2023-2024学年福建省莆田二十五中高三上学期期中数学试题及答案

莆田第二十五中学2023-2024学年上学期高三数学期中考试卷考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）x2x3AxN|0,B{x|x1AðBx1.已知集合或，则R（）0,12D.A.B.C.122.“若x,2x10恒成立”是真命题，则实数可能取值是（），3x2A22B.23C.4D.53.华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函1fxx3x的部分图象可能是（数时往往要作图，那么函数）2A.B.C.D.y=x2，4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数x1，x1,2y=x2即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函与函数数”的是（）x12yx3yxC.2yx1D.A.yB.axfx在区间xa上单调递减，则的取值范围是（5.设函数）12D.,1A.B.C.ABCD表面上的一个动点，直线AP与平面16.如图，点P是棱长为2的正方体角为45°，则点P的轨迹长度为（ABCD所成的111）第1页/共6页A.π427.已知函数B.42π,x0C.23D.32π2xx1f(x)f(x)xaxa无实根，则实数的取值范围为，若关于的方程x,x0x1,0,1A.eB.D.01C.e8.已知是定义在R上的偶函数，对任意实数满足fx，且在2022xfxf2xfxaf2,bf2e2,cf，则a,b,c上单调递增，设的大小关系是（）3A.cbaB.bcaC.cabD.bac二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.）n1N的展开式中含有常数项，则的可能取值为（9.已知xnxn）3A.4B.6C.8D.1010.A为“恰有两人所去景点相同”件B为“只有小张去甲景点”，则（）A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种114PBAC.D.“四个人只去了两个景点”的概率是62711.如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC4，母线长为22，点B是圆O上异于A的动点，则下，C列结论正确的是（）第2页/共6页A.SC与底面所成角为45°B.圆锥SO的表面积为42πππ的取值范围是C.,42D.若点B为弧AC的中点，则二面角SBCO的平面角大小为45°12.定义在R上的函数满足为奇函数，函数满fx,f1f3x2gxxRfxf2xx,y,x,y,,x,y，则2023gxg4x足，若ygxyfx与恰有2023个交点11222023下列说法正确的是（）x1为的对称轴fxf20232yA.B.D.C.f004046xiyii1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）i2z13.若，则z在复平面内对应的点位于第______象限．1i．按15%，35%，35%，15%的比例将考试成绩划N76,1614.某校期末统考数学成绩服从正态分布,B,C,D为四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则B等级的分数应为___________区间表示）15.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有__________种APPPPPPP、23的中点，现将，△AP1B，BP2C16.如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为12312APCPP2P，重合，重合后记为点，得到三棱锥3PABC分别沿AB，PABCBC，折起使点，P，则1三棱锥的外接球表面积为______.第3页/共6页四、解答题（本大题共6题，共70分）Ba,b,c，且bsinCcsin的对边分别为17.已知的内角（1）求角B；,B,C．2的面积．（2）若b13,ca，求是公差不为的等差数列，，成等比数列．an38a,a,a18.设01311（1）求的通项公式：an3bnbnS的前项和．n（2）设，求数列nan1nAB上，且CD.1-ABC19.如图，在正三棱柱中，点D在棱1111//平面CDB（1）求证：；1π-ABCDCB的大小为，求直线到平面1（2）若正三棱柱的底面边长为2，二面角1113CDB的距离.120.某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有2道答对方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．1方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是，乙3选择方案二，且3道题中只能答对其中两道题．第4页/共6页（1）求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；（2）设甲和乙中通过第一关的人数为，求的分布列；，且这3道题是否答对相互之间没有影响，pp0,1（3）若丙答对这3道题中每一道题的概率都是ppp1p与的大小．