新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式4.3一元二次不等式的应用课件北师大版必修第一册

4.3

一元二次不等式的应用自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.3.体会化归与转化思想的应用,加强数学建模素养的培养.

自主预习·新知导学一、与一元二次不等式有关的恒成立问题【问题思考】1.x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?区间[2,3]与不等式x-1>0的解集有什么关系?提示:x-1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y=x-1在区间[2,3]上的图象恒在x轴的上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R的等价条件是a>0,且Δ<0;一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的等价条件是a<0,且Δ<0.3.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(

).A.(-3,0] B.[-3,0)C.[-3,0] D.(-3,0)答案:A二、一元二次不等式在实际生活中的应用【问题思考】1.在一条限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离刚好是12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙车的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?提示:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1

200=0,解得x=30或x=-40(舍去).这表明甲车的车速为30

km/h,甲车车速没有超过限速40

km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2

000>0,解得x>40或x<-50(舍去).这表明乙车车速超过40

km/h,超过规定限速.2.利用不等式解决实际问题的一般步骤:(1)选取合适的字母表示题中的未知数;(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);(3)求解所列出的不等式(组);(4)结合题目的实际意义确定答案.3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是

台.

解析:依题意得25x≥3

000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30

000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即最低产量是150台.答案:150【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},则方程ax2+bx+c=0的两个实数根是x1和x2.(

√

)(2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立的条件是a<0,且Δ=b2-4ac<0.(

√

)(3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定是空集.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究一与一元二次不等式有关的恒成立问题【例1】已知关于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0的解集是R,求实数m的取值范围.分析1:a=2>0,Δ<0→求m的取值范围分析2:原不等式转化为m<2x2-8x+6→根据已知求2x2-8x+6的最小值→由m<(2x2-8x+6)min确定m的取值范围解法1:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,又∵函数y=2x2-8x+6-m的图象开口向上,∴只需Δ=64-8(6-m)<0,解得m<-2.故m的取值范围是(-∞,-2).解法2:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,即m<2x2-8x+6在R上恒成立,只需m<(2x2-8x+6)min,设y=2x2-8x+6,则当x=2时,函数取得最小值-2,∴m<-2,即所求m的取值范围为(-∞,-2).1.若把本例的不等式改为:关于x的一元二次不等式mx2-8x+6>0,其他不变,如何求m的取值范围?2.已知关于x的一元二次不等式2x2-mx+6<0有解,求m的取值范围.(2)若不等式中的参数比较“孤单”,便可将参数分离出来,利用形如m≥ax2+bx+c恒成立⇔m≥(ax2+bx+c)max,m≤ax2+bx+c恒成立⇔m≤(ax2+bx+c)min求解.【变式训练1】

若对于一切实数x,mx2-mx-1<0恒成立,求实数m的取值范围.解:若m=0,显然-1<0,满足题意;若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立,故实数m的取值范围为{m|-4<m≤0}.探究二

一元二次不等式的应用【例2】国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫作税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,问k应怎样确定?分析:若征收附加税,此时的产销量为(100-10k)万瓶,每一瓶的附加税应为70×k%,利用附加税金不少于112万元建立关于k的不等式,解不等式即可.解:设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的税金为(70x·k%)万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此,当2≤k≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.解不等式应用题的四个步骤(1)审:认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)设:引进数学符号,用不等式表示不等关系.(3)求:解不等式.(4)答:回答实际问题.【变式训练2】

某农贸公司按每吨200元收购某农产品,并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万吨,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(单位:万元)与x的函数关系式;(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a·(1+2x%).易

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析忽视二次项系数为零致误【典例】

已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是

.

答案

(1,19)以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽视二次项系数为零的情况,导致漏解.正解:①当m2+4m-5=0时,m=-5或m=1.若m=-5,则函数化为y=24x+3.对任意实数x函数值不可能恒大于0.若m=1,则y=3>0恒成立,满足题意.②当m2+4m-5≠0时,同错解.综上可知,1≤m<19.答案:[1,19)二次项系数含参数的不等式要注意讨论二次项系数是不是零,忽视讨论容易导致漏解.【变式训练】

函数y=ax2+ax-1在R上恒有y<0成立,则实数a的取值范围是(

)A.{a|a≤0} B.{a|a<-4}C.{a|-4<a<0} D.{a|-4<a≤0}解析:y=ax2+ax-1在有R上y<0恒成立,即ax2+ax-1<0在R上恒成立,当a=0时,-1<0恒成立;故所求实数a的取值范围为{a|-4<a≤0}.答案:D随

堂

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习答案:A2.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为(

).A.1 B.-1 C.-3 D.3解析:由x2-4x-m≥0,得m≤x2-4x,令y=-4x+x2,x∈(0,1],则问题转化为m≤ymin.又y=-4x+x2在区间(0,1]上,函数值y随自变量x的增大而减小,所以当x=1时,y取最小值-3,∴m≤-3,即m的最大值为-3.答案:C3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是(

).A.(0,4) B.[0,4) C.(0,4] D.[0,4]解析:当a=0时,ax2-ax+1<0无解,符合题意.当a<0时,ax2-ax+1<0的解集不可能为空集.当a>0时,要使ax2-ax+1<0