2022年度七年级数学上册重点习题解析

2022年度7年级数学上册重点习题解析

第1次课重点

数轴（数轴会连上3次）和计算

1.2012年7月第30届奥运会将在伦敦开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上

表示如图所示，那么伦敦时间2012年7月27日20时应是（）

纽约伦敦巴黎北京首尔

0189

A.北京时间2012年7月28日4时B.巴黎时间2012年7月27日19时

C.纽约时间2012年7月28日1时D.首尔时间2012年7月28日3时

2.小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示I的点与表示-3的点重合，若数轴

上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的

数为（）A.-4B.-5C.-3D.-2

3.已知a,b为有理数，且aVO,b>0,a+b<0,将四个数a,b,-a,-b按从小到大的顺

序排列是.

4.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,点P为数轴上一动点，则

（1）A、B两点间的距离是；

（2）若点P到点A、B的距离相等，则点P对应的数是；

（3）若点P到点A、B的距离之和为5,则点P对应的数是.

5.试验与探究：我们知道分数上写为小数即0.［反之，无限循环小数0、写成分数即一般

33

地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在就以0,为例进行讨论：设O.；=x,由

0.7=0.7777...,可知，10x-x=7.77…-0.777...=7,即10x-x=7,解方程得x1，于是得0.；=工.

99

请仿照上述例题完成下列各题：

（1）请你把无限循环小数O.g写成分数，即0.，.

（2）你能化无限循环小数0.痣为分数吗？请仿照上述例子求解之.

6.随着我国经济的发展，股市得到迅速的发展，某支股票上个周五的收盘价为20元，下表是

这支股票本周星期一至星期五的变化情况.（注：股市星期一至星期五开市，星期六、星期日休

市）

星期一二:三四五

收盘价的变化（与前一天收盘价比较）+1-0.8-0.60+0.4

问：

（1）这支股票本周星期一的收盘价是多少？

（2）这支股票本周星期三的收盘价是多少？

（3）上周，股民李华以周五的收盘价20元/股买入这支股票1000股，本周，李华以周五的收

盘价全部卖出这支股票1000股.按照国家规定，买（或卖）股票都要缴纳印花税、佣金等的股

票交易费用，若规定，股票交易费用为买（或卖）股票的总成交金额的0.45%,那么，李华在

这次买卖中，盈利还是亏损了多少？

7.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每

天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：

星期—•二三四五六日

增减+5_2-4+13-10+16-9

（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车多少辆；

（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多少辆；

（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆；

（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆

另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？

8.对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以工，再把所得数对应的点向右平移1

3

个单位，得到点P的对应点P'.点A,B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到

线段AB,其中点A,B的对应点分别为A，，B\如图，若点A表示的数是-3,则点A，表示的

数是;若点叶表示的数是2,则点A表示的数是；已知线段AB上的点E经过上

述操作后得到的对应点E，与点E重合，则点E表示的数是.

AB'

___1_4-■1-■；I_I_*__I_I____>

-5-4-3-2-1012345

9-.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数

在数轴上所对应的两点之间的距离.

（1）求5-（-2）=.

（2）找出所有符合条件的整数，使得|x+5|+|x-2|=7成立.

（3）找出符合条件的X,使得|x+5|+|x-2|+|x-4|的和最小.

10.点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B

两点之间的距离AB=|a-b|.利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示1和3两点之间的距离.数轴上表示-12和-6的两点之间的距离

是.

(2)数轴上表示x和-1的两点之间的距离表示为.

(3)若x示一个有理数，且-4<xV2,则|x-2|+|x+4|.

(4)若x示一个有理数，且|x-2|+|x+4]>6,则有理数x取值范围是.

11.我们知道面积为2的正方形的边长a是无理数.如图1,纸上有五个边长为1cm的小正方

形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形如图2.

(1)图2中拼成的正方形的面积是cm2；边长是(填有理数或无理数)

(2)能在3X3方格图(图3)中，连接四个格点(网格线的交点)组成面积为5的正方形吗？

若能，请用虚线画出.

