高中数学-平面向量专题

wordword/word第一局部：平面向量的概念与线性运算一.根底知识自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比拟大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法如此(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法如此a－b＝a＋(－b)数乘数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二.难点正本疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向一样的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比拟大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．根底自测1．化简eq\o(OP,\s\up10(→))－eq\o(QP,\s\up10(→))＋eq\o(MS,\s\up10(→))－eq\o(MQ,\s\up10(→))的结果等于________．2．如下命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up10(→))＝c，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b.假如点D满足eq\o(BD,\s\up10(→))＝2eq\o(DC,\s\up10(→))，如此eq\o(AD,\s\up10(→))＝________(用b、c表示)．4．如图，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．向量a，b，且eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝7a－2b，如此一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1给出如下命题：①假如|a|＝|b|，如此a＝b；②假如A，B，C，D是不共线的四点，如此eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(DC,\s\up10(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假如a＝b，b＝c，如此a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤假如a∥b，b∥c，如此a∥c.其中正确的序号是________．变式训练1判断如下命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)假如向量a与b同向，且|a|＝|b|，如此a>b；(2)假如|a|＝|b|，如此a与b的长度相等且方向一样或相反；(3)假如|a|＝|b|，且a与b方向一样，如此a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)假如向量a与向量b平行，如此向量a与b的方向一样或相反；(6)假如向量eq\o(AB,\s\up10(→))与向量eq\o(CD,\s\up10(→))是共线向量，如此A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向一样且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2如图，以向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b为边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up10(→))，eq\o(,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up10(→))，用a、b表示eq\o(OM,\s\up10(→))、eq\o(ON,\s\up10(→))、eq\o(MN,\s\up10(→)).变式训练2△ABC中，eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AC,\s\up10(→))＝b，用a、b表示向量eq\o(AE,\s\up10(→))、eq\o(BC,\s\up10(→))、eq\o(DE,\s\up10(→))、eq\o(DN,\s\up10(→))、eq\o(AM,\s\up10(→))、eq\o(AN,\s\up10(→)).题型三平面向量的共线问题例3设e1，e2是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up10(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up10(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up10(→))＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)假如eq\o(BF,\s\up10(→))＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．变式训练3设两个非零向量a与b不共线，(1)假如eq\o(AB,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up10(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up10(→))＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如下列图，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up10(→))，AD与BC相交于点M，设eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b.试用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up10(→)).六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的根底．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(CD,\s\up10(→))且AB与CD不共线，如此AB∥CD；假如eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(BC,\s\up10(→))，如此A、B、C三点共线．失误与防1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出如下命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比拟大小，但它们的模能比拟大小；③λa＝0(λ为实数)，如此λ必为零；④λ，μ为实数，假如λa＝μb，如此a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．42．假如A、B、C、D是平面任意四点，给出如下式子：＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝＋eq\o(DA,\s\up6(→))；②＋eq\o(BD,\s\up6(→))=；③－eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))+.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个3.O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足=0，如此等于()A.－eq\o(OB,\s\up6(→))B.＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))4.如下列图，在△ABC中，＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝3eq\o(ED,\s\up6(→))，假如＝a，＝b，如此eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bB．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b5.在四边形ABCD中，＝a＋2b,＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，如此四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对6.＝8，＝5，如此的取值围是__________．7．给出如下命题：①向量的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等；②向量a与b平行，如此a与b的方向一样或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必一样；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量eq\o(CD,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，如此点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.假如＝meq\o(AM,\s\up6(→))，＝neq\o(AN,\s\up6(→))，如此m＋n的值为________．9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，如此λ＝________.10.在正六边形ABCDEF中，＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，求，eq\o(AE,\s\up6(→)).11.如下列图，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．12.点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.〔1〕求＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)假如PQ过△ABO的重心G,且＝a,eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.第二局部：平面向量的根本定理与坐标表示一．