2022年全国乙卷数学（理科）高考真题文档版（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

数学（理科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足=M={1,3},则()

A.2GMB.C.4走MD.5^M

2.已知z=l—2i,且z+应+Z;=0,其中a,b为实数，贝ij()

A.a-\,b——2B.a——\,b—2C.a-l,b-2D.a——l,b=—2

3.已知向量满足|a|=l,|b|=百,|a-2bl=3,则()

A.-2B.-1C.1D.2

4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的

人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{"}:4=1+'~,

a\

仇=1+—、一,4=1+-------Lj—，…，依此类推，其中4wN*(Z=l,2,…).则

%4—aH----------1—

%

()

A.b]<h5B.b3<bnC.h6<b2D,Z?4<b7

5.设F为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点5(3,0),若|AE|=|8可，贝

()

A.2B.2V2C.3D.3V2

6.执行下边的程序框图，输出的〃=（)

A.3B.4C.5D.6

7.在正方体ABCD—ABCQI中，E,F分别为AB,BC的中点，则()

A.平面g平面B.平面与平面48。

C.平面4所〃平面A|ACD.平面片所〃平面4G。

8.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,4一%=42,则a=（）

A.14B.12C.6D.3

9.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为（）

11V372

A.-B.-C.-----D.-----

3232

10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、

乙、丙比赛获胜的概率分别为P1,P2，P3,且23＞〃2＞月＞0・记该棋手连胜两盘的概率为

P,则（）

A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11.双曲线C的两个焦点为石，鸟，以C的实轴为直径的圆记为D,过耳作。的切线与C

3

交于M,N两点，且cosN6Ng=1,则C的离心率为（）

A旦3V13D.叵

B.一C.------

-2222

12.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)—/(x-4)=7.若

22

y=g（x）的图像关于直线尤=2对称，g（2）=4,则工/伏）=（）

k=\

A.-21B.—22c.-23D.-24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为.

15.记函数f(X)=8SC)(…,°“＜兀)的最小正周期为匚若/(T)邛'X弋

为f(x)的零点，则co的最小值为.

16.己知》=尤］和x=w分别是函数/(%)=24一ex?(。＞0且ah1)的极小值点和极大

值点.若不＜马，则a的取值范围是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

记ZXABC的内角A,8,C的对边分别为a,4c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)证明:2a2=b1+c1；

25

(2)若a=5,cosA=—,求ZVIBC的周长.

31

18.(2分)

如图，四面体ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面平面AC。；

(2)设45=3。=2,/4。8=60°,点尸在3。上，当△ART的面积最小时，求CF与

平面A8O所成的角的正弦值.

19.(12分)

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,

随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(单位：m3),

得到如下数据：

样本号/12345678910总和

0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.0

根部横截面积N0.6

4648855776

0.20.40.20.50.50.30.30.40.40.4

材枳量力3.9

5024146620

101010

并计算得=0038,2资=1.6158,Z飞X=02474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数r=-r=--------------=,J1.896«1.377.

-a-元爱8-一刃2

V/=1：=1

20.（12分）

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0,-两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P（l,—2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于

点7■，点H满足而=而.证明：直线"N过定点.

21.（12分）

已知函数/（x）=In（1+x）+axe~x.

（1）当a=M,求曲线y=/（x）在点（OJ（O））处的切线方程；

（2）若/（力在区间（—1,0）,（0,长。）各恰有一个零点，求a的取值范围.

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，

则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为|"=Gcos2f'"为参数）.以坐标原点为极

y=2sinr

点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为0sin［e+Wj+/M=O.

（1）写出/的直角坐标方程；

（2）若/与C有公共点，求m的取值范围.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

333

已知o,b,c都是正数，且。7+〃5+西=1,证明：

(1)abc<—；

9

,八abc,1

(2)+----+----<—〒

b+ca+ca+h2”

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数学（理科）

参考答案

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答

案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A2.A3.C.4.D5.B6.B7.A8.D9.C10.D11.C12.D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

3

13.—

10

2

14.(x-2)2+(y_3)2=]3或(x_2/+(y_l)2=5或4jq或

x——

319

i+g『=墨

15.3

16.

三、解答题：共0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

17.

(1)

证明：因为sinCsin(A—B)=sinBsin(C-A),

所以sinCsinAcos3—sinCsin5cosA=sinBsinCcosA-sin3sinAcosC，

所以ac•/+c、2_2反〃+/一片

lac2bc2ab

a2+c2-b1/,\a2+b2-c1

即0---------------(Zr+<?2-a，2)=----------

所以2a*—b2+c2i

(2)

解：因为。=5,(：054=',

31

由(1)得力2+02=50，

由余弦定理可得/-b2+c2-2bccosA<

则50-史历=25,

31

31

所以。c=二，

2

故(人+0)2=〃+02+2/^=5()+31=81,

所以。+c=9,

所以AABC的周长为a+b+c=14.

18.

(1)

因为AD=CP,E为AC的中点，所以ACLDE；

在△ABO和ACBD中，因为A。=CD,/ADB=ZCDB,DB=DB,

所以△A3。白△CB。，所以AB=C3,又因为E为AC的中点，所以ACL8E；

又因为DE,6Eu平面BED，DEcBE=E,所以AC，平面跳Z),

因为ACu平面ACD,所以平面BED，平面ACO.