1.解：A、北京时间：20+8=28,

•.•一天有24小时，，28-24=4,

...北京时间2012年7月28日4时，故本选项正确；

B、巴黎时间：20+1=21,为2012年7月27日21时，故本选项错误；

C、纽约时间：20+(-5)=15,为2012年7月27日15时，故本选项错误；

D、首尔时间：20+9=29,

•.•一天有24小时，...29-24=5,.•.首尔时间2012年7月28日5时,故本选项错误.

故选A.

2.解：画出数轴如下所示：

-5-4-3-2-1012245’

依题意得：两数是关于1和-3的中点对称，即关于(1-3)+2=-1对称；

•:A、B两点之间的距离为8且折叠后重合，则A、B关于-1对称，又A在B的左侧,

A点坐标为：-1-84-2=-1-4=-5.故选B.

3.解：Va<0,b>0,a+bVO,

|a>|b，

.*.a<-b<b<-a.

故答案为：a<-b<b<-a.

4.解：(1)•.•点A、B对应的数分别为-1、3,

:.A、B两点间的距离是：3+|-1|=4；

(2)•.•点P到点A、B的距离相等，，点P是线段AB的中点，

•.•点A、B对应的数分别为-1、3,...点P对应的数是1；

(3)•.•数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3,

.,.点A、B之间的距离是：3-(-1)=4,

,.，4<5,...点P到点A、点B的距离之和为5时，点P位于点A的左侧或位于点B的右侧,

当点P位于点A的左侧时，3-x+(-1)-x=5,解得x=-1.5,

当点P位于点B的右侧时，x-3+x-(-1)=5,解得x=3.5.

故答案为：-1.5或3.5.

5.解：(1)设0.，x,由0.g=0.5555...,可知，

10x-x=5.55r...-0.555c...=5,即lOx-x=5,解方程得"，于是得：0.r=A；

°°99

(2)设0.：g=x,由O.；g=O.73737373.“，可知，

100x-x=73.73，..-0.7373/73,即100x-x=73,解方程得0,于是得0.注骂.

9999

6.解：(1)20+1=21元.

故这支股票本周星期一的收盘价是21元；

(2)20+1-0.8-0.6=19.6元.

故这支股票本周星期三的收盘价是19.6元；

(3)20+1-0.8-0.6+0+0.4=20元

20X1000X0.45%X2=20000X0.45%X2=180元.

故李华在这次买卖中，亏损了180元.

7.解：(1)超产记为正、减产记为负，所以星期四生产自行车(200+13)辆，

故该厂星期四生产自行车213辆；

(2)根据题意5-2-4+13-10+16-9=9,

200X7+9=1409(辆)，

故该厂本周实际生产自行车1409辆；

(3)根据图示产量最多的一天是216辆，

产量最少的一天是190辆，

216-190=26(辆),

故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆；

(4)根据图示本周工人工资总额=7X200X60+9X75=84675(元)，

故该厂工人这一周的工资总额是84675元.

8.解：点A'：-3X^+1=-1+1=0,

3

设点B表示的数为a,则皂+1=2,解得a=3,

3

设点E表示的数为b,则Lb+l=b,解得b=W.故答案为：0,3,2.

322

9.解：(1)|5-(-2)|=3+2|=7,

(2)x+5|+|x-2|=7,

分四种情况：①当x>2时，等式变形为：x+5+x-2=7,x=2,

②当x=2时，等式变形为：2+5=7,7=7,等式成立；

③当-5<xV2时，等式变形为：x+5+2-x=7,7=7,等式成立；

•；x是整数,x=-4、-3^-2^-1、0、1,

④当x=-5时，等式变形为：0+|-5-2|=7,7=7,等式成立；

综上所述，当x=-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2时，|x+5|+|x-2]=7成立；

(3)由题意得:当x=2时，|x+5|+|x-2|+|x-4的和最小

则|x+5|+|x-2|+|x-4|=2+5+0+12-41=7+2=9.

10.解：(1)数轴上表示数1和3的两点之间的距离=|1-3|=2；数轴上表示-12和-6的两点

之间的距离=-12+6=6

(2)轴上表示x和-1的两点之间的距离=|x+l]；

(3)V-4<x<2,Ax-2<0,x+4>0,

|x-21+1x+4=2-x+x+4=6；

(4)♦-4至：2的距离是2-(-4)=2+4=6,

|x-2|+|x+4]>6时,有理数x的取值范围是xV-4或x>2.

