2023年黑龙江省龙东地区中考数学真题（解析版）

黑龙江省龙东地区2023年初中毕业学业统一考试

数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.全卷共三道大题，总分120分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列运算正确的是()

A.(-2a)2=-4/B.(«—Z?)2=a~-b~

C.(-m+2)(-/«-2)=m2-4D.(炉)-=苏

【答案】C

【解析】

【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幕的乘方法则进行判断即可.

【详解】解：A.(—2。)2=44,原式计算错误；

B.(a-b^^a2-2ah+b2,原式计算错误;

C.(-m+2)(-m-2)=m2-4,计算正确;

D.(/)2="。，原式计算错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和累的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公

式是解题的关键.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转18()。，如果旋转

后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键.

3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有

1个正方体，据此可得答案.

【详解】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：

俯视图

所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5,

故选：B.

【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆

违章

4.已知一组数据1,0,-3,5,X,2,—3的平均数是1,则这组数据的众数是（）

A.-3B.5C.一3和5D.1和3

【答案】C

【解析】

【分析】先根据平均数的定义列出关于x的方程，求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解

即可.

【详解】解：；数据1,0,—3,5,x,2,—3的平均数是1,

；・1+0—3+5+X+2—3=7x1,

解得x=5,

则1,0,-3,5,5,2,-3,

这组数据的众数是-3和5,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了众数和平均数，解题关键是掌握众数和平均数的概念.

5.如图，在长为100m,宽为5（）m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉,

且花圃的面积是360（）0?，则小路的宽是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

【答案】A

【解析】

【分析】设小路宽为河，则种植花草部分的面积等于长为（100—2x）m,宽为（50-2x）m的矩形的面积，

根据花草的种植面积为360011?,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

【详解】解：设小路宽为xm,则种植花草部分的面积等于长为（100-2x）m,宽为（50-2x）m的矩形的

面积，

依题意得：（100-2x）（50-2x）=3600

解得：%=5,々=7。（不合题意，舍去），

...小路宽为5m.

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

777X

6.已知关于x的分式方程一^+1=不一的解是非负数，则加的取值范围是（）

x—22—x

A.m<2B.m>2C.”工2且〃zw-2D.仅<2且〃zw-2

【答案】C

【解析】

2—m

【分析】解分式方程求出工=-----,然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于相的不等式组，求解即

2

可.

【详解】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,

口2-m

解得：x=-----

2

mx

•••分式方程--+1="-的解是非负数,

x—22—x

2-m

22个*2,

2

〃2«2且〃2。一2,

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键.

7.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A,B,C

三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种

图书都要买），此次采购的方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】B

【解析】

【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依

据x的数量分两种情况讨论求解即可.

【详解】解：设采购4种图书x本，8种图书y本，C种图书z本，其中5Wx<6,y>0,z>0,且x,y,z均

为整数，根据题意得，

30x+25y+20z=500,

整理得，6x+5y+4z=100,

①当x=5时，6x5+5y+4z=100,

70-4z

••y--,

•；y>0,z>0,且y,z均为整数，

...当70—4z=10时，y=2,z=15；

当70—4z=3()H寸，y=6,，z=10；

当70-4z=50时,y=10,•••z=5；

②当x=6时，6x6+5y+4z=10(),

.64-4z

•-y=~,

y>0">0,且乂2均为整数，

...当64—4z=20时，y=4,z=ll；

当64—4z=4()时，y=8,z=6；

当64—4z=6()H寸，y=12,z=l；

综上，此次共有6种采购方案，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键.

k

8.如图，是等腰三角形，A6过原点。，底边轴，双曲线y=一过两点，过点C作

x

D.-9

【答案】C

【解析】

【分析】设根据反比例函数的中心对称性可得A(—"一然后过点A作于E,求出

3c=①，点。的横坐标为一3。，再根据Sso=12列式求出8,进而可得点。的纵坐标，将点。坐标

代入反比例函数解析式即可求出k的值.