(2)

连接所，由(1)知，AC,平面BED，因为EFu平面BED，

所以AC_LEE,所以S”Fc=gAC£F，

当所_LBD时，七户最小，即的面积最小.

因为△AB虑△C3D,所以C3=AB=2,

又因为NACB=60。，所以AABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以A£=EC=1,BE=6，

因为AOLC。，所以。E=，AC=1,

2

在△£)£»中，DE2+BE2=BD2>所以BE上DE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A(l,(),0)，网0,g,0),0((),0,l),所以4方=(-1,(),1),砺=11,月,()卜

设平面反£)的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AD=-x-^-z=0

则《取〉=6,则3=(3,6,3),

n-AB=-x+Gy=0

又因为c(一1,0,0),尸0耳，；，所以而=1,半,

\r)\r)

设CF与平面曲所成的角的正弦值为6»10<^<|

所以sin。=上伍引=孚,

所以CF与平面曲所成的角的正弦值为逋.

7

19.

(1)

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值元==0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=艺39=0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.060?，

平均一棵的材积量为0.39m3

(2)

1010

可(x-了)。戏

博-喈fl2_回序,2一回

_________0.2474-10x0.06x0.39_0.0134〜0.0134

«0.97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)70.0001896〜0.01377

则”0.97

(3)

设该林区这种树木的总材积量的估计值为Km3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得(39--p-'解之得丫=1209m.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.

(1)

解：设椭圆E的方程为如2+〃y2=i,过A（0,-2）,3仁,一1

4〃=1

则《9「解得相=?，n=~

—m+n=134

14

22

所以椭圆E的方程为：匕+土=1.

43

(2)

32

4(0,-2),B(-,-1),所以A8:y+2=1X,

22

①若过点「（1,-2）的直线斜率不存在，直线x=1.代入《+31,

可得知（1,半），N（l,—半），代入A8方程y=1x-2,可得

T（V6+3,39），由访=而得至UH（2屈+5,9）.求得HN方程:

y=(2-手»_2,过点(0,-2).

②若过点尸（1,-2）的直线斜率存在，设丘一y-（4+2）=0,M（内,y）,NO2,必）•

kx-y-(k+2)=0

联立《x2y2，得(3父+4)x?-6攵(2+人)*+3々(龙+4)=0,

—+—=1

34

6k(2+k)—8(2+Q

*+%=卡"

%1+工2=---3---4--72---+--4-----

可得《

34(4+2)4(4+4%—2左2)

%无2=——A---------

123^+4y2y233+4

-24k,*、

且=不二7（）

DK十今

y=*3

联立《2…可得T(T+3,y)H(3y+6—玉，弘).

"广22

可求得此时"N:y-%qj%-----(x-x2),

3M+6—玉一x2

将(0,-2),代入整理得2(演+4)—6(%+%)+芭%+-3%%—12=0,

将(*)代入，得24%+12/+96+48左一24k-48-48%+24Y-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

21.

(1)

/(X)的定义域为(-1,+00)

当a=1时,f(x)=ln(l+x)+彳XJ(0)=0,所以切点为(0,0)

e

11_

/(x)=--+Yr，f(0)=2,所以切线斜率为2

1+xe

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

(2)

/(x)=ln(l+x)+—

ex+a(\-x2

r八1一(Ir)

/-+——

\+xe(1+x)e"

设g(x)=e*+a(l-x2)

「若a>0,当xe(-1,0),g(x)=ev+«(l-x2)>0,即f'(x)>0

所以在(-1,0)上单调递增,f(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

2°若一掇上0,当xe(0,十功,则g'(x)=ex-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0卸/'(x)>0

所以/(x)在(0,+«))上单调递墙/(%)>/(0)=0

故/*)在(0,+8)上没有零点，不合题意

3°若"-1

⑴当xe(0,+8),则g'(x)=e*-2以>0,所以g(x)在(0,+oo)上单调递增

g(0)=l+a<0,g(l)=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(/n)=。,即f'(m)=0

当xe(0,/〃),/'(x)<0,/(x)单调递减

当XW(m,+00),f'(x)>0,/(X)单调递增

所以

当xw(0,m),f(x)<f(0)=0

当X—>+oo,/(x)—>4-00

所以/(X)在。〃,+8)上有唯一零点

又(0,m)没有零点，即."X)在(0,+oo)上有唯一零点

⑵当xe(-1,0),g(x)=er+a(l-x2)

设h(x)=g'(x)=e'-lax

(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

g'(-l)」+2"0,g'(0)=l>0

e

所以存在nG(-1,0),使得g'(〃)=0

当xe(-1,n),g'(x)<0,g(x)单调递减

当xw(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(_l)=，>0

e

所以存在Ze(-1,〃)，使得g«)=0,即/'(，)=0

当xe(-1,/)"(x)单调递增，当xG(Z,0),/(x)单调递减

有xf-co

而/(O)=0,所以当xe(r,O),/(x)>0

所以fa)在(-1,0上有唯一零点,(♦,0)上无零点

即/a)在(-1,0)上有唯一零点

所以符合题意

所以若一(X)在区间(一1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围为(<0,-1)

（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,

则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.

(1)

因/：Ps