故答案为：2,6；|x+l|；6；xV-4或x>2.

11.解：(1)如图2所示：拼成的图形面积为5cm2,边长为无理数；(2)如图3所示：.

第二次重点课

1.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别是A、B、C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,

那么点B（）

A.在A、C点的左边B.在A、C点的右边C.在A、C点之间D.上述三种均可能

2.如图，M,N,P,R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1.数

a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a[+|b|=3,则原点是（）

ab

—•~~•~~•-----•~~••--->

VNPR

A.M或NB.M或RC.N或PD.P或R

3.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符

号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26=20+6,可用十

六进制表示为1A；在十六进制中，E+D=1B等.由上可知，在十六进制中，2XF=（）

4.在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树

与灯间的距离是10m,如图，第一棵树左边5m处有一个路牌，则从此路牌起向右510m〜550m

之间树与灯的排列顺序是（）

型I爷车率1不幸中

5.如图所示的数阵叫"莱布尼兹调和三角形"，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数

且两端的数均为工（nN2）,每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：1=1+1,1=1+1,

n122236

1=1+那么第7行第3个数字是

3412

363

1,2-1

412124

11111

52030205

6.将1,2,3…50这50个自然数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数

值记作a,另一个记作b,代入代数式工（|a-b+a+b）中进行计算，求出其结果，25组数代入

2

后可求的25个值，则这25个值的和的最小值是.

7.若约定：a是不为1的有理数，我们把，称为a的差倒数.如：2的差倒数是，=-1,

1-a1-2

-1的差倒数是「^=工.已知a1=-L,az是ai的差倒数，a3是a2的差倒数，是a3的差倒

1-（-1）23

数，…，依此类推，则22013=.

8.已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面.

（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与数表示的点重合；

（2）若-2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：

①7表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上A、B两点之间的距离为17（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B

两点表示的数是多少？

9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

；5~乩4_~0~~1~~2~~345^

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示-3和2两点之间的距离是；

一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m-n|.如果表示数a和-1的两点之

间的距离是3,那么a=.

（2）若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为；

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点X,使得|x+2|+|x-5|=7,这些点表示的数的和

是.

（4）当@=时，|a+3|+|a-l|+|a-4］的值最小，最小值是.

10.（1）阅读下面材料:

点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一

点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,|AB|=|OB=b|=|a-b；当A、B两点都不在原点

时，

①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|O点-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；

②如图3,点A、B都在原点的左边,AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|；

③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离

是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为；

③代数式Ix+l|+1x-2|取最小值时，相应的整数x的取值是.

0(A)R、

0(a)b

图1

OAB

BOA

~~J-0a->

图4

11.如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运

动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度.已知动点A、B的运动速度比之是3：2(速度

单位：1个单位长度/秒).

-7?~^036QV)

(1)求两个动点运动的速度；

(2)A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；

(3)若A、B两点分别从(2)中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，

运动的方向不限，问：经过几秒钟，A、B两点之间相距4个单位长度？

1.解：*.*|a-b|+|b-ci=|a-c|,

...点B在A、(:点之间.故选C.

•a・・・b・・、>丫

MNPR'

2.解：VMN=NP=PR=1,A|MN=INP|=|PR|=1,A|MR=3；

①当原点在N或P点时，|a1+b|<3,又因为|a+b=3,所以，原点不可能在N或P点；

②当原点在M、R时且Ma|=|bR|时，|a|+|b|=3；

综上所述，此原点应是在M或R点.故选：B.

3.解:2XF对应的十进制中的2X15=30=16+14,而14对应的十六进制中的E,，2XF=1E.

故选B.

4.解：根据题意得：第一个灯的里程数为15m,

第二个灯的里程数为55m,第三个灯的里程数为95m…

第n个灯的里程数为15+40(n-1)=(40n-25)m,

故当n=14时候，40n-25=535m处是灯，则515m、525m、545m处均是树，

故应该是树、树、灯、树，故选B.