【详解】解：由题意，设8卜年

•'A8过原点。，

过点A作AEJ.8C于E,

：_ABC是等腰三角形，

CE=BE=b_(_b)=2b,

：.BC=4b,点、D的横坐标为—3b,

•.•底边轴，C0〃y轴，

S=-BCCD=--4bCD=\2,

BC[D)22

6+公

•・D\-3b,

6+k

=—3(6+人)

~~b~

9

解得：k=——，

2

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性

质等知识，设出点8坐标，正确表示出点。的坐标是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标中，矩形A8CD的边40=5,04:0。=1:4,将矩形A5QD沿直线OE折叠到

如图所示的位置，线段。2恰好经过点8,点。落在y轴的点G位置，点E的坐标是（）

y

a

D

A.(1,2)C.(75-1,2)D.(1-V5,2)

【答案】D

【解析】

【分析】首先证明八A06AGO,求出AB=CD=2,连结。C，设BC与。G交于点F,然后求出

OC=OQ=275,可得C1b=2石—2,再用含ER的式子表示出EG，最后在Rt,EEG中，利用勾股

定理构建方程求出EF即可解决问题.

【详解】解：•••矩形A8CO的边相＞=5,04:8=1:4,

OA=\,OD=4,BC=5,

由题意知AB〃OG，

/.ZABO=NDQG,

又•/NBAO=NOD©=90°,

.AOBZ)|C|O,

OA_D,C,

•,瓦―"5^'

由折叠知OR=。。=4,Dg=DC=AB,

1AB

：.一=一，

AB4

AAB=2,即CE>=2,

连接。C,设BC与。G交于点F,

OC=y]OD2+CD2=742+22=2石,

•••ZFOA=ZOAB=ZABF=90°,

四边形OLB尸是矩形，

/.AB=OF=2,NBFO=90。=NEFC],OA=BF=1,

，CF=5-1=4,

由折叠知OCi=OC=2亚,EC】=EC=CF-EF=4-EF,

:.C、F=OC「OF=2亚-2,

•.•在RtE/&中，EF+CF=EC：,

：.EF2+（2A/5-2）2=（4-£F）2,

解得：EF=布-T，

...点E的坐标是（1—6,2）,

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠

的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的

关键.

10.如图，在正方形ABCD中，点分别是AB,8c上的动点，目AFIDE，垂足为G,将△ABE沿

AF翻折，得到△AMEAM交。£于点P,对角线8。交AF于点〃，连接HM,CM,DM,BM,下列

结论正确的是：@AF=DE；②BM〃DE：③若OV±FM,则四边形BUM尸是菱形；④当点E运动

到的中点，tanNBHF=2日⑤)EP-DH=2AG•BH.()

A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【解析】

【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答.

【详解】解：四边形ABCD是正方形，

：.ZDAE=ZABF=90P,DA=AB,

AF1.DE,

，Za4F+Z4£D=90°,

­.ABAF+ZAFB=9G°,

；.ZAED=ZBFA，

.-.AABF^AAED(AAS),

:.AF=DE，故①正确，

将AABF沿■翻折，得到，AMF，

BM.LAF，

•；AF工DE，

:.BM//DE，故②正确，

当0"±£1/时，NCMr=90。，

•,ZAMF=ZABF=90o.

:.ZAMF+ZCMF^\S00,即AM,C在同一直线上，

：.ZMCF=45°,

：.ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通过翻折的性质可得/”3/=/以以尸=45°,BF=MF，

AZHMF^ZMFC,ZHBC=ZMFC,

BC//MH,HB//MF,

，四边形5HM歹是平行四边形，

BF=MF,

，平行四边形是菱形，故③正确,

当点E运动到A6的中点，如图，

AD

M

设正方形ABC。的边长为2a,则=B尸=a,

在RtZXAED中，DE=^AD1+AE1=yf5a^AF>

ZAHD=ZFHB,ZADH=NFBH=45°,

•_F___H_____B___F______a_____\_

"AH~AD~2a~2,

2_275

..AAHU=—AF=-----a>

33

NAGE=/4B尸=90°,

.-.△AGF^AABF,

.AEEGAGa_75

一而一而一法一夜一7’

:.EG=—BF=—a，AG=-AB=—^-a

5555

DG=ED-EG=­a>GH=AH-AG=­a

515

ZBHF=ADHA，

在Rt^DGH中，tanZBHF=tanZDHA=—^=3,故④错误，

GH

△AH*AFHB，

BH1

/.----=—,

DH2

BH=-BD=-x2y/2a=^^a>DH=-BD=-x2y/2a=^^a，

333333

AFA.EP，

根据翻折的性质可得EP=2EG==^-a，

5

ADnu2小4>/28V102

5315

0"°2百208屈2

2AG•BH=2----a-----a=-----a，

5315

EPDH=2AG-BH=与叵a2，故⑤正确；

15

综上分析可知，正确的是①②③⑤.

