5.3诱导公式第二课时讲义-高一上学期数学人教A版

人教A版（2019）高一数学必修第一册课时同步学案5.3诱导公式(2)第2课时诱导公式五、六【知识梳理】【知识点一】诱导公式公式五：sin＝cosα，cos＝sinα.公式六：sin＝cosα，cos＝－sinα.如图：角eq\f(π,2)－α与角α的终边关于y＝x对称．【知识点二】公式五和公式六的理解(1)函数名称：eq\f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别转化为α的余弦(正弦)函数值．(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．(4)简记：“函数名改变，符号看象限”．【题型探究】【类型一】利用诱导公式求值【例1】(1)已知角α是第四象限角，且满足sin－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)(2)若sin＝eq\f(\r(5),5)，那么cos的值为()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(\r(5),5)【方法归纳】解决化简求值问题的策略1首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系，发现它们的互补、互余关系.2可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.【变式训练1】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知cos(eq\f(π,2)＋φ)＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|<eq\f(π,2)，则tanφ＝________.【类型二】利用诱导公式化简、证明【例2】(1)化简eq\f(cosα－π,sinπ－α)·sincos＝________.(2)证明：＝tanα.【方法归纳】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.【变式训练2】求证：＋tan2(π－x)＝1＋tan2x.【类型三】诱导公式的综合应用【例3】已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．【方法归纳】运用诱导公式化简、求值的前提是熟记诱导公式一～六，上述诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”；即把已知角统一写成eq\a\vs4\al(“k·\f(π,2)＋α，k∈Z”)的形式，根据k的奇偶性选择函数名进行化简.再综合利用三角函数的定义、特殊角的三角函数等知识解决问题.此时注意要三看：一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.,二看函数名称：一般是弦切互化.,三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.【变式训练3】已知f(α)＝eq\f(sin2π－αtanπ＋αcos－α－π,cosπ－αtan3π－α).(1)将f(α)化为最简形式；(2)若f(α)－f＝eq\f(1,5)，且α∈(0，π)，求tanα的值．【类型四】整体代换【例4】已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．【方法归纳】诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下．(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等．常见的互补关系有：eq\f(π,3)＋α与eq\f(2π,3)－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(3π,4)－α等．(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．【课堂练习】1．已知sinα＝eq\f(2,3)，则cos等于()A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D．－eq\f(\r(5),3)2.＝()A．tanα B．－tanαC．1 D．－13．已知sin(eq\f(π,6)－θ)＝eq\f(1,3)，则cos(eq\f(π,3)＋θ)等于________.4．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α为第四象限角，那么cos(α＋eq\f(5π,2))等于_________.5．化简eq\r(1＋2sin\f(π,2)－2·cos\f(π,2)＋2).【课堂小结】1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．【参考答案】【例1】(1)A(2)D【解析】(1)由sin－3cos(α－π)＝1，得－cosα＋3cosα＝1，即cosα＝eq\f(1,2)，因为角α是第四象限角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(\r(3),2).所以tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(3).(2)由题意可得cos＝sin＝sin＝－sin＝－eq\f(\r(5),5).【变式训练1】(1)B解析：sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－m2).(2)－eq\r(3).解析：∵cos(eq\f(π,2)＋φ)＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinφ＝－eq\f(\r(3),2).∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴tanφ＝tan(－eq\f(π,3))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).【例2】【答案】(1)－cos2α(2)见解析【解析】(1)原式＝eq\f(cos[－π－α],sinα)·sin(－sinα)＝eq\f(cosπ－α,sinα)·(－sinα)＝eq\f(－cosα,sinα)·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)证明：左边＝＝eq\f(－tanα－sinαcosα,cosαsinα)＝tanα＝右边，所以原式成立．【变式训练2】证明：左边＝＋tan2x＝＋tan2x＝eq\f(cosx·tanx,sinx)＋tan2x＝1＋tan2x＝右边．故原式得证．【例3】【解】(1)f(α)＝＝eq\f(－sinα·cosα·－cosα,－cosα·sinα)＝－cosα.(2)因为cos＝－sinα，所以sinα＝－eq\f(1,5)，又α是第三象限角，所以cosα＝－＝－eq\f(2\r(6),5).所以f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)因为－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，所以f＝－cos＝－cos＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)，所以f(α)＝－eq\f(1,2).【变式训练3】解：(1)f(α)＝eq\f(－sinαtanα－cosα,－cosα－tanα)＝sinα.(2)f(α)－f＝sinα－sin＝sinα＋cosα＝eq\f(1,5)①.两边平方可得1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，2sinαcosα＝－eq\f(24,25)<0，又α∈(0，π)，所以α∈，sinα－cosα>0，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝eq\f(49,25)，所以sinα－cosα＝eq\f(7,5)②.由①②可得：sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，所以tanα＝－eq\f(4,3).【例4】解：cos(105°－α)－sin(15°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－eq\f(2,3).【课堂练习】1．A解析：cos＝sinα＝eq\f(2,3)，故选A.2．C解析：＝eq\f(cosα,cosα)＝1.故选C.3．eq\f(1,3).解析：cos＝cos＝sin(eq\f(π,6)－θ)＝eq\f(1,3).4．eq\f(2\