2丙选择方案一通过第一关的概率为，选择方案二通过第一关的概率为，直接比较12x22y2233,01ab0的左焦点为，左顶点为F21.已知椭圆E：，离心率为.ab3（1）求E的方程；kk0（2）若过坐标原点O且斜率为，求直线的直线l与交于，两点，直线EABAFE的另一个交点为C与，46.的面积为的方程5fxx2eaxaR22.已知函数的单调性．fxx．（1）若a2，讨论2axxfxx3ex恰有个不同的正实数根．2x,x（2）已知关于的方程12a（i）求的取值范围；xx4（ii）求证：．12第5页/共6页莆田第二十五中学2023-2024学年上学期高三数学期中考试卷考试时间：120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）x2x3AxN|0,B{x|x1AðBx1.已知集合或，则R（）0,12D.A.B.C.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合A，然后根据集合的运算可得答案.x2x302x3，【详解】由可得A1,2，所以集合ðBx|1x2，所以AIðB因为，RR故选：B.122.“若x,2x10恒成立”是真命题，则实数可能取值是（），3x2A.22B.23C.4D.5【答案】A【解析】1x13x3x【分析】由题得到恒成立，求出即可得到答案.x11【详解】x,2恒成立，2x10，即3x，3x2x11133x23x23，当且仅当3x时等号成立，故23.，即xxxx3对比选项知A满足.故选：A3.华罗庚说：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．”所以研究函1fxx3x的部分图象可能是（数时往往要作图，那么函数）2第1页/共23页A.C.B.D.【答案】D【解析】1x，，排除，继而得解fx0【分析】根据奇偶性排除BC，根据当时6A.112fx，所以为偶函数，fxx3xx3xfxfx【详解】因为排除BC，1，所以2x，时，x03x0，当，且61x，1fxx3x0，排除A；所以当时，62故选：D.y=x2，4.若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”.例如函数x1，x1,2y=x2即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函与函数数”的是（）x12yx3yxC.2yx1D.A.yB.【答案】D【解析】yx1【分析】由题意得到函数不单调才能符合要求，ABC错误，D中【详解】要想能够被用来构造“同值函数”，则要函数不单调，不单调，且可举出实例.1x2yx3ABC选项，y在R上单调递减，在R上单调递增，第2页/共23页ylog2x上单调递增，ABC错误；在yx1在上单调递减，在上单调递增，,1D选项，yx1x2与函数yx1x，两者的值域相同，为同值函数，D正确.不妨设，，故选：Daxfxxa上单调递减，则的取值范围是（5.设函数在区间）12D.,1A.B.C.【答案】C【解析】ax在区间a0、a0、0x上单调性可得答案.axfxx在【详解】单调递减上单调递减，12ax在区间根据复合函数的单调性可得x上单调递增，a1，a,单调递增，需满足axa0当时，x在当a0满足题意，ax在单调递增，则在区间当0时，x上单调递增aax0，则最小值10a1，又需满足真数，即x1综上1a1．故选：C．ABCD表面上的一个动点，直线AP与平面16.如图，点P是棱长为2的正方体角为45°，则点P的轨迹长度为（ABCD所成的111）第3页/共23页A.π42B.42πC.23D.32π【答案】A【解析】【分析】先利用直线AP与平面ABCD所成的角为ABCD内，145°求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度.PP【详解】若点P在正方形111ABCD于PAP,AP，连接.1过点P作PP平面则为直线AP与平面所成的角，则PAP，ABCD2，又PP2，则22，则1AABCD则点P的轨迹为以为圆心半径为2的圆（落在正方形11111ABABAD1,内，轨迹分别为线段，1若点P在正方形内或1111因为点P不可能落在其他三个正方形内，π2+22+22=π42所以点P的轨迹长度为.2故选：A2x,x0,x0x1f(x)f(x)xaa无实根，则实数的取值范围为x，若关于的方程7.已知函数xx1,0,1A.eB.D.01C.e【答案】D【解析】第4页/共23页yxafxyfx图像与直线aa出切线方程和切点坐标，从而得到临界状态时的值，从而得到的范围，得到答案.f(x)xayf(x)yxa无交点.【详解】方程无实根等价于函数的图像与直线2x,x0x1f(x)画出函数的图像，如图，x,x0x2xx1yxaf(x)(x0)必有交点，由图像知，当a0时，直线与曲线xyxaPx,y相切时，切点为00，a0f(x)(x0)当由时，设直线与曲线x1xf(x)，x2代入切点横坐标0得切线的斜率，101，解得0P01，则所以，x20yx1a1.得所以切线方程为，a由图像知实数的取值范围为故选：D.【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的切线，属于中档题.8.