1.1.2集合的基本关系课件-高一上学期数学人教B版

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.2集合的基本关系基础知识给定集合A={1，3}，B=

{1，3，5，6}，容易看出，集合A的任意一个元素都是集合B的元素。一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作1.子集对应地，如果A不是B的子集，则记作AB(或BA)读作“A不包含于B”(或“B

不包含A”).A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).尝试与发现根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么A⊆A

吗?(2)你认为可以规定空集∅是任意一个集合的子集吗？为什么?不难看出，依据子集的定义，任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A

称为集合B

的真子集，记作A⫋B

(或B⫌A)，读作“A

真包含于B”(或“B真包含A”)。1.真子集例如，分析集合A={1，2)，B={1，2,3，4}之间的关系，可知A

是B的子集(即A⊆B)，而3∈B且3∉A，因此A是B的真子集，即A⫋B.BA如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图，例如，A是B的真子集，可用右图表示。根据子集、真子集的定义可知:对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；对于集合A，B，C，如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C.典例精析例1.写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集。分析：如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合A含有3个元素，因此它的子集含有的元素个数为0，1，2，3。可依下列步骤来完成此题：写出元素个数为0的子集，即∅；(2)写出元素个数为1的子集，即{6}，{7}，{8};(3)写出元素个数为2的子集，即______________________;(4)写出元素个数为3的子集，即______________________.解：集合A的所有子集是∅，{6}，{7}，{8}

，{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}。在上述子集中，除去集合A本身，即{6，7，8}，剩下的都是A的真子集。{6，7}，{6，8}，{7，8}{6，7，8}例2.已知区间A=(－∞，2]和B=(－∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围。解：因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示。从而可知a≤2.3.集合的相等与子集的关系情境与问题已知S={x|(x+1)(x+2)=0}，T={－1，－2}，这两个集合的元素有什么关系？S⊆T吗？T⊆S吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗?上述问题中，组成S的元素与组成T的元素完全相同，即S=T；另外，由子集的定义可知S⊆T且T⊆S.一般地，由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；(2)如果

A=B，则A⊆B

且B⊆A.典例精析例3.写出下列每对集合之间的关系：(1)A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5};(2)C={x|x2=1}，D={x||x|=1}；(3)E=(－∞，3)，F=(－1，2];(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}，

H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形).分析：因为集合之间的关系是通过元素来定义的，

所以只要针对集合中的元素进行分析即可。解：(1)因为B的每个元素都属于A，而4∈A且4∉B，所以B⫋A(2)不难看出，C和D包含的元素都是1和－1，所以C=D.(3)在数轴上表示出区间E

和F，如图所示由图可知F⫋E(4)如果x∈G，则x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x是矩形，从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x∈H，因此G⊆H.反之，如果x∈H，则x是有一个内角为直角的平行四边形，所以x是矩形，从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形，所以x∈G，因此H⊆G.综上可知，G=H.由上可以看出，当A是B的子集时，要么A是B的真子集，要么A与B相等。基础自测1．已知A＝{1,2}，则A的子集共____个．解析：∵A＝{1,2}，∴A的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个。2．若M＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，N＝{1，－2}，P＝{(x，y)|y＝(x－1)(x＋2)}，则这三个集合中具有相等关系的是__________.解析：M＝{－2,1}，N＝{1，－2}，P表示的为在函数y＝(x－1)(x＋2)图像上的点构成的集合，故M＝N.4

M和N

3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝______.解析：由题意知1－a＝2，∴a＝－1.4．若A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}，试用Venn图表示它们之间的关系．解析：根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图所示．－1

集合间关系的判断下列各个关系式中，正确的是(

)D

归纳提升：1.判断集合间关系的常用方法2．已知集合相等求参数的方法从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系。首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解。当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论。求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性。对点训练1.能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2)和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(

)B

－2

确定集合的子集、真子集集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是(

)A．16

B．8

C．7

D．4C

解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，

所以A的真子集的个数为23－1＝7.归纳提升：求解有限集合的子集的三个关键点(1)确定所求集合。(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出。(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身。另外，一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个。对点训练1.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(

)A．2

B．4

C．6

D．82.已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集。B

解析：1.根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．2.∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}，∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．混淆集合间的属于和包含关系误区警示：判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等关系，但当以集合为元素组成集合时，集合间也可能为属于关系。解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两个集合中元素之间的关系是什么。根据子集的关系，确定参数的值对于两个集合A、B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A⊆B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法。1．分类讨论是指：(1)A⊆B在未指明集合A非空时，应分A＝∅和A≠∅两种情况来讨论。(2)因为集合中的元素是无序的，由A⊆B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论。2．数形结合是指对A≠∅这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)