故选:B.

【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求

做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键.

二、填空题（每小题3分，共30分）

11.据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用

科学记数法表示为.

【答案】5.699xlO7

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<\a\<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同•当原数绝对值210时，”是正

数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

［详解］5699万=56990000=5.699xlO7.

故答案为：5.699xlO7.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法•科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<忖<10,

〃为整数，表示时关键要正确确定”的值以及"的值.

12.函数y=J百中，自变量x的取值范围是.

【答案】x>-3

【解析】

【详解】解：由题意得，x+3>0,

解得3.

13.如图，在矩形ABC。中对角线AC,BD交于点0,请添加一个条件,使矩形

ABCO是正方形（填一个即可）

【答案】A3=BC或AC上8。

【解析】

【分析】根据正方形的判定定理可知：邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形.

【详解】•••邻边相等的矩形是正方形，

，可添加条件AB=3C

或者•.•对角线互相垂直的矩形是正方形

/.还可以添加条件AC1BD

【点睛】本题考查正方形的判定，找出正方形与矩形的性质差异，即为可添加的条件.

14.一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好

是一红一白的概率是.

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白

的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】解：列表得：

红1红2红3白1白2

红1（红1,红2）（红1,红3）（红1,白1）（红1,白2）

红2（红2,红1）（红2,红3）（红2,白1）（红2,白2）

红3（红3,红1）（红3,红2）（红3,白1）（红3,白2）

白1（白1,红1）（白1,红2）（白1,红3）（白1,白2）

白2（白2,红1）（白2,红2）（白2,红3）（白2,白1）

由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红-一白的情况有12种,

123

.••恰好是一红一白的概率是一=一,

205

3

故答案为：—

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

x+5>0

15.关于x的不等式组《，有3个整数解，则实数”的取值范围是__________.

x-m<1

【答案】-3Km<一2##—2>〃2之一3

【解析】

【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于，”的不等式组，进而可求得用的取值范围.

x+5>0

【详解】解：解不等式组，得：一5<xWm+l,

x-m<\

x+5>0

•.,关于X的不等式组《，有3个整数解，

x—m<1

...这3个整数解为T，-3,-2，

—2Wm+1<—1,

解得：—3W加<—2,

故答案为：-3<:〃<一2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于，〃的不等式组是解

题的关键.

16.如图，A3是।。的直径，Q4切。于点A,P。交C。于点C，连接BC,若NB=28°,则

【解析】

【分析】首先根据等边对等角得到N8=NOCB=28。，然后利用外角的性质得到

NAOC=NB+NOCB=56°,利用切线的性质得到NQ4P=90°,最后利用三角形内角和定理求解即

可.

【详解】解：•••NB=28°,OB=OC,

N3=NOCB=28。，

•••ZAOC=NB+ZOCB=56°，

切.。于点A,

/.NO4P=90°,

ZP=180°-ZOAP-ZAOP=34。.

故答案为：34.

【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

17.已知圆锥的母线长13cm，侧面积65万cn?，则这个圆锥的高是cm.

【答案】12

【解析】

【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高.

【详解】解：根据圆锥侧面积公式片=nrl变形可得r=-^=-=5cm,

7rl134

根据圆锥母线公式/=，,+川，可得h=庐：=J132-52=12cm，

故答案为：12.

【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键.

18.在RtaACB中，ZBAC=30°,CB=2,点£是斜边AB的中点，把RtAiABC绕点A顺时针旋转，

得Rt^AED,点C,点8旋转后的对应点分别是点。，点尸，连接。尸，EF,CE,在旋转的过程中，

△CE尸面积的最大值是.