已知是定义在R上的偶函数，对任意实数满足fx，且在2022xfxf2xfx,cf，则a,b,c的大小关系是（af2,bf2e2上单调递增，设）3第5页/共23页A.cba【答案】A【解析】B.bcaC.cabD.bacfxf2x【分析】利用函数奇偶性以及可知的周期为2，且在上单调递减，将表达式fx2ln32ln3化简可得，cf，又易知<<21<即可得cba.a,b,caf，bf20fxf2xfx2【详解】根据题意可知，即可得fxfx2，所以函数是以2为周期的偶函数，fx又在2022fx1,0上单调递增，所以可得在上单调递增；fx根据偶函数性质可知在上单调递减，fx23af2f2f3又3f22f2bf2e2f2e2cf2021f12ln320<<2<1，即fln3f2f1>>；显然ln31，所以可得因此可得cba.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.）n1N的展开式中含有常数项，则的可能取值为（9.已知xnxn）3A.4B.6C.8D.10【答案】AC【解析】4nr0n，可得与r的关系，用赋值法从而可得出结论.【分析】求出展开式的通项，再令3n114rxnNrxn，其中【详解】展开式的通项为：r11Crrnxnrx1Crrn333x第6页/共23页r,n；43nr0rn，可知n为4的倍数，故B、D错误；令当，则34r3nr6n为8；时，最小为4；当时，故选：AC.10.A“恰有两人所去景点相同”件B为“只有小张去甲景点”，则（）A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种114PBAC.D.“四个人只去了两个景点”的概率是627【答案】CD【解析】【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去nAnAB利用排列组合知识得到，6了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有3481种旅游方案，A错误；B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，C24AC1C11222A3336故有种方案，B错误；C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B选项可知，nA，又事件AB，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，nABC故23C11A226，nnA1所以，C正确；PBA6D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，CC34C11A2324第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，C2422A318种方案，2第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，A22第7页/共23页241814故“四个人只去了两个景点”的概率为故选：CD，D正确.812711.如图，圆锥SO的底面圆O的直径AC4，母线长为22，点B是圆O上异于A的动点，则下，C列结论正确的是（）A.SC与底面所成角为45°B.圆锥SO的表面积为42πππ的取值范围是C.,42D.若点B为弧AC的中点，则二面角SBCO的平面角大小为45°【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据SO面，由SCOBSO判断；对于，由圆锥的侧面积公式求解SCπ2ASBSDO判断；对于C，由求解判断；对于D，取BC的中点D，连接，，易得为二面角SBCO的平面角求解判断.【详解】对于A，因为SO面，所以与底面所成角，SCO是SC在Rt△中，圆锥的母线长是22，半径r2，22则cosSCO，所以，则A正确；SC222对于B，圆锥SO的侧面积为rl42π，表面积为42π+4π，则B错误；对于C，当点B与点A重合时，ASB0为最小角，πASB当点B与点C重合时，达到最大值，2π2ASB又因为B与A，C不重合，则，第8页/共23页ππ42又2SABASBπ，可得对于D，如图所示，SAB,，则C正确；，BCD，为，，连接，又OAC的中点，则//取的中点BCODSOBC因为，所以，又面，面，所以，SOODO，又，面，故SDOSBCO的平面角，所以为二面角12SOAB22，2tanSDO2AC，则错误.D因为点B为弧故选：AC.的中点，所以，则12.定义在R上的函数满足为奇函数，函数满fx,f1f3x2gxxRfxf2xx,y,x,y,,x,y，则2023gxg4x足，若yygxfx与恰有2023个交点11222023下列说法正确的是（）x1为的对称轴fxf20232yA.B.D.C.f00xy4046iii1【答案】BCD【解析】f(2x)f(x)x1对称，由f(3x2)【分析】由，得函数f(x)图象关于直线是奇函数，得f(x)的图象关图象关于点(2,0)对称，点是它们的一个公共点，由此可判断g(x)g(4x)g(x)，得(2,0)f(x)4于点对称，从而得是周期函数，是它的一个周期，由(2,0)f(x)g(x)与(2,0)对称，从而知的图象的交点关于点各选项．【详解】f(2x)f(x)x1对称，B正确；，则函数f(x)图象关于直线f(3x2)f(3x2)f(3x2)f(t2)ft2)(2,0)的图象关于点对是奇函数，即，，则f(x)称，f(2)0，f(0)f(2)0，C正确；第9页/共23页f(x2)f(2x)fxf(x)f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是周期所以，从而f(2023)ff2，A错；(2,0)g(x)函数，4是它的一个周期，(2,0)的图象的交点关于点对称，点又g(x)g(4x)，g(x)图象关于点对称，因此f(x)与(2,0)是它们的一个公共点，i220234046i(xy)x，D正确．