2024届高考物理二轮专题复习与测试第一部分专题三电场和磁场第9讲磁场带电粒子在磁场中的运动命题点四带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题

命题点四带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解．多解形成原因一般包含4个方面：类型图例带电粒子电性不确定磁场方向不确定临界状态不唯一运动具有周期性(多选)一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为()A.eq\f(1,3)kBL，0°B.eq\f(1,2)kBL，0°C．kBL，60°D．2kBL，60°解析：若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图根据几何关系则有R＝L，qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBL,m)＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当粒子上下均经历一次时，如图因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝eq\f(1,2)L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBL,2m)＝eq\f(1,2)kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝eq\f(qBL,（2n－1）m)＝eq\f(1,2n－1)kBL(n＝1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝eq\f(qBL,2nm)＝eq\f(1,2n)kBL(n＝1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.故可知B、C两项正确，A、D两项错误．故选BC.答案：BC1.一圆筒的横截面如图所示，圆心为O、半径为R，在筒上有两个小孔M，N且M、O、N在同一水平线上．圆筒所在区域有垂直于圆筒截面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在圆筒左侧有一个加速电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由静止经电场加速后从M孔沿MO方向射入圆筒．已知粒子与圆筒碰撞时电荷量保持不变，碰撞后速度大小不变，方向与碰撞前相反，不计粒子重力．(1)若加速电压为U0，要使粒子沿直线MN运动，需在圆筒内部空间加一匀强电场，求所加电场的电场强度大小E；(2)若带电粒子与圆筒碰撞三次后从小孔N处射出，求粒子在圆筒中运动时间t；(3)若带电粒子与圆筒碰撞后不越过小孔M，而是直接从小孔M处射出，求带电粒子射入圆筒时的速度v.解析：(1)带电粒子在平行板加速过程中，由动能定理得qU0＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，在磁场中运动时，电场力与洛伦兹力平衡qv0B＝qE，解得E＝Beq\r(\f(2qU0,m)).(2)带电粒子在磁场中运动的周期T＝eq\f(2πm,qB)，带电粒子与环碰撞三次有两种情况：第一种情况如图(1)所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角α＝eq\f(π,4)，两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角β＝π－α＝eq\f(3π,4)，整个过程运动时间t＝4×eq\f(β,2π)T＝eq\f(3πm,qB).第二种情况如图(2)所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角α′＝eq\f(3π,4)，两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角β′＝π－α′＝eq\f(π,4)，整个过程运动时间t′＝eq\f(3πm,4qB).所以带电粒子在圆环中运动的时间为eq\f(3πm,qB)或eq\f(3,4)eq\f(πm,qB).(3)设粒子从M点射入磁场后做圆周运动的速度为v、半径为r，如图(3)，得qvB＝meq\f(v2,r)，设粒子经n次碰撞从小孔M射出，则2π＝(n＋1)·2φ即n＝2，3，4，5，…又当eq\f(（n＋1）,2)·2φ＝π时，粒子会从小孔N射出，故n只能取偶数，综上可得φ＝eq\f(π,n＋1)(n＝2，4，6，…)由几何关系得tanφ＝eq\f(r,R)，解得入射粒子速度大小为v＝eq\f(qBR,m)taneq\f(π,n＋1)(n＝2，4，6，…)答案：(1)Beq\r(\f(2qU0,m))(2)eq\f(3πm,qB)或eq\f(3πm,4qB)(3)eq\f(qBR,m)taneq\f(π,n＋1)(n＝2，4，6，…)2．(2023·广东佛山统考一模)如图，在空间直角坐标Oxyz系中，界面I与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场E，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场B.一质量为m、电量为＋q的粒子，从y轴上距O点eq\f(L,2)处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域．粒子重力不计．求：(1)电场强度E的大小；(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大．解析：(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示粒子从O1点进入右边磁场，则L＝v0t，eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)at2，qE＝ma，联立方程解得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),qL).(2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴夹角为θ，如图所示，则vy＝at，v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))，tanθ＝eq\f(vy,v0)，故tanθ＝1，即有θ＝45°，v＝eq\r(2)v0，在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，如图所示，则qvB＝meq\f(v2,R)，又根据几何关系R＋Rcos45°＝L，解得B＝eq\f(（\r(2)＋1）mv0,qL).答案：(1)E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),qL)(2)B＝eq\f(（\r(2)＋1）mv0,qL)3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B.磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN＝L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．(1)求粒子运动速度的大小v；(2)欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM＝d，QN＝eq\f(d,2)，求粒子从P到Q的运动时间t.解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB).由题可得R＝d，解得v＝eq\f(qBd,m).(2)如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切由几何关系得dm＝d(1＋sin60°)，解得dm＝eq\f(2＋\r(3),2)d.(3)粒子的运动周期T＝eq\f(2πm,qB)，设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t′，则t＝neq\f(T,4)＋t′(n＝1，3，5，…)，①当L＝nd＋(1－eq\f(\r(3),2))d时，粒子斜向上射出磁场t′＝eq\f(1,12)T，解得t＝(eq\f(L,d)＋eq\f(3\r(3)－4,6))eq\f(πm,2qB)，②当L＝nd＋(1＋eq\f(\r(3),2))d时，粒子斜向下射出磁场t′＝eq\f(5,12)T，解得t＝(eq\f(L,d)－eq\f(3\r(3)－4,6))eq\f(πm,2qB).答案：(1)eq\f(qBd,m)(2)eq\f(2＋\r(3),2)d