5.解：设第n行第m个数为a(n,m),

由题意知a(6,1)=1,a(7,1)=1,

67

...a(7,2)=a(6,1)-a(7,1)=---L=_k_,

6742

a(6,2)=a(5,1)-a(6,1)=—-A=^_,

5630

a(7,3)=a(6,2)-a(7,2)=_^_-^_=___,

3042105

6.解：最小值为325.理由如下：假设a>b,

贝(|a-b|+a+b)=—(a-b+a+b)=a,

22

所以，当25组中的较小的数b恰好是1到25时，这25个值的和最小,

最小值为1+2+3+...+25=25X1+25)=325.

2

20134-3=671..•.azois与a3相同，为4.

8.解：(1)表示的点与-1表示的点重合，，对称中心是原点,

-2表示的点与2表示的点重合，故答案为：2；

(2)①..•若-2表示的点与4表示的点重合，

对称中心是1表示的点，，7表示的点与数-5表示的点重合；

②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为17+2=8.5,

•••对称点是表示1的点，，A、B两点表示的数分别是-7.5,9.5,

9.解：⑴|1-4=3,|-3-2|=5,|a-(-1)|=3,

所以，a+l=3或a+l=-3,解得a=-4或a=2；

(2)•••表示数a的点位于-4与2之间，

.,.a+4>0,a-2<0,|a+41+1a-2|=(a+4)+[-(a-2)]=a+4-a+2=6；

(3)使得|x+2|+|x-5|=7的整数点有-2,-1,0,1,2,3,4,5,

-2-1+0+1+2+3+4+5=12.

(4)a=l有最小值，最小值=1+3+1-11+11-41=4+0+3=7.

故答案为：3,5,-4或2；6；12；1；7.

10.解:(2)|x+l|=2,

/.x+l=±2,

/.x=l或-3,

(3)由题意可知:|x+l|+|x-意表示数x到-1和2之间的距离之和,

.•.当-14W2时，

**.|x+11+1x-2可取得最小值,

.♦.X的整数位-1,0,1,2；

故答案为：

(1)3；3；4

(2)|x+l|；1或-3

(3)-1,0,1,2

11.解：(1)设点A的速度为每秒3t个单位长度，则点B的速度为每秒2t个单位长度.

依题意有：3tx3+2tX3=15,

解得t=l,

答：点A的速度为每秒3个单位长度，点B的速度为每秒2个单位长度.

(2)3X3=9,2X3=6,

画图：

/B

~-i?~-6-63o3?on>；

(3)设x秒时，点A、B之间相距4个单位长度.

①根据题意，得3x-2x=15-4,

解得：x=ll,

②根据题意，得3x-2x=15+4,

解得：x=19,

③2x+3x=15+4

解得:x=M,

5

④2x+3x=15-4,

解得:x=H,

5

即运动11、19、llj或1k秒时，点A、B之间相距4个单位长度.

55

第三次重点课

1.规定以下两种变换：①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1)；②g(m,n)=(-

m,-n),如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f[g(3,4)]=f(-3,-4)=(-3,

4),那么g[f(-2,3)]等于()

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(2,3)

2.计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0〜9和字母A〜F共16个计

数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

十六进制01234567

十进制01234567

十六进制89ABCDEF

十进制89101112131415

例如，用十六进制表示E+D=1B,用十进制表示也就是13+14=1X16+11,则用十六进制表示A

XB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

3.任意写一个各数位上数字都不相同的三位数，用数位上的3个数字分别组成一个最大的三位

数和一个最小的三位数，然后把这两个数相减，取差的绝对值，得到一个新的三位数.重复上

述操作，你最后得到的数是.

4.正整数按如图的规律排列，请写出第20行，第20列的数字.

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行11017

1I1

tt▼▼

第二行4—361S

I1

▼▼

第三行9◄-----8◄——t12

1

第四行16◄—15—14◄-13

第五行25◄-24A—23<—22<—

5.手工课上，老师将同学们分成A,B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完

成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如表：则这两个模

型都制作完成所需的最短时间为分钟.

工序打磨（A组）组装（B组）

时间

模型

模型甲9分钟5分钟

模型乙6分钟11分钟

6.在求两位数的平方时，可以用"列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示.