iii1i1i1故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）i2z13.若，则z在复平面内对应的点位于第______象限．1i【答案】四【解析】【分析】根据复数除法运算和复数几何意义即可得到答案.i141izi，2z【详解】，则21i1i4111144zi，则其在复平面内对应的点为,所以，44故其在第四象限，故答案为：四.．按15%，35%，35%，15%的比例将考试成绩划N76,1614.某校期末统考数学成绩服从正态分布,B,C,D为四个等级，其中分数大于或等于83分的为A等级，则B等级的分数应为___________区间表示）【答案】[76,83)【解析】【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解．【详解】设考试成绩为X，76，P(X76)0.5，P(X0.15，由题意可知，4，P(76XP(X76)P(X0.50.150.35所以，第10页/共23页所以B等级的分数应为[76,83)，故答案为：[76,83)．15.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等7名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有__________种【答案】60【解析】【分析】按“问题元素”优先的原则，进行分类，然后计算求解即可.【详解】此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲1丙44乙1“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三种.A25A52A5260.故答案为：60APPPPPPP、23的中点，现将，△AP1B，BP2C16.如图，在边长为6的正方形中，B，C分别为12312APCPP2P，重合，重合后记为点，得到三棱锥3PABC分别沿AB，PABCBC，折起使点，P，则1三棱锥的外接球表面积为______.【答案】54π【解析】PABCPB两两互相垂直，将三棱锥补形【分析】根据题意，折叠成的三棱锥的三条侧棱，，成长方体，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，外接球直径为体对角线长，得解.PABCPB，，两两互相垂直，【详解】根据题意，折叠成的三棱锥将三棱锥补形成长方体如图，则三棱锥的外接球即是长方体的外接球，，的三条侧棱外接球的直径等于以PB,为长、宽、高的长方体的对角线长，PA6，PBPC3，2RPAPBPC369954，222第11页/共23页所以外接球的表面积S4Rπ2R54π.22故答案为：54π.四、解答题（本大题共6题，共70分）Ba,b,c，且bsinCcsin的对边分别为17.已知的内角（1）求角B；,B,C．2的面积．（2）若b13,ca，求23【答案】（1）π33（2）4【解析】B123Bπ；1）根据题意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得，结合角B的范围即可求得222（2）由（1Bπ以及b13,caac3，利用余弦定理计算可解得，再由三角形面积公式3即可得的面积.【小问1详解】BB根据bsinCcsin，由正弦定理可得sinBsinCsinCsin，22BBBB1又sinC0，所以可得sinB2sincossin，即；22222BπBπ，所以因为2323即Bπ．【小问2详解】23由b13,ca结合（1）中的结论Bπ，1，2a2c22acB，即13a29a6a22由余弦定理可得b2第12页/共23页1，即ac3，解得a21213334所以SacsinB13．2233即.4是公差不为等差数列，，成等比数列．a38a,a,a18.设0的n1311（1）求的通项公式：an3bnbn的前项和S（2）设，求数列．nan1nnan1n【答案】（1）nSn（2）6n4【解析】1）设的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出通项公式，anda,d1311bn（2）由（1）得【小问1详解】，再利用裂项相消法可求得结果.nn1n1n2设的公差为，adna,a,aa成等比数列，所以321a11因为1311a83，所以8282d88d又因为，所以dd0．2d0d3，所以12d168a2，得，1因为，所以a23n1n1．故n【小问2详解】3311b因为所以，nn1n2nn1n1n2111111Sn2557n1n2第13页/共23页11n．2n26n4AB上，且CD.1-ABC19.如图，在正三棱柱中，点D在棱1111//平面CDB（1）求证：；1π-ABCDCB的大小为，求直线到平面1（2）若正三棱柱2，二面角1113CDB的距离.1【答案】（1）证明见解析3（2）3【解析】1-ABC和CD得CDABD是AB1111∥位线得，证明结论.1πDCBBCB（2）由二面角的大小为，解得平面的一个法向量，根据第一问的平行和点到平面的13距离公式得出答案.