空间向量的数量积运算+练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a·b<0”是“<a,b>为钝角”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则AC·BD= ()A.12 B.1C.3 D.3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,则a·(b+c)= (A.2 B.0C.-1 D.-24.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<A'B,B'D'A.30° B.60°C.90° D.120°5.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=π3,<PA,BC>=2π3,PA=2,AB=1,BC=3,则PC= (A.7 B.2C.3 D.16.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°7.已知正四面体A-BCD的棱长为1,△ABC的重心为G,则线段DG的长为 ()A.33 B.23 C.53 8.(多选题)已知空间四边形ABCD的四条边和对角线长都为a,且E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列四个数量积中结果为-a2的是 ()A.2BA·AC B.2AD·BD C.2GF·AC D.2EF·CB9.(多选题)已知几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列说法中正确的是 ()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B1C.向量AD1与向量A1B的夹角是60°D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·10.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则两异面直线的夹角为11.在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG·(OA+OB+OC)=.

12.如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=23,则线段AA'的长为.

13.如图,在三棱锥P-ABC中,D为棱BC上一点,且CD=2BD,M为线段AD的中点.(1)用AB,AC,AP表示向量PM;(2)若AB=AC=3,AP=4,∠BAC=∠PAC=60°,求PM·AC.14.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<DM,AO>的大小.15.在平面直角坐标系中,已知A(-1,4),B(3,-6),现沿x轴将坐标平面折成120°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 ()A.217 B.223 C.8 D.31116.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=60°,AC1=26.(1)求侧棱AA1的长;(2)若M,N分别为D1C1,C1B1的中点,求AC1·MN及异面直线AC1和MN

答案1.B[解析]当<a,b>=π时,a·b<0,但<a,b>不是钝角,即由“a·b<0”不能推出“<a,b>为钝角”,又当<a,b>为钝角时,a·b<0,所以“a·b<0”是“<a,b>为钝角”的必要不充分条件.故选B.2.B[解析]AC·BD=(AB+BD+DC)·BD=AB·BD+BD2+DC·BD.因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以AB·BD=0,DC·BD=0,所以AC·BD=0+12+0=1,故选B3.B[解析]由正方体的性质可得,AB⊥AD,AB⊥AA1,故AB·AD=0,AB·AA1=0,∵AB=a,AD=b,AA1=c,∴a·(b+c)=AB·(AD+AA1)=AB·AD+4.D[解析]如图,连接BD,A'D,则B'D'=BD,∴<A'B,B'D'>是∠DBA'的补角.∵A'D=A'B=BD,∴∠DBA'=60°,∴<5.C[解析]由已知得PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=(PA+AB+BC)2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+2AB·BC=22+12+32+2×2×1×-12+2×2×3×-12+2×1×3×-16.C[解析]由AC⊥b,BD⊥b可得AC⊥CD,BD⊥CD,故AC·CD=0,DB·CD=0,∴AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+CD2+DB·CD=0+|CD|2+0=1,∴cos<AB,CD>=AB·CD|AB||CD|=12,∴<AB,CD7.D[解析]连接AG并延长,交BC于点M,连接DM.∵G是△ABC的重心,∴AG=23AM,∴AG=23AM,则DG=DA+AG=DA+23AM=DA+23(DM-DA)=DA+23×12(DB+DC)-DA=13(DA+DB+DC),又(DA+DB+DC)2=DA2+DB2+DC2+2DA·DB+2DB·DC+2DC·DA=1+1+1+2×(cos60°8.AC[解析]对于A,2BA·AC=2|BA||AC|cos120°=2a·acos120°=-a2,故A正确;对于B,2AD·BD=2|AD||BD|cos60°=2a·acos60°=a2,故B错误;对于C,2GF·AC=2|GF||AC|cos180°=2·a2·acos180°=-a2,故C正确;对于D,2EF·CB=2|EF||CB|cos120°=2·a2·acos120°=-a229.AB[解析]由题意得A1A+A1D1+A1B1=A1C,∵A1C2=3A1B12,∴(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12,故A正确.连接AB1,则A1B1-A1A=AB1.连接CD1,∵A1D1⊥A1B1,A1D1⊥AA1,A1B1∩AA1=A1,A1B1⊂平面ABB1A1,AA1⊂平面ABB1A1,∴A1D1⊥平面ABB1A1,又AB1⊂平面ABB1A1,∴A1D1⊥AB1,又易知CD1⊥AB1,A1D1∩CD1=D1,A1D1⊂平面A1CD1,CD1⊂平面A1CD1,∴AB1⊥平面A1CD1,又A1C⊂平面A1CD1,∴AB1⊥A1C,∴A1C·(A1B1-A1A)=0,故B正确.连接AC,∵A1B∥D1C,∴向量AD1与向量A1B10.60°[解析]设向量a,b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=-1211.143[解析]由题意得OA·OB=OA·OC=OB·OC=0,且OG=OA+OB+OC3,故OG·(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)2=13(|OA|2+|OB|2+|OC|2)=1312.4或2[解析]由题意知,FE=FA+AA'+A'E,所以FE2=(FA+AA'+A'E)2=FA2+AA'2+A'E2+2FA·AA'+2FA·A'E+2AA'·A'E,∵异面直线a,b所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=23,∴23=9+AA'2+13.解:(1)∵M为线段AD的中点,∴AM=12AD,∵CD=2BD,∴BD=13BC,∴PM=PA+AM=PA+12AD=PA+12(AB+BD)=PA+12AB+13BC=PA(2)PM·AC=-AP+13AB+16AC·AC=-AP·AC+13AB·AC+16AC2=-|AP||AC|·cos∠PAC+13|AB||AC|cos∠BAC+16|AC|2=-4×3×12+13×314.解:设VA=a,VB=b,VC=c,正四面体V-ABC的棱长为1,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=12(1)证明:由题意知VD=13(a+b+c),则AO=AV+VO=AV+12VD=-a+16(a+b+c)=16同理可得BO=16(a+c-5b),CO=16(a+b-5所以AO·BO=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136×18×12-9=0,所以AO同理可得AO⊥CO,BO⊥CO,所以AO,BO,CO两两垂直.(2)DM=DV+VM=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-所以|DM|=16(-2又|AO|=16(b+c-5a)2=22,DM·AO=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=136(-2a·b-2a·c+10a2-2b2-2b·c+10a所以cos<DM,AO>=1412×22=22,故15.B[解析]在折叠后的图形中,作AC⊥x轴交x轴于点C,作BD⊥x轴交x轴于点D,连接AB,则AB=AC+CD+DB,所以折叠后A,B两点间的距离为|AB|=(AC+CD16+16+36+2×4×6×12=223.16.解:(1)设侧棱AA1的长为x,∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,且∠BAA1=∠DA