【答案】4+73##>/3+4

【解析】

【分析】过点A作AG_LCE交CE的延长线于点G,求出AG='AC=G，然后由旋转的性质可知点F

2

在以A为圆心AB的长为半径的圆上运动，则可得如图中G、A、F三点共线时点F到直线CE的距离最大，

求出距离的最大值，然后计算即可.

【详解】解：如图，在RtZvlCB中，NR4C=30。，CB=2,点E是斜边AS的中点，

AAB=2CB=4,CE=^AB=2=AE,AC=6BC=26

/.ZEC4=ZBAC=30°,

过点A作AG_LC£交CE的延长线于点G,

AG——AC-y/3,

2

又•.•在旋转的过程中，点F在以A为圆心AB的长为半径的圆上运动，AF=AB=4,

.•.点F到直线CE的距离的最大值为4+6，（如图，G、A、F三点共线时）

...△CEF面积最大值=gcEx（4+G）=gx2x（4+G）=4+G，

故答案为：4+V3.

【点睛】本题考查了含30。直角三角形的性质，直角三

角形斜边中线的性质，旋转的性质，圆的基本性质等知识，根据旋转的性质求出点F到直线CE距离的最

大值是解答本题的关键.

19.矩形ABCD中，AB=3,A£>=9,将矩形438沿过点A的直线折叠，使点8落在点E处，若VADE

是直角三角形，则点七到直线BC的距离是.

【答案】6或3+2&或3-2夜

【解析】

【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，延长84交A的另一侧于

点E,则此时VAOE是直角三角形，易得点E到直线的距离；当过点。的直线与圆相切于点E时，

VAOE是直角三角形，分两种情况讨论即可求解.

【详解】解：由题意矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，

可知点E在以点A为圆心，A3长为半径的圆上运动，

如图，延长84交OA的另一侧于点E,则此时VADE是直角三角形，

点E到直线8c的距离为BE的长度，即8E=2A8=6,

当过点。的直线与圆相切与点E时，VADE是直角三角形，分两种情况,

①如图，过点、E作EHJ.BC交BC于点H,交AD于点G,

/.EG1AD,

四边形ABHG是矩形，GH=AB=3

VAE^AB=3,AEA.DE，AO=9,

由勾股定理可得22，

DE=79-3=672

'：S.=-AEDE=-ADEG,

AmED22

EG=2叵,

，E到直线BC的距离EH=EG+GH=3+2J5，

②如图，过点E作EN工BC交BC于点、N,交AO于点M,

•..四边形4BCO是矩形,

：.NM±AD,

，四边形ABNM是矩形，MN=AB=3

VAE=AB=3,AELDE，AD=9,

由勾股定理可得DE=492-32=672，

-S^ED^AE-DE^AD-EM,

•••EM=20，

E到直线BC的距离EN=MN-GN=3-2>/2，

综上，6或3+2也或3-2&，

故答案为：6或3+20或3-20.

【点睛】本题考查了矩形折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在直线4：y=、±x上，顶点8在x轴上，A6垂直x轴，

且08=2夜，顶点。在直线小尸底上，BC上％；过点A作直线12的垂线，垂足为G，交x轴于B,，

过点用作44垂直X轴，交4于点A，连接4G，得到第一个△A16£；过点4作直线4的垂线，垂足

为。2,交X轴于耳，过点当作4名垂直X轴，交4于点连接4G，得到第二个△&B？G；如此下

去，,则二A202382023G023的面积是----------

【答案】24046V3

【解析】

分析】解直角三角形得出NAQB=30。，ZBOC=60°,求出5ABe=6，证明△ABCS^AAG，

ABC^A2B2C2,得出SAB,G=4S"C，SMG=42-5ABC=仅2)26神，总结得出

Sme=(2"『SABC=22"SABC，从而得出4C=Xy/j=2^.