【小问1详解】-ABCBB1BB1是侧棱，所以平面ABC，在正三棱柱中，111又CDCD1.ABC，所以平面又CD，，BB1，平面BBDBB1AABB，所以CD11AABB平面，111111AABB，所以CDAB，又因为CACB因为AB平面，所以D是AB的中点.CB于点M，连接DM.因为M是的中点，111CB如图，连接，交11所以DM是ABC的中位线，所以∥，11第14页/共23页，平面CDB11平面CDB1//平面CDB，所以.1又1【小问2详解】ABDDD1//BB1DD1，所以平面ABC.以D为原点，取的中点，可知111分别以DB，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D，1，B1,0,h，，，，-ABCD0,0,0B1,0,0C3,0A1,0,0设三棱柱的高为h，则1111CD3,0CB3,hCB3,0DA1,0,0.，，，1CDm3y0mx,y,z，则1，取，得11设平面1的一个法向量为111CBmx3yhz01111mh,0,1.CBnx3y0BCBnx,y,z22设平面的一个法向量为，则，1222CBnx3yhz012220取y21，得n.mnh1222,nm,0,1所以，解得h，所以，mn22h2121//平面CDB1到平面CDB的距离即点A到平面CDB由（1）知，所以直线的距离，1112DAm3231到平面CDB的距离为1因为，所以直线.m13312第15页/共23页20.某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功，其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有2道答对方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．1方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关，假设甲选择方案一、且答对每一道题的概率是，乙3选择方案二，且3道题中只能答对其中两道题．（1）求甲答对题目数量X的分布列与数学期望；（2）设甲和乙中通过第一关的人数为，求的分布列；，且这3道题是否答对相互之间没有影响，pp0,1（3）若丙答对这3道题中每一道题的概率都是ppp1p与的大小．2丙选择方案一通过第一关的概率为，选择方案二通过第一关的概率为，直接比较12【答案】（1）分布列见解析，EX17E（2）分布列见解析，27pp（3）12【解析】1）写出随机变量X的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；（2）先分别求出两人过关的概率，写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；p,p（3）先分别求出【小问1详解】由题意，X可取，再作差即可得解.212,3，第16页/共23页2328124900313则PXC，PXC，32733121322912233C33PXC，PX，33327所以分布列如下：X012384129P279278421EX1；0123所以279927【小问2详解】2313217PC甲23C3甲通过的概率乙通过的概率3，3327CC21P乙223，32，可取714027381P01则1，717134，P1127327381717P227381，所以分布列如下：01240817P4081347160E12所以；818127【小问3详解】1C32p21pC2p33p33p22p3p2p2，，pp2p232p21p，则12第17页/共23页p0,1，所以pp2p1p0，2因为所以12pp.21x22y2233,01ab0的左焦点为，左顶点为F21.已知椭圆E：，离心率为.ab3（1）求E的方程；kk0（2）若过坐标原点O且斜率为，求直线的直线l与交于，两点，直线EABAFE的另一个交点为C与，46.的面积为的方程5x2y21【答案】（1）32xy10或xy10（2）【解析】c33,0得a3，再根据离心率为ecb，求出值，则得到值，则1）由左顶点为求出E的方程.a3xty1，联立椭圆方程得t，设23y2ty40Ax,yCx,y，，则22（2）设直线方程为1143t2123t1262得到韦达定理式，利用弦长公式得到yy，则有△，解出122t32t35即可.【小问1详解】设椭圆E的半焦距为cc0.因为椭圆E的左顶点为3,0，所以a3.c3又离心率e，所以c1.a3所以b2a2c22，x2y2所以E的方程为【小问2详解】1.32第18页/共23页xty1.由（1）可知，设直线的方程为xty1t3yty40x消去并整理得22.由2x23y26设，Cx,y，2Ax,y112t4yyyy则，，12212t32t321t1643t2所以1y2y1y2241y2.t3t223t231223t211265因此△yyS△，122t321，即t1，解得t2xy10或xy10.所以直线的方程为t【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数，设直线的方程为3yty40，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面xty1，联立椭圆得到方程t22t积相关方程，解出参数即可.fxx2eaxaR22.已知函数的单调性．fxx．（1）若a2，讨论2axx