圆锥曲线的方程知识梳理-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线的方程知识梳理1.椭圆的定义我们把平面内与两个定点的距离等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的．定义几何式：|MF1|＋|MF2|＝2a；代数式：，。一般地集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：=1\*GB3①若a>c，则集合P为；=2\*GB3②若a=c，则集合P为；=3\*GB3③若a<c，则集合P为。2.双曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：=1\*GB3①若a<c，则集合P为；=2\*GB3②若a＝c，则集合P为；=3\*GB3③若a>c，则集合P为；=4\*GB3④若2a=0,则集合P为。（2）第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹，当时为，当时为，当时为，其中定点称为焦点，定直线为准线，定值称为的离心率.3．椭圆、双曲线的标准方程和几何性质椭圆a>b>0双曲线a>0，b>0标准方程图形焦点坐标及判断对称性范围顶点坐标长轴短轴实轴虚轴通径渐近线无离心率、范围及作用a,b,c的关系说明：椭圆双曲线的方程可化为一个统一的形式，即Ax2+By2=1（各自限制条件不一）。①在椭圆中a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长；在双曲线中a和b分别叫双曲线的和；②在椭圆中e越接近１，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越；反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于；当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．③在双曲线中x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，而椭圆的焦点所在位置与分母的大小有关,所以由方程定焦点：椭圆看大小，双曲线看符号。4.与渐近线有关的常用结论①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为。②渐近线为的双曲线方程可以设为。abc渐近线方程为bx±ay=0的双曲线可设为b2x2a2y2=λ(λ≠0)abc渐近线为的双曲线方程可以设为；③双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）。=4\*GB3④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2)。5．抛物线的定义与几何性质抛物线定义平面内到定点F与定直线（F点在直线外）___________的点的轨迹注：若F在直线上，则轨迹为_____________离心率图象PP叫做________,P_____0,P越大，抛物线的开口越______标准方程根据___________判断焦点的位置对称轴范围焦点准线方程焦半径焦点弦6.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法.（建设限代化）⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.7．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或)的一元方程，即消去后，得，(1)当时，则有，直线与曲线；，直线与曲线；，直线与曲线。(2)当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点。此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是，若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是。【注】平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点，过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.8．中点弦问题：若是椭圆的一条弦，其中点M坐标为，则直线的斜率为。运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得，，从而，故。运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点M，则；已知是抛物线的弦，中点M，则。9．弦长公式：若直线与二次曲线的交点为A()和B()方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离方法二：利用弦长公式：==.10.焦点三角形：椭圆双曲线上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中，(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为．则在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，(1)焦点三角形中，，其面积为：.(2)双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为(3)焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且，则，即动点的点的轨迹为.11.双曲线上任意两点的坐标性质为双曲线上的任意两点，且，则.【推广1】直线过双曲线的中心，与双曲线交于两点，为双曲线上的任意一点，则（均存在）.【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若为的中点，则.【推广3】为双曲线上的任意一点,则.反过来也成立，将双曲线改为椭圆，相应的结论如何变化？试写出。若曲线的焦点在轴上，相应的结论又如何变化？试写出。12.抛物线焦点弦的性质（1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则①，；②，；③；④.（2）过抛物线的焦点作倾斜角为（斜率为）的直线交抛物线于（在上方）两点，则①；②；③.过抛物线的焦点作直线轴，交抛物线于两点，弦长，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.（3）过抛物线的