电力系统分析(5)

5电力系统潮流计算概述潮流计算问题的数学模型潮流计算的几种基本方法保留非线性潮流算法电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的基本电气计算，电力系统潮流计算的任务是根据给定的网络结构及运行条件，求出电网的运行状态，其中包括各母线的电压、各支路的功率分布以及功率损耗等。潮流计算是电力系统中应用最为广泛、最基本和最重要的一种电气计算。概述离线计算：规划设计;运行方式分析;其他计算的配合在线计算：安全监控和安全分析

常非线性用的潮流计算方法归纳到数学上属于多元代数方程组的求解问题，一般需采用迭代计算方法进行求解计算。20世纪50年代中期起，电力系统潮流计算的研究就是如何使用电子计算机计算电力系统的潮流问题。

对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下4个方面：1.计算速度；2.计算机内存占用量；3.算法的收敛可靠性；4.程序设计的方便性以及算法扩充移植等

的灵活通用性。

此外，程序使用的方便性及良好的人-机界面也越来越受到人们的关注。电力系统由发电机、变压器、输配电线路及负荷等组成。进行潮流计算时，发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个电流注入量表示。电力网络中的变压器、线路、电容器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻、电抗构成的等值电路模拟。

潮流计算问题的数学模型

展开为或

对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点电压与节点注入电流之间的关系为:或在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此用节点功率代替节点电流,得

或

上两式是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组。而采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采用迭代方法进行数值求解。根据对方程组的不同处理方式，形成了不同的潮流算法。对于电力系统中的每个节点，需要P、Q、U和相角四个变量才能确定其运行状态。n个节点总共有4n个运行变量。而基本方程式只有n个,将实部与虚部分开，则形成2n个实数方程式，仅可解得2n个未知运行变量。必须将另外2n个变量作为已知量而预先给定。也即对每个节点，要给定两个变量为已知条件，而另两个变量作为待求量。根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，电力系统的节点可分成PQ节点、PV节点及平衡节点三种类型。对平衡节点来说，其电压相角一般作为系统电压相角的基准。

交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示

或

而复数导纳为

将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式，并将实部与虚部分开，可得到两种形式的潮流方程。直角坐标形式

极坐标形式

若以p、u、x分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为

根据式，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量p，根据给定的控制变量u，求出相应的状态变量x。高斯-塞德尔法以导纳矩阵为基础，并应用高斯-塞德尔迭代的算法是电力系统应用最早的潮流计算方法。讨论电力系统中除1个平衡节点外，其余都是PQ节点的情况。由式可得

式中：、为已知的节点注入有功、无功功率。潮流计算的几种基本方法高斯-塞德尔迭代法若满足，则收敛得到真解。单变量函数给定初始值，代入上式，逐步迭代，直至收敛。电力系统稳态运行分析利用最新信息迭代收敛更快多变量函数高斯迭代法高斯-塞德尔迭代法电力系统稳态运行分析高斯-塞德尔法潮流计算取共轭电力系统稳态运行分析迭代至

高斯法设n个节点的电力系统，没有PV节点，平衡节点编号为s，其它节点均为PQ节点。满足这个等式就可停止计算，其中e=10-5~10-2。电力系统稳态运行分析迭代至高斯-塞德尔法满足这个等式就可停止计算，其中e=10-5~10-2。电力系统稳态运行分析对PV节点的处理(假定编号为p)：已知Pp和Up0舍去用Up0

代替保留计算PV节点的无功功率电力系统稳态运行分析平衡节点不参与迭代计算，直到潮流收敛后，用有功和无功功率计算公式即可求出平衡节点（假定编号为s）所发出的功率。利用电路基本定理完成各支路功率分布和支路功率损耗的计算。电力系统稳态运行分析

本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因此占用内存非常节省。该算法的主要缺点是收敛速度慢。由于各节点电压在数学上松散耦合，所以节点电压向精确值的接近非常缓慢。另外，算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升，因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。

为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因子，即取

式中：

是通过式求得的节点i电压的第k+1次迭代值；

是修正后节点i电压的第k+1次迭代值；

为加速因子，一般取。对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯-塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：此外，选择不同的节点为平衡节点，也会影响到收敛性能。节点间相位角差很大的重负荷系统；包含有负电抗支路（如某些三绕组变压