32-=102446=211683=792167i=4489

III-T—~r-

「：~6~\~3166•4•811ii4i9

d-----1-----4--J一一，一“-T---

1；4：41■ii■

13_」一L-

2：1：1：67：9；2!14：4!8：9

（1）仿照图1,在图2中补全672的"竖式";

（2）仿照图1,用“列竖式"的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示.若这个两位

数的个位数字为a,则这个两位数为（用含a的代数式表示）.

7.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层

均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可

以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+...+"过她_.

2

第1层

第2层a

弟”层(X)-OO8-OCXT00-008“8

图1图2图3图4

如果图1中的圆圈共有12层，

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,...»则

最底层最左边这个圆圈中的数是;

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,

求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.

8.探索性问题：

已知A,B在数轴上分别表示m,n.

（1）填表：

m5-5-6-6-10-2.5

n304-42-2.5

A,B两点的距离——————

（2）若A,B两点的距离为d,则d与m,n有何数量关系.

（3）在数轴上整数点P到5和-5的距离之和为10,求出满足条件的所有这些整数的和.

9.（1）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-5）2+|a+b=0.a、b、c所对应的点分别

为A、B、C,求a,b,c；

（2）点P为动点，其对应的数为x,点P在。到2之间运动时（即0WxW2时），请化简式子:

|x+l|-|x-l|+2|x+3|.（写出化简过程）

10.如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动,

2秒后，两点相距16个单位长度.已知动点A、B的速度比为1：3（速度单位：每秒1个单位

长度）.

（1）动点A的运动速度为每秒个单位长度，动点B的运动速度为个单位长度.

（2）在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；

（3）若表示数0的点记为0,A、B两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再

经过多长时间，A、B两点相距4个单位？

iIIIIiIIiII）

…-8-40481216

1.解：g[f（-2,3）]=g[-2,-3]=（2,3）,故D正确，

2.解：•.•表格中A对应的十进制数为10,B对应的十进制数为11,...AXBulOXll,

由十进制表示为:10X11=6X16+14,

又表格中E对应的十进制为14,...用十六进制表示AXB=6E.故选A.

3.解：设这个三位数为abc，a>b>c,

所以宝-主=99(a-c)=100(a-c-1)+10X9+(10+c-a),

因此所得的三位数中必有一个9,而另外两个数字之和为9；

共有981,972,963,954四种情况；

以981为例得，981-189=792,

972-279=693,

963-369=594,

954-459=495,

由此可知最后得到495数就会循环，重复上述操作，最后得到的数是495.

故答案为：495.

4.解：1•第一行第一列的数字是1,

第二行第二列的数字是3=22-1,

第三行第三列的数字是

7=32_2,

第四行第四列的数字是13=42.3,

.•.第n行第n列的数字为M-(n-1),

.•.第20行，第20列的数字2。2-20+1=381.

故答案为:381.

5.解：①当A组先打磨模型甲需要9分钟，然后B组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A

组已打磨模型乙用了5分钟，

还需等1分钟，B才能组装模型乙，之后B组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时

9+5+1+11=26分钟.

②当A组先打磨模型乙需要6分钟，然后B组装模型乙需要9分钟，在这11分钟内，

A组已打磨好模型甲，因为A组打磨模型甲只需要9分钟，之后B组在组装模型甲需要5分钟,

则整个过程用时6+11+5=22分钟.

而26>22,

，这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟,

故答案为：22.

(2)设这个两位数的十位数字为b,

由题意得，2ab=10a,解得b=5,所以，这个两位数是10X5+a=a+50.故答案为：a+50.

7.解：(1)l+2+3+...+ll+l=6X11+1=67；

(2)图4中所有圆圈中共有1+2+3+...+12=11丝旦上=78个数，其中23个负数，1个0,54个

2

正数，

所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和=|-23|+|-22|+...+|-1|+0+1+2+...+54=

(1+2+3+...+23)+(1+2+3+...+54)=276+1485=1761.

另解：第一层有一个数，第二层有两个数，同理第n层有n个数，故原题中1+2+.+11为11

层数的个数即为第11层最后的圆圈中的数字，加上1即为12层的第一个数字.

8.解：(1)5-3=2；0-(-5)=5；4-(-6)=10；-4-(-6)=2；2-(-10)=12；-

2.5-(-2.5)=0.

