高二数学同步练习生活中的优化问题举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。4HYPERLINK”file:///D:\\TDDOWNLOAD\\人教A数学选修1—1,1-2\\1、3—4。ppt”生活中的优化问题举例一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小,则分法为（）A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对[答案］B［解析]设一个数为x，则另一个数为8－x，则y＝x3＋（8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3（8－x)2，令y′＝0,即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4。当0≤x<4时,y′<0；当4〈x≤8时，y′>0,所以x＝4时，y最小．2．某箱子的容积与底面边长的关系为V(x）＝x2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(60－x，2)））（0<x〈60），则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（）A．30 B．40C．50 D．以上都不正确［答案]B3．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起,就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为（）A．6 B．8C．10 D．12[答案］B［解析］设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意,得V＝x（48－2x)2(0<x〈24)，V′＝12(24－x)(8－x）．令V′＝0，则在（0，24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．4．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为（）A．R B．2RC.eq\f(4,3)R D.eq\f（3,4）R[答案]C［解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝eq\f(1，3)πr2h＝eq\f（π，3)h（2Rh－h2)＝eq\f(2，3）πRh2－eq\f（π,3）h3，∴V′＝eq\f（4,3)πRh－πh2，令V′＝0得h＝eq\f（4,3）R，当0<h<eq\f（4,3)R时，V′〉0；当eq\f（4,3)R<h〈2R时，V′<0。因此当h＝eq\f(4,3）R时，圆锥体积最大，故应选C。5．要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm，要使其体积为最大，则高为（）A.eq\f(\r（3),3)cm B.eq\f(10\r（3），3)cmC.eq\f（16\r(3）,3)cm D.eq\f（20\r（3），3)cm［答案]D6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为（)A．h＝2R B．h＝RC．h＝eq\r(2）R D．h＝eq\r（2R)[答案]A7．以长为10的线段AB为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为（）A．10 B．15C．25 D．50［答案］C［解析］如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.8．设圆柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面半径为(）A。eq\r(3,V) B。eq\r(3，\f（V,π）)C。eq\r(3,4V） D．2eq\r(3，\f（V,2π））［答案]D[解析］设底面圆半径为x，高为h，则V＝πr2h，∴h＝eq\f（V，πr2）.∴S表＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·eq\f(V，πr2)＝2πr2＋eq\f（2V，r).∴S表′＝4πr－eq\f(2V，r2）,∴V＝eq\r（3,\f(V,2π))，又当x∈（0,eq\r(3，\f(V,2π）))时,S表′〈0；当x∈(eq\r(3,\f(V，2π))，V)时,S表′>0，∴当r＝eq\r(3,\f（V,2π))时，表面积最小．9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度（单位:℃）为f(x)＝eq\f（1,3）x3－x2＋8（0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（)A．8 B。eq\f(20，3）C．－1 D．－8[答案]C[解析］瞬时变化率即为f′(x）＝x2－2x为二次函数,且f′(x)＝(x－1)2－1,又x∈[0，5]，故x＝1时，f′(x）min＝－1。10．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱,则其圆柱侧面积最大为（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D。eq\f(1,2)πr2［答案］A[解析］设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12eq\r（r2－r\o\al(2，1))＝4πr1eq\r(r2－r\o\al(2，1)).∴S＝4πeq\r（r2r\o\al(2,1)－r\o\al（4,1））。令(r2req\o\al(2，1)－req\o\al(4,1）)′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2）r。此时S＝4π·eq\f（\r（2）,2）r·eq\r(r2－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2)r))2)＝4π·eq\f(\r(2)，2)r·eq\f(\r(2）,2）r＝2πr2。二、填空题11．把长为60cm的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．［答案］15cm15cm［解析］设长为xcm，则宽为(30－x)cm，此时S＝x·（30－x)＝30x－x2，S′＝30－2x＝0，所以x＝15。所以长为15cm，宽为15cm时，矩形的面积最大．12．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．［答案］eq\f(3,104)l2［解析]设前者宽为x，面积之和为y，则y＝2x·x＋eq\f(1,5)（l－6x）·eq\f(3，10)（l－6x）＝eq\f(104,25）x2－eq\f(18,25)lx＋eq\f(3,50)l2，y′＝eq\f(208,25）x－eq\f(18,25)l，令y′＝0得,x＝eq\f（9,104）l，∴ymin＝eq\f(3，104)l2。13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．［答案]4［解析］设底面边长为x，则高为h＝eq\f(256，x2），其表面积为S＝x2＋4×eq\f（256，x2)×x＝x2＋eq\f(256×4，x）,S′＝2x－eq\f(256×4,x2），令S′＝0，则x＝8，则当高h＝eq\f（256,64)＝4时S取得最小值．14．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为________．[答案]3[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π,∴L＝eq\f（27,R2），要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2πeq\f(27，R),∴S′(R）＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0,令S′＝0得R＝3，∴当R＝3时，S表最小．三、解答题15．某公司规定:对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同,每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？[解析]设x表示销售的件数,R表示公司的收益,则R等于每件的售价x×销售件数，当x〉150时，则R＝[200－（x－150)］x＝350x－x2为公司收益，先求R′(x)＝350－2x,令R′(x)＝0，得x＝175时，R有最大值．最大收益为R＝350×175－（175）2＝30625，而当一份合同订购的件数超过175时,则公司的收益开始减小．16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S,水面的高为h，问侧面与地面成多大角度时,才能使横断面被水浸湿的长度最小？

[解析]设浸湿的长度为l,AB＝CD＝x，则l＝BC＋2x＝eq\f(S，h)－xcosθ＋2x＝eq\f（S,h)＋（2－cosθ)·x＝eq\f（S，h）＋(2－cosθ)·eq\f(h,sinθ），∴l′＝h·eq\f(sin2θ－(2－cosθ)·cosθ，sin2θ)＝h·eq\f(1－2cosθ,sin2θ)。令l′＝0,即h·eq\f(1－2cosθ，sin2θ）＝0,解得cosθ＝eq\f(1，2）.∴θ＝60°.∵l只有一个极值，∴它是最小值．将θ＝60°代入l＝eq\f(S,h）＋（2－cosθ）·eq\f（h,sinθ)，解得lmin＝eq\f(S，h）＋eq\r（3）h。∴当侧面与地面成60°角时，才能使横断面被水浸湿的长度最小．17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C（x）＝200x＋eq\f(1，36）x3(元),若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少?［解析]设该厂生产x件这种产品利润为L(x）则L（x）＝500x－2500－C(x）＝500x－2500－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(200x＋\f(1,36)x3)）＝300x－eq\f（1,36）x3－2500（x∈N)令L′（x）＝300－eq\f（1，12）x2＝0，得x＝60（件)又当0≤x〈60时,L′(x)>0x〉60时，L′(x）〈0所以x＝60是L（x)的极大值点，也是最大值点．所以当x＝60时，L(x)＝9500元．18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？［解析]设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝eq\f(18－12x，4)＝4。5－3x(m