器或线路串联电容等）的系统；具有较长的辐射形线路的系统；长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。

为克服基于节点导纳矩阵的高斯-塞德尔迭代法的这些缺点，20世纪60年代初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯-塞德尔迭代法。但在牛顿法潮流出现后，即很少再被便用。目前基于节点导纳矩阵的高斯-塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值，一般只需迭代1～2次就可以满足要求。

牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法的一般概念牛顿-拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化——Taylor展开取x0

x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:，

在x0和x*之间。将(x*

x0)2看成高阶小量，则有：线性xyx*x0x1迭代公式：

将非线性代数方程组

在待求量

的某一个初始估计值

附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组

称为牛顿法的修正方程式。

由上式根据初值

可

第一次迭代的修正量

将

和

相加，得到变量的第一次改进值

。

因此，应用牛顿法求解的迭代格式为

上两式中：

是函数

对于

的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵

，为迭代次数。牛顿法当初值

和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。因此，应用牛顿法求解的迭代格式为

上两式中：

是函数

对于

的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵，

为迭代次数。牛顿法当初值

和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。非线性方程组的求解：推广于多变量非线性方程组(4-31)求解修正量的方程组已知已知相量形式变量的迭代公式相量形式矩阵元素形式雅可比矩阵收敛判据预先给定任意小正数

修正方程式——极坐标形式

令

，对每个

节点及

节点，有

对每个

节点，有

节点电压以极坐标表示时

的牛顿-拉夫逊法潮流算法节点功率方程n-m-1个PQ节点，m个PV节点，1个平衡节点。给定给定计算理想解节点功率误差方程计算修正量方程雅克比矩阵功率误差的计算

雅克比矩阵

分子的脚标数分母的脚标数将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式

式中：

为节点个数，

为

节点数，雅可比矩阵是

阶非奇异方阵。雅可比矩阵各元素的表示式如下：节点电压用极坐标表示的Newton-Laphson法潮流计算功率不平衡方程式（数学模型）修正方程式功率不平衡方程式（数学模型）修正方程式修正方程式求电压修正量修正各节点电压？直角坐标形式令

，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有

个方程式。对每个

节点，有

对每个

节点，还有

采用直角坐标形式的修正方程式为

PQ节点，i=1,2,…,mPV节点，i=m+1,…,n-1节点电压用直角坐标表示的潮流计算——Jaccobbi矩阵表达式的推导节点电压用直角坐标表示的潮流计算

——Jaccobbi矩阵表达式推导示例分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。

1.修正方程式的数目分别为

及

个，在

节点比例不大时，两者的方程式数目基本接近

个。

2.雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。(3)从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素

是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个

阶子阵

作为分块矩阵的元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。

(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于，所以雅可比矩阵不是对称阵。修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。

修正方程式的处理和求解

有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。1对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。2修正方程式的求解过程，采用对包括修正方程常数项的增广矩阵以按行消去的方式进行消元运算。由于消元运算按行进行，因此可以边形成增广矩阵，边进行消元运算，边存储结果，即每形成增广矩阵的一行，便马上进行消元，并且消元结束后便随即将结果送内存存储。

3.节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。

节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。静态法——按各节点静态连接支路数的多

少顺序编号。由少到多编号；半动态法——按各节点动态连接支路数的

多少顺序编号；动态法——按各节点动态增加支路数的多

少顺序编号。消去节点后出现新支路数最少的节点。节点编号优化通常有三种方法：

三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。1其优点是收敛速度快，若初值较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4～5次便可以收敛到非常精确的解，而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。

2牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对高斯-塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠地敛。3初值对牛顿法的收敛性影响很大。解决的办法可以先用高斯-塞德尔法迭代1～2次，以此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿法迭代。牛顿潮流算法的特点

随着电力系统规模的日益扩大以及在线计算的要求，为了改进牛顿法在内存占用量及计算速度方面的不足，人们开始注意到电力系统有功及无功潮流间仅存在较弱联系的这一特性，于是产生了一类具有有功、无功解耦迭代计算特点的算法。在70年代提出的P-Q分解法是在广泛的数值试验基础上挑选出来的最为成功的一个算法，它无论在内存占用量以及计算速度方面，都比牛顿法有较大的改进，从而成为当前国内外最优先使用的算法。