(2)•.•数轴上两点间的距离d等于表示两点数之差的绝对值，，d=|m-n|.

(3)设整数点P表示的数为x,

•点P至!)5和-5的距离之和为10,

Z.|x-5|+|x-(-5)|=10,

即x-5+x+5=10,-(x-5)+x+5=10(-5和5两点间所有的整数点均成立)，x-5-(x+5)

=10(舍去)或-(x-5)-(x+5)=10

解得x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5

有这些整数的和为5+4+3+2+1+0-1-2-3-4-5=0.

9解：(1)是最小的正整数，，b=l.

根据题意得:c-5=0)a+b=0,a=-1,b=l,c=5；

(2)当OWxWl时，x+l>0,x-lWO,x+3>0,

则：|x+l|-|x-11+2：x+31

=x+l-(1-x)+2(x+3)=x+l-l+x+2x+6=4x+6；

当1<XW2时，x+l>0,x-l>0,x+3>0.

/.|x+11-|x-11+2x+31=x+l-(x-1)+2(x+3)=x+l-x+l+2x+6=2x+8.

10.解:(1)设动点A、B的速度分别为xcm/s和3xcm/s,则2(x+3x)=16,

解得x=2,A3x=6,

・••动点A的运动速度为每秒2个单位长度，动点B的运动速度为6个单位长度；

故答案为：2,6；

(2)VA：-4B：12，如图所示：

AB

-16-12-8~j~~0~48~12-16-

(3)B未追上A时：t=(16-4)4-(6-2)=3秒；

B超过A后：t=(16+4)4-(6-2)=5秒.

第四次重点课

1.探究数字"黑洞"："黑洞"原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体

到它那里都别想再"爬出来"，无独有偶，数字中也有类似的"黑洞"，满足某种条件的所有数，

通过一种运算，都能被它"吸"进去，无一能逃脱它的魔掌.譬如：任意找一个3的倍数，先把

这个数每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数

字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=,我们称它为数字“黑

洞”,T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘!此短文中的丁是()

A.363B.153C.159D.456

2.求1+2+22+23+...+22。16的值，可设S=1+2+22+23+...+22O】6,于是2s=2+22+23+...+22。“，因此2S-

S=22017-1,所以S=22O17-1.我们把这种求和方法叫错位相减法.仿照上述的思路方法，计算

出1+5+52+53+...+52°16的值为()A.52°"-1B.52016-1C.52°"-1D.5236T

~~4-4

3.已知m22,*2,且m、n均为正整数，如果将皿进行如图所示的"分解"，那么下列四个叙

述中正确的有()

①在25的"分解"中，最大的数是11.

②在43的“分解”中，最小的数是13.

③若n?的"分解"中最小的数是23,则m=5.

④若3n的"分解"中最小的数是79,则n=5.

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”,如（1101）2表示二进制

数，将它转换成十进制形式是1x23+1x22+0x21+1x20=13,那么将二进制数（1111）2转换成十进

制形式是数（）

A.8B.15C.20D.30

5.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就

称点C是点是［A,B］的好点.

（1）如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点

B的距离是1,那么点C是【A,B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1,到点B

的距离是2,那么点D［A,B］的好点，但点D【B,A］的好点.（请在横线上

填是或不是）知识运用：

（2）如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4,点N所表示的数为-2.数所

表示的点是［M,N］的好点；

（3）如图3,A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只

电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当经过秒

时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

ADCBy...........................M

-3-2-101~2~3*-3-2-101234>

图1图2

AP—B.、AP<-B、

-2004b>-20040

图3备用图

6.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的

三等分点处分别标上了数字0,1，2）±：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴

按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,...

所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的

位置，这个整数是（用含n的代数式表示）.

7.从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：

加数m的个数和（S）

1------------------------>2=1X2

2----------------->2+4=6=2X3

3------------->2+4+6=12=3X4

4-------->2+4+6+8=20=4X5

5---->2+4+6+8+10=30=5X6

（1）按这个规律，当m=6时，和为；

（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：

（3）应用上述公式计算：

①2+4+6+...+200②202+204+206+...+300.

