.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，，从而结合的单调性即可得解.40．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果【详解】因为，且时，，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，，解得或，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，，恒有，必有，即的取值范围是，故选：B【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属于较难题.41．（2023下·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调减函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图像关于直线对称，∴，又函数在上为单调减函数，∴，即，∴，故选：C.二、多选题42．（2023上·山东济南·高一济南三中校考期末）有以下判断，其中是正确判断的有（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．函数的最小值为2D．若，则【答案】BD【分析】A选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B选项，根据函数定义进行判断；C选项，利用基本不等式进行求解；D选项，先计算出，从而得到.【详解】A选项，的定义域为，而定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；B选项，根据函数定义，可知的图象与直线可以无交点，也可以有1个交点，故函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确；C选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但无解，故等号取不到，的最小值不为2，C错误；D选项，，则，故，D正确.故选：BD43．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性即可判断.【详解】对于A，函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在上单调递增，故A错误；对于B，函数的定义域为，，所以是偶函数，又函数在上单调递增，时，，而函数在上单调递减，故在上单调递减，故B正确；对于C，函数的定义域为，，函数为奇函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，，所以是偶函数，且在上单调递减，故D正确.故选：BD44．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，对于任意，都有成立．当时，，下列结论中正确的有（

）A．B．函数在上单调递增C．直线是函数的一条对称轴D．关于的方程共有4个不等实根【答案】AC【分析】由，令可得，进而结合奇偶性即可判断A选项；由可得，可得函数是周期为4的偶函数，结合题设画出大致图象，结合图象可判断BC选项；进而画出函数的大致图象，即可判断D选项.【详解】由，令，则，即，因为是定义在上的偶函数，所以，故A正确；由A知，，则，所以函数是周期为4的偶函数，结合时，，画出大致图象如下：结合图象可知，函数在上单调递减，直线是函数的一条对称轴，故B错误，C正确；对于D，画出函数的大致图象如下：结合图象可知，函数和有两个交点，所以方程共有2个不等实根，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数是周期为4的偶函数，然后画出大致图象，结合图象即可求解.45．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）已知函数，下面说法正确的有（

）A．的值域为B．的图象关于原点对称C．的图象关于轴对称D．，且恒成立【答案】BD【分析】根据分离常数的方法得到的值域，根据且定义域为即可得为奇函数且关于原点对称.【详解】，因为，所以，所以，，所以，可得的值域为，故选项A不正确；的定义域为，且，所以是奇函数，图象关于原点对称，故选项C不正确，选项B正确；设任意的，则，因为，所以，即，又因为，所以，故选项D正确.故选：BD.三、填空题46．（2023·全国·高一假期作业）若函数的定义域与值域相同，则实数的值为．【答案】2【详解】函数函数的定义域为函数的定义域与值域相同，函数的值域为．又函数在上单调递增，，解得．管案：247．（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据单调性分别列不等式计算即可.【详解】由在区间上是单调减函数，有解得，则的取值范围为.故答案为:.48．（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为．【答案】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.49．（2023上·山东菏泽·高一校联考期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为.【答案】/【分析】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以由，设，定义域为，因为，所以由，所以有，或，即，或，所以函数是正实数集上的减函数，因为为奇函数，所以有，因此函数是偶函数，，，，因为函数是偶函数，所以，因为，函数是正实数集上的减函数，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，结合所比较数的形式构造函数是解题的关键.四、解答题50．（2023上·安徽·高一期末）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，.(1)求的值；(2)求证：为奇函数；(3)求在上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)最大值为，最小值为【分析】（1）由题意令即可求解；（2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明.（3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解.【详解】（1）解：定义在上的函数对任意实数、，恒有，令，可得，从而.（2）证明：定义在上的函数对任意实数、，恒有，令，可得，所以，故为奇函数.（3）解：对任意、，且，则，于是，则，所以，，所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为，因为，，，所以在上的最大值为，最小值为．51．（2023上·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求；(2)求函数的解析式；(3)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）借助奇函数的性质即可得；（2）由定义在上的奇函数有，再设出时有，即可代入求解；（3）结合函数单调性与奇偶性即可得.【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，可得．又当时，，可得；（2）当时，；当时，，则，又，可得时，．所以；（3）由的解析式可得奇函数在上单调递增，所以即为，化为，解得，即的取值范