劣6”。“\/A6CA6C•々2023020235()23

【详解】解：•••QB=2&，

/.B（2A/2,0）,

••,4?1》轴，

点A的横坐标为2加，

..._^3

•1\•y=—x,

1-3

.♦.点A的纵坐标为立x2&=2匹

33

2屈

'tanNAOB=AB=~Y~=V3,

OB—2y/l-3

NAO8=30。，

l2：y-\l3x,

/.设C（线,％）,则yc=6xc，

tanNB0C=k=6

xc

・・・ZBOC=60°，

/.OC=OBxcos60°=2V2x—=V2,

2

BC=OBxsin60°=2V2x—=V6.

2

•/ZAOC}=ZBOC-ZAOB=30°,

ZAOB=ZAOC],

平分/BOC，

•ZAC,112,ABVOB,

••AC】=A_B=—-—,

•/AB=AC,,OA^OA,

RtOAB^RtOAC,,

OC}=OB=2sfi,

/.CC}=OC；_OC=2五_8=夜，

••SABC=2sOAB-SACC,HOC

=2x、2&x也」xax友」x夜x"

23232

—y/3，

•.•BC±,

NBCO=90。,

ZCBO=90°-60°=30°,

■：BtC,ll2,BC±l2,82c2U，

/.BC〃〃82G，

NJB。=ZC2B2O=ZCBO=30°,

NCgO=ZC2B2O=ZCBO=ZAOB,

/.AO=Ag,4。=4昆，

轴，44J_x轴，

：.OB=goB],OBi=；OB”

：A8_Zx轴，A4_Lx轴，4为！.》轴，

AB//AjB,//A2B2,

ABOB\AB_OB

-

*'2'A2B2~OB?4'

•••BC〃4ci〃82c2,

BCOB\BCOB\

*'2'82G一函一"

ABBC

‘丽=而’

ZABC=*B,C,=90°-30°=60°,

△A3CS/^A4C],

同理ABCs-2c2,

・

・・0qAMG-4vABC，

S.2c2=42•SABC=(2~).§ABC,

22n

■■^Ac,.-(")^ABc=2SABC

•••S.BC=22X2023X/3=24046V3.

•&2023%023so23>

故答案为：24046A/3.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和

性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是得出一般规律

S.qB.Q=（2"）SABC=2~"SABC.

三、解答题（满分60分）

（2、7%2—2/71+1

21.先化简，再求值：1--------............——,其中加=tan60。—1.

\77?4-1/-m

【答案】一工，原式=土史

m+13

【解析】

【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出根=6-1,最后代值计算即可.

2m2-2m+1

【详解】解:1

"2+1m2-m

_m+1-2(m-1)2

m+1m(m-l)

_m-1/n(m-l)

根+](m-1)2

m

771+1

••,m=tan60°-l=V3-l-

6-1

.•.原式=

V3-1+1

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，己知.A5C的三个顶点坐标分别是A（2,—1）,3（1,—2）,C（3,-3）.

（1）将ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△AgG，请画出△Age.

（2）请画出_A」BC关于V轴对称的△&与G.

（3）将△AH2c2着原点。顺时针旋转90°,得到△44G，求线段A2G在旋转过程中扫过的面积（结果

保留乃）.

【答案】（1）见解析（2）见解析

、134

（3）——

4

【解析】

【分析】（1）根据平移的性质得出对应点的位置进而画出图形；

（2）利用轴对称的性质得出对应点的位置进而画出图形；

（3）画出旋转后的图形，根据02c2=5。中国=5扇0231—5扇0/即可得出答案.

【小问1详解】

解：如图所示，△4与G即为所求;

【小问2详解】

如图所示，2G即为所求；

【小问3详解】

将△儿与G着原点。顺时针旋转90°,得到△4B3C3,

设&A所在圆交。。3于点。，交。。2于点E,

OA-,—OA3,OC2=OC3,

C2E—C3D,

2404=90。，NC20G=90°，

ZA3OD=ZA2OE,

：.AiD=A,E>

=

4,CjD>OC3=3A/2,OD=OA,=

。乃)。乃卜披).90。）（石『

_90(OC)90”(OD2_90_13_7r，

扇DOL—360°360°360°360。4

故线段4G在旋转过程中扫过的面积为上空.

