大学物理平面简谐波波动方程

§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动区别区别联系振动研究一个质点的运动。波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。振动是波动的根源。波动是振动的传播。最简单而又最根本的波动是简谐波！简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是假设干个简谐波的叠加。对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点OOPu参考点原点的振动方程为任取一点，其坐标为，点如何振动？和与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播的距离，相位落后现在，点的振动要传到点，需要向前传播的距离为，因而点的相位比点落后点的振动方程为由于点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉就是沿轴正向传播的平面简谐波的波动方程。OOPu如果波沿轴的负向传播，点的相位将比点的振动相位超前沿轴负向传播的波动方程为利用，沿轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为即原点的振动状态传到点所需要的时间点在时刻重复原点在时刻的振动状态波动方程也常写为其中波数，物理意义为长度内所具有完整波的数目。☆波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向二、波动方程的物理意义1、固定，如令振动方程处质点的振动方程处的振动曲线该质点在和两时刻的相位差2、固定，如令波形方程时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即时刻的波形方程。波形曲线3、和都在变化时刻时刻各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程行波时刻，处的某个振动状态经过的时间，传播了的距离，传到了处，显然行波必须满足此方程其中波是振动状态的传播！习题类型〔1〕由某质元的振动方程〔或振动曲线〕求波动方程〔2〕由某时刻的波形曲线求波动方程例4.2：一平面波在介质中以速度m/s沿直线传播，在传播路径上某点A的振动方程为，如图4.8所示。〔1〕假设以A点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程；〔2〕假设以B点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程。AAB8muCD5m9m解：〔1〕振幅m，圆频率rad/s，频率Hz，波长m波动方程为mC点坐标为m，振动方程为mD点坐标为m，振动方程为m〔2〕A点坐标为m，波动方程为mC点坐标为m，振动方程为mD点坐标为m，振动方程为m例4.3：一平面简谐横波以m/s的波速在均匀介质中沿方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。〔1〕写出波动方程；〔2〕写出距原点2m处的质点P的振动方程；〔3〕画出秒和0.007秒时的波形图；〔4〕假设以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。解：〔1〕由题意m，秒，m/s可得圆频率rad/s，波长m由旋转矢量图知，原点处质点的初相位故原点处质点的运动方程为m波动方程为m〔2〕m处质点的振动方程为m〔3〕秒时，波形方程为因为，故由时刻的波形向+x方向平移即可得时刻的波形。如下图uu〔4〕Ex.4：秒的波形曲线如下图，波速，沿方向传播(m)(m)(m)21u0.50求：〔1〕点的振动方程；〔2〕波动方程解：〔1〕由时的波形图可知，，，利用旋转矢量图法得出秒时点振动相位OO，点的初相位点的振动方程为〔2〕波动方程Ex：一列机械波沿轴正向传播，=0时的波形如下图，波速为10m·s-1，波长为2m，求：(1)波动方程；(2)点的振动方程及振动曲线；(3)点的坐标；(4)点回到平衡位置所需的最短时间．解:(1)由题5-13图可知，时，原点处质点振动的初始条件为，∴由题知，，那么，圆频率原点的振动方程为波动方程