根底知识自主学习1．两个向量的夹角定义围两个向量a，b，作eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，如此∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的围是,当θ＝时,两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b.2.平面向量根本定理与坐标表示(1)平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面的两个向量，那么对于这一平面的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面所有向量的一组．(2)平面向量的正交分解与坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向一样的两个单位向量i，j作为基底，对于平面的一个向量a，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．②设eq\o(OA,\s\up10(→))＝xi＋yj，如此向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标(x，y)就是的坐标，即假如eq\o(OA,\s\up10(→))＝(x，y)，如此A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量与向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①假如向量的起点是坐标原点，如此终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此eq\o(AB,\s\up10(→))＝，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝.4．平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔.二．难点正本疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up10(→))＝(x，y)．当平面向量eq\o(OA,\s\up10(→))平行移动到eq\o(O1A1,\s\up10(→))时，向量不变即eq\o(O1A1,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＝(x，y),但eq\o(O1A1,\s\up10(→))的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．三．根底自测1．向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，假如(a＋b)∥c，如此m＝________.2．向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，假如ka＋b与b平行，如此k＝________.3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．假如表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，如此向量d＝____________.4．四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))，如此顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)5．平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，如此向量a＋b()A．平行于y轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于x轴D．平行于第二、四象限的角平分线四．题型分类深度剖析题型一平面向量根本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，eq\o(AM,\s\up10(→))＝c，eq\o(AN,\s\up10(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(AD,\s\up10(→)).变式训练1如图，P是△ABC一点，且满足条件eq\o(AP,\s\up10(→))＋2eq\o(BP,\s\up10(→))＋3eq\o(CP,\s\up10(→))＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令eq\o(CP,\s\up10(→))＝p，试用p表示eq\o(CQ,\s\up10(→)).题型二向量坐标的根本运算例2A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(BC,\s\up10(→))＝b，eq\o(CA,\s\up10(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up10(→))＝3c，eq\o(,\s\up10(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标与向量eq\o(MN,\s\up10(→))的坐标．变式训练2(1)点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))的坐标；(2)a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：①3a＋4b；②a－3b；③eq\f(1,2)a－eq\f(1,4)b.题型三平行向量的坐标运算例3平面给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答如下问题：(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)假如(a＋kc)∥(2b－a)，数k；(3)假如d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.变式训练3a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．无视平行四边形的多样性致误试题：平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．平面向量根本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法如此，将向量进展分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法如此是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．失误与防1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．假如a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a∥b的充要条件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．七．课后练习1．向量a＝(1，－2)，b＝(1＋m,1－m)，假如a∥b，如此实数m的值为()A．3B．－3C．2D．－22．平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，如此2a＋3b等于()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)3.设向量a＝(3，eq\r(3))，b为单位向量，且a∥b，如此b等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))4.向量a＝(1，－m)，b＝(m2，m)，如此向量a＋b所在的直线可能为()A．x轴B．第一、三象限的角平分线C．y轴D．第二、四象限的角平分线5．A(7,1)、B(1,4),直线与线段AB交于C,且2eq\o(CB,\s\up6(→))，如此实数a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)6．假如三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，如此eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．7．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，如此实数x的值为________．8．假如向量a与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，如此x＝________.9．假如平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，如此b＝______________.10．a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n.(1)求cosA的值；(2)求sin(A＋30°)的值．12．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(a，b)，向量n＝(cosA，cosB)，向量p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)sin\f(B＋C,2)，2sinA))，假如m∥n，p2＝9，求证：△ABC为等边三角形．第三局部：平面向量的数量积一．根底知识自主学习1．平面向量的数量积两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，如此数量_______叫做a和b的数量积(或积)，记作________________.规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔；(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，a·a＝a2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|____|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a·b＝，由此得到(1)假如a＝(x，y)，如此|a|2＝或|a|＝.(2)设A〔x1,y1〕,B(x2,y2),如此A、B两点间的距离|AB|=＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a⊥b⇔.