4

【点睛】本题考查平移、轴对称变换作图和旋转的性质以及扇形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

23.如图，抛物线丁=0?+版+3与》轴交于4（—3,0）,3（1,0）两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线上是否存在一点尸，使得SpBc=gsAB「若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请

说明理由.

【答案】（1）y=-x2-2x+3

（2）存在，点尸的坐标为（-2,3）或（3,-12）

【解析】

【分析】（1）采用待定系数法，将点A和点B坐标直接代入抛物线y=ox2+加+3,即可求得抛物线的

解析式.

（2）过线段AB的中点。，且与3c平行的直线上的点与点8,点C连线组成的三角形的面积都等于

械;，则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答

案.

【小问1详解】

解：因为抛物线y=辰+3经过点A(—3,0)和点8(1,0)两点，所以

’94—38+3=0

a+/?+3=0

解得

a=­l

。=-2'

所以抛物线解析式为：y=-x2-2x+3.

【小问2详解】

解：如图，设线段的中点为£＞，可知点。的坐标为(-1,0)，过点。作与平行的直线/,假设与抛

物线交于点［，P2(4在鸟的左边)，(巴在图中未能显示).

因为直线经过点8(1,0)和C(0,3),所以

左+4=0

b、二3

k=-3

解得，

也=3

所以，直线BC的函数解析式为：y=-3x+3.

又PFJIBC,

可设直线P}P2的函数解析式为y=-3x+a，

因为直线［鸟经过点O（-1,0）,所以

3+历—0.

解得仇=—3.

所以，直线片鸟的函数解析式为y=-3x—3.

根据题意可知，

S--S

u.DBC-2ABC•

又PRHBC,

所以，直线66上任意一点p与点B,点C连线组成的4Pze的面积都满足Sp.Bc=gs

所以，直线，鸟与抛物线了=一/一2%+3的交点［,鸟即为所求，可得

一3%一3——x2-2x+3>

化简，得

%2—尤-6=0»

解得％=3,x2=-2,

所以，点6的坐标为（一2,3）,点鸟的坐标为（3,-12）.

故答案为：存在，点P的坐标为（-2,3）或（3,-12）.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程

等，灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键.

24.某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动、为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团

委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调在，将他们的得分按人优秀，B-.良好，C：合格，D：不合格

四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图.

(2)将条形图补充完整;

(3)扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是.

(4)如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数.

【答案】(1)40(2)见解析

(3)90

(4)220人

【解析】

【分析】(1)用4优秀的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数;

(2)先求出C：合格的人数，再补全统计图即可；

(3)用360度乘以C组对应人数占比即可得到答案；

(4)用2200乘以样本中。组对应的人数占比即可得到答案.

小问1详解】

解：12+30%=40人，

这次学校抽查的学生人数是4()人，

故答案为：40；

【小问2详解】

解：由(1)得C：合格的人数为40—12—14一4=10人，

补全统计图如下所示：

【小问3详解】

...扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是90。,

故答案为：90；

【小问4详解】

4

解：2200x—=220人,

40

.••估计该校不合格的人数为220人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题

的关键.

25.已知甲，乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地

前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,货车

2

继续出发一h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地.如图

3

是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)图中。的值是;

(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间》(h)之间的函数关系

式；

(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km.

【答案】（1）120（2）y=60x

125,-131,

（3）---。或——h

1717

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求得OC的解析式，将（1,。）代入解析式，解方程即可解答：

（2）根据题意可得”的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出

租车相距120km,可求出装货时间，即点B的坐标，再根据货车继续出发2h后与出租车相遇，求出装完

3

货后货车的速度，即直线BG的解析式中上的值，最后将点B坐标代入直线BG的解析式，利用待定系数法

即可解答；

（3）根据（2）中直线3G的解析式求得点尸的坐标，结合题意，可得点E的坐标，从而可得到出租车返

回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；②出租车和货车第二次相

遇后，距离12km时，分别进行解答即可.