P-Q分解法其他潮流计算方法简介一、P-Q分解法1974年，由ScottB.在文献(@)中首次提出PQ分解法，也叫快速解耦法（FastDecoupledLoadFlow，简写为FDLF）。2.PQ分解法是由极坐标形式的牛顿法演化而来，但是该法在内存占用量和计算速度方面，都比牛顿法有较大改进，是目前国内外最优先使用的算法。文献(@):FastDecoupledLoadFlow．IEEETrans.PAS.1974.93(3):859～869(2)一般线路两端电压的相角差不大(3)与系统各节点无功功率相适应的导纳BLDi必远小于该节点自导纳的虚部，即：交流高压电网的特点(1)交流高压电网X>>R注：证明中忽略i节点总并联对地电纳，不计电阻。ij一、P-Q分解法交流高压电网X>>R1、修正量方程

分开迭代2、系数矩阵2、系数矩阵3、简化的修正量方程3、简化的修正量方程导纳矩阵的虚部3、简化的修正量方程导纳矩阵的虚部收敛条件：快速P-Q分解法在P-δ迭代时用的B’进一步简化：忽略对地电纳支路，忽略线路电阻；用平均电压代替各节点电压的计算值。1用解两个阶数几乎减半的方程组（

阶和

阶）代替牛顿法的解一个

阶方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。牛顿法和P-Q分解法的典型收敛特性P-Q分解法的特点：牛顿法和P-Q分解法的典型收敛特性NR－牛顿法；FDLF－P-Q分解法

2牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解，而P-Q分解法的系数矩阵

和

是常数阵，因此只需形成一次并进行三角分解组成因子表，在迭代过程可以反复应用，显著缩短了每次迭代所需的时间。

3雅可比矩阵

不对称，而

和都是对称阵，为此只要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，减少了三角分解的计算量并节约了内存。由于上述原因，P-Q分解法所需的内存量约为牛顿法的60%，而每次迭代所需时间约为牛顿法的1/5。从牛顿法到P-Q分解法的演化是在元件

以及线路两端相角差较小等简化基础上进行的，因此当系统存在不符合这些假设的因素时，就会出现迭代次数增加甚至不收敛的情况。元件

大比值病态问题这其中以出现元件大

比值的情景最多，如低电压网络，某些电缆线路，三绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路

比值偏高的问题。

大

比值病态问题已成为P-Q分解法应用中的一个最大障碍。解决这个问题的途径主要有以下两种。

对大

比值支路的参数加以补偿

对算法加以改进

1对大

比值支路的参数加以补偿

对大

比值支路的参数加以补偿，又分成串联补偿法及并联补偿法两种。串联补偿法这种方法的原理见图，其中

为增加的虚构节点，

为新增的补偿电容。

数值的选择应满足

支路

的条件。对大R/X比值支路的串联补偿(a)原支路；(b)补偿后的支路这种方法的缺点是如果原来支路的

比值非常大，从而使

的值选得过大时，新增节点

的电压值有可能偏离节点

及

的电压很多，这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。如图所示，经过补偿的

支路的等值导纳为仍等于原来

支

路的导纳值。并联补偿新增节点

的电压

不论

的取值大小都介于支路两端电压之间，不会产生病态的电压现象。

并联补偿法。对大R/X比值支路的井联补偿(a)原支路；(b)补偿后支路为了克服P-Q分解法在处理大

比值问题上的缺陷，许多研究工作立足于对原有算法加以改进，希望能找到一种方法，既能保待P-Q分解法的基本优点，又能克服大

比值问题带来的收敛困难。提出的这一类算法中，基本上保留了原来P-Q分解法的框架，但对修正方程式及其系数矩阵的构成作出各种不同的修改。2对算法加以改进

下面介绍一种较常用的方法。前面提到，在构成

的元素时不计串联元件的电阻，仅用其电抗值（

），而在形成

的元素时则仍用精确的电纳值(

)，称之为