二．难点正本疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度与其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律与数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．三．根底自测1．向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，如此向量a和向量b的数量积a·b＝________.2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=,如此＝______.3．a＝(2,3)，b＝(－4,7)，如此a在b方向上的投影为______．4．|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，如此向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，如此c等于()A．(2,1)B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))D．(0，－1)四．题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求；(2)假如a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．变式训练1(1)假如向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正向，且|a|＝|b|＝1，如此(－3a)·(a＋b)＝______.(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)eq\o(BD,\s\up10(→))，||＝1，如此等于()A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)题型二求向量的模例2向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)(a－2b)·(a＋b)．变式训练2设向量a，b满足|a－b|＝2，|a|＝2，且a－b与a的夹角为eq\f(π,3)，如此|b|＝________.题型三利用向量的数量积解决夹角问题例3a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．变式训练3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．题型四平面向量的垂直问题例4a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)假如ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)变式训练4平面A、B、C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(n,1)，＝(5，－1)，且eq\o(OA,\s\up10(→))⊥eq\o(OB,\s\up10(→))，数m，n的值．五．答题规5．思维要严谨，解答要规试题：设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，假如向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，数t的取值围．六．思想方法感悟提高方法与技巧向量的数量积的运算法如此不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2(λ，μ，s，t∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立．因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.4．a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c.即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1.设向量a＝(1,0)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，如此如下结论中正确的答案是()A．|a|＝|b|B．a·b＝eq\f(\r(2),2)C．a∥bD．a－b与b垂直2.假如向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，如此x等于()A．6B．5C．4D．33.向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，如此向量a与a＋2b的夹角等于()A．150°B．90°C．60°D．30°4.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，假如＝(2,4)，＝(1,3)，如此等于()A．6B．8C．－8D．－65.假如e1、e2是夹角为eq\f(π,3)的单位向量，且向量a＝2e1＋e2，向量b＝－3e1＋2e2，如此a·b等于()A．1B．－4C．－eq\f(7,2)D.eq\f(7,2)6．假如向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为eq\f(π,3)，如此|a＋b|＝________.7．向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，如此a·b＝________，假如(a－mb)⊥a，如此实数m＝________.8．设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，如此a·c的值为________．9.〔O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点.平面的动点P满足假如λ＝eq\f(1,2)时，的值为______．10．不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，向量c＝a＋2b，求|c|的取值围．11．平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)假如a⊥b，求x的值；(2)假如a∥b，求|a－b|.12．向量a＝(cos23°，cos67°)，向量b＝(cos68°，cos22°)．(1)求a·b；(2)假如向量b与向量m共线，u＝a＋m，求u的模的最小值．第四局部：平面向量应用举例一．根底知识自主学习1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算与数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔⇔.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，利用夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(θ为a与b的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此根底上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．三．根底自测1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)．如此D点的坐标为________．2．平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，如此|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A(－2，y)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，假如⊥，如此动点C的轨迹方程为_______________．4．A、B是以C为圆心，半径为eq\r(5)的圆上两点，且||＝eq\r(5)，等于()A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．0D.eq\f(5\r(3),2)5．某人先位移向量a：“向东走3km〞，接着再位移向量b：“向北走3km〞，如此a＋b表示()A．向东南走3eq\r(2)kmB．向东北走3eq\r(2)kmC．向东南走3eq\r(3)kmD．向东北走3eq\r(3)km四．题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.变式训练1在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(eq\o(AB,\s\up10(→))－teq\o(OC,\s\up10(→)))·eq\o(OC,\s\up10(→))＝0，求t的值．题型二平面向量在解析几何中的应用例2点P〔0，-3〕，点A在x轴上，点M满足=0，eq\o(AM,\s\up10(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(MQ,\s\up10(→))，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．变式训练2圆C：(x-3)+(y-3)=4与点A〔1,1〕，M是圆上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2eq\o(AN,\s\up12(→))，求点N的轨迹方程．题型三平面向量与三角函数例3向量a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，c＝(－1,0)．(1)假如x＝eq\f(π,3)，求向量a与c的夹角；(2)假如x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,4)))，求函数f(x)＝a·b的最值；(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝eq\f(\r(2),2)sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？变式训练3A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．(1)假如·＝－1，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)假如|+|＝eq\r(13)，且α∈(0，π)，求eq\o(OB,\s\up12(→))与的夹角．五