甘肃省天水市太京中学2024届高三（下）第一次联考数学试题试卷

甘肃省天水市太京中学2024届高三（下）第一次联考数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．2．已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为（）A． B． C． D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则()A．9 B．5 C．2或9 D．1或54．已知集合，集合，若，则（）A． B． C． D．5．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（）A．55 B．500 C．505 D．50506．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．7．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（）A． B．C． D．8．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．19．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元10．A． B． C． D．11．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（）A．6 B．8 C．10 D．1212．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为数列的前项和.若，则______.14．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.15．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.16．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）已知圆M：及定点，点A是圆M上的动点，点B在上，点G在上，且满足，，点G的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设斜率为k的动直线l与曲线C有且只有一个公共点，与直线和分别交于P、Q两点.当时，求（O为坐标原点）面积的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.20．（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.21．（12分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【题目点拨】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．2、C【解题分析】

根据题意，知当时，，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【题目详解】解：由于在区间有三个零点，，，当时，，∴由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，∴，，所以最小正周期为：.故选：C.【题目点拨】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.3、B【解题分析】

根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.【题目详解】由于，所以，又且，故选：B.【题目点拨】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.4、A【解题分析】

根据或，验证交集后求得的值.【题目详解】因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.【题目点拨】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.5、C【解题分析】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.【题目详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，又阶幻方有行（或列），因此，，于是．故选：C【题目点拨】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6、D【解题分析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【题目详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.7、D【解题分析】

由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式.【题目详解】由图象可得，函数的最小正周期为，.将点代入函数的解析式得，得，，，则，，因此，.故选：D.【题目点拨】本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解题分析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【题目详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.【题目点拨】本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.9、D【解题分析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【题目详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【题目点拨】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.10、A【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11、D【解题分析】

根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.【题目详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.故选：D【题目点拨】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.12、C【解题分析】

根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【题目详解】对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；对于，由，知：，又，，正确；对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.故选：.【题目点拨】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

由已知数列递推式可得数列是以16为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的前项和公式求解．【题目详解】由，得，．且，则，即．数列是以16为首项，以为公比的等比数列，则．故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查数列递推式，考查等比数列的前项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14、－3【解题分析】

依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；【题目详解】解：∵二项式的展开式中的常数项为，∴解得.故答案为：【题目点拨】本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.15、【解题分析】

根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【题目详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题．16、【解题分析】

设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.【题目详解】设抛物线上任意一点的坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）令可求得的值，令时，由可得出，两式相减可得的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，由此可得出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果.【题目详解】（1），当时，；当时，由得，两式相减得，.满足.因此，数列的通项公式为；（2）.①当为奇数时，；②当为偶数时，.综上所述，.【题目点拨】本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意得到GB是线段的中垂线，从而为定值，根据椭圆定义可知点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，即可求出曲线C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，表示处的面积代入韦达定理化简即可求范围.【题目详解】（1）为的中点，且是线段的中垂线，，又，∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，设椭圆方程为（），则，，，所以曲线C的方程为.（2）设直线l：（），由消去y，可得.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以，.①又由可得；同理可得.由原点O到直线的距离为和，可得.②将①代入②得，当时，，综上，面积的取值范围是.【题目点拨】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.19、（1）.（2）【解题分析】

（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，构造函数g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，结合导数及函数的性质可求.【题目详解】（1），x＞0，由题意可得，0，解可得t＝﹣4，∴，易得，当x＞2，0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝1时，函数取得极大值f（1）＝﹣3；（2）由f（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx+2≥2在x＞0时恒成立可得，x2+（t﹣2）x﹣tlnx≥0在x＞0时恒成立，令g（x）＝x2+（t﹣2）x﹣tlnx，则，（i）当t≥0时，g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝t﹣1≥0，解可得t≥1，（ii）当﹣2＜t＜0时，g（x）在（）上单调递减，在（0，），（1，+∞）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣1不合题意，舍去；（iii）当t＝﹣2时，g′（x）0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，此时g（1）＝﹣3不合题意；（iv）当t＜﹣2时，g（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（）上单调递增，此时g（1）＝t﹣1＜﹣3不合题意，综上，t≥1时，f（x）≥2恒成立.【题目点拨】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想，属于中档题.20、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）最小值为，此时【解题分析】

（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【题目详解】（1）由题意知的参数方程为（为参数）所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离，因为．当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．【题目点拨】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可推导出，然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值；（2）取中