8.观察下列各式:13=1=—xI2X22;13+23=9=A-x22X32;l3+23+33=36=-i-x32X42；

13+23+33+43=100=1_*42x52…

回答下面的问题：

（1）13+23+33+43+...+103=（写出算式即可）；

（2）计算13+23+33+...+993+1003的值；

（3）计算:113+123+...+993+1003

9.观察下列各式，再回答问题：

1-i--L=lxl,...

222232334244

（1）根据上述规律填空：1--A-=_______；1--A-=_______.

100220082

（2）用你的发现计算:

(1...(1-_1__)(1—).

22322007220082

1.解：把6代入计算，

第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；

第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；

第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153.故选B.

2解：设S=l+5+52+53+...+52016,则5S=5+52+53+...+52017,

A5S-S=52017-1,，S=520”-1.故选C.

4

3.解：(1)在25的"分解"中，最大的数是257+1=17,所以此叙述不正确；

(2)在43的“分解"中最小的数是13,则其他三个数为15,17,19,四数的和为64,恰

好为43,所以此叙述正确；

(3)若m等于5,由53"分解"的最小数是23,则其余四个数为25,27,29,31,所以

此叙述正确；

(4)若3n的"分解"中最小的数是3皿+2=79,则n=5,所以此叙述正确.

故正确的有(2)(3)(4).

4.解：(1101)2=1x23+1x22+0x2」1x2°=13,

(1111)2=1X23+1X22+1x21+1x20=8+4+2+1,=15.故选B.

5.解：(1)如图1,•.•点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,

根据好点的定义得：DB=2DA,

那么点D不是［A,B］的好点，但点D是［B,A］的好点；

(2)如图2,4-(-2)=6,64-3X2=4,

即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；

...数0所表示的点是［M,N］的好点；

(3)如图3,由题意得：PB=4t,AB=40+20=60,PA=60-4t,

点P走完所用的时间为：604-4=15(秒)，

当PB=2PA时，即4t=2(60-4t),t=10(秒)，

当PA=2PB时,即2X4t=60-4t,t=5(秒)，

•••当经过5秒或10秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点；

故答案：(1)不是，是；(2)0；(3)5或10.

6.解：(1)•.•数轴上1,2,3,4,...所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,...所对应的点重合,

二圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2；

(2)•.•数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,…所对应的点重合，

圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组0、1、2,3、4、5,6、7、8,...分别对

应，

数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后，并落在圆周上数字1所对应的位

置，这个整数是3n+l.

故答案为：a=2；3n+l.

7.解：(1)V2+2=2X2,

2+4=6=2X3=2X(2+1),

2+4+6=12=3X4=3X(3+1),

2+4+6+8=20=4X5=4X(4+1),

，m=6时，和为:6X7=42；

(2).,.和S与m之间的关系，用公式表示出来:2+4+6+...+2m=m(m+1)；

(3)①2+4+6+...+200

=100X101,=10100；

②2+4+6+..+300=150X151=22650,

A202+204+206+..+300.=22650-10100,=12550.

8解：(1)F+23+33+43+...+103=1X102X112；

4

(2)13+23+33+...+993+1003

=^X1002X1012

4

=25502500；

(3)J^X1002X1012-ixiO2Xll2

44

=25502500-3025

=25499475.

9.解：(1)1--J：—=99*101；i_1__=2007x2009.

22

10Q100100200820082008

故答案为也X也1；200Lx2009_；

10010020082008

(2)原式=Pxax2x&X卫■义"X...X2006x2008x2007*2009

2233442007200720082008

=1x2009

22008

;2009

4016

第五次重点课

1.已知A、B为数轴上的两点，A点对应的数为-20,B点对应的数为100,

（1）求AB中点C对应的数；

（2）现有个电子蚂蚁从A点出发，第一步先向左爬一个单位，第二步向右爬2个单位，第三步

向左爬3个单位，第四步向右爬4个单位，按照这样的方式，需要爬多少步能爬到B点？

（3）电子蚂蚁P从点B出发，以每秒6个单位的速度向左运动，同时，电子蚂蚁Q从点A出

发，以每秒4个单位的速度向右运动，两只蚂蚁在点D相遇，求C点和D点的距离.

2.阅读下面材料：

约1》Q4