【小问1详解】

解：结合图象，可得0（4,480）,

设直线OC的解析式为y=kx,

将C（4,480）代入解析式，可得480=4%,解得人=120,

•1.直线OC的解析式为y=120%,

把0,a）代入y=120%,得“=120,

故答案为：120；

【小问2详解】

解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,

可得此时出租车距离乙地为120+120=240km,

•••出租车距离甲地为48（）-240=240km,

把y=240代入y=12（）x,可得240=120%,解得x=2,

.,•货车装完货时，x=2,可得3（2,120）,

22

根据货车继续出发一h后与出租车相遇，可得一X（出租车的速度+货车的速度）=120,

33

根据直线OC的解析式为y=12（）x,可得出租车的速度为120km/h,

2

••・相遇时，货车的速度为120+3—120=60km/h,

故可设直线BG的解析式为y=60x+b,

将3(2,120)代入y=60x+。，可得120=120+)，解得力=0,

•・・直线BG的解析式为y=60x,

故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离V(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为

y=60A-；

【小问3详解】

解：把y=480代入y=60x,可得480=60%，解得％=8,

.•.G（8,480）,

.•1(8,0),

根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得£/="=,，

604

.••哈,0),

••・出租车返回时的速度为480+(m—4)=128km/h,

设在出租车返回的行驶过程中，货车出发“、时，与出租车相距12km，

此时货车距离乙地为60/km,出租车距离乙地为128(r-4)=(128，—512)km,

①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时；

可得604_(128z)—512^=12,

解得%喈，

②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时；

可得(12跖—512)—6(总=12,

131

解得/=_L,

17

125131

故在出租车返回的行驶过程中，货车出发一/1或一论与出租车相距12km.

1717

【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理

解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键.

26.如图①，ABC和VAOE是等边三角形，连接。C,点凡G,"分别是。E,和BC的中点，连接

FG,FH.易证：FH=y[3FG.

若和VA0E都是等腰直角三角形，且N84C=NZME=90。，如图②：若和VAOE都是等

腰三角形，且ZB4C=ND4E=120。，如图③：其他条件不变，判断777和尸G之间的数量关系，写出你

的猜想，并利用图②或图③进行证明.

图①

（答案】图②中FH="1FG，图③中FH=FG,证明见解析

【解析】

【分析】图②：如图②所示，连接3D,HG,CE,先由三角形中位线定理得到

FG//CE,FG=-CE,GH//BD,=再证明得到

22

CE=BD,NACE=NABD,则尸G="G,进一步证明NkG”=90。，即可证明△HGE是等腰直角

三角形，则FH=y/iFG；

图③：仿照图②证明是等边三角形，则FH=FG.

【详解】解：图②中FH=0EG，图③中FH=FG,

图②证明如下：

如图②所示，连接50,HG,CE,

•.•点F,G分别是Z5C的中点，

/.尸G是©COE的中位线，

FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃8DGH=-BD,

2

,/一ABC和VAZ5E都是等腰直角三角形，且N84C=NA4E=90°,

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD^AE,

：.△ABZ注△ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=NABD,

：.FG=HG,

'：BD//GH,FG//CE,

/.ZFGH=ZFGD+ZHGD

=NDCE+NGHC+NGCH

=NDBC+NDCB+ZACD+NACE

=/DBC+NASD+ZACB

=ZACB+ZABC

=90°,

/.△”G尸是等腰直角三角形，

.**FH=y[2FG；

图③证明如下：

如图③所示，连接3D,HG,CE,

;点尸，G分别是DE,。。的中点,

EG是uCDE的中位线，

FG//CE,FG=-CE,

2

同理可得GH〃8。，GH=-BD,

2

,/_ABC和VADE都是等腰三角形，且ABAC=ZDAE=120°,

：.AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.△ABZ泾△ACE(SAS),

:.CE=BD,NACE=NABD,

/.FG=HG,

BD//GH,FG//CE,

：.ZFGH=ZFGD+ZHGD

=ZDCE+NGHC+NGCH

=ZDBC+ZDCB+ZACD+ZACE

ZDBC+NABD+ZACB

^ZACB+ZABC

=180°—ZR4C

=60°,

，AHGF是等边三角形,

FH=FG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位

线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

27.2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的

同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A,8两款文化衫，每件A款文化衫比每

件8款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同.

（1）求4款文化衫和B款文化衫每件各多少元？

（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，