新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识2常用逻辑用语2.1必要条件与充分条件第2课时充要条件课件北师大版必修第一册

2.1

必要条件与充分条件第2课时

充要条件自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.理解充要条件的意义.2.掌握充分、必要、充要条件的应用.3.区分充分条件但不是必要条件、必要条件但不是充分条件.4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理素养的培养.

自主预习·新知导学一、充要条件的含义【问题思考】1.(1)已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:因为p⇒q,所以p是q的充分条件.又q⇒p,所以p是q的必要条件.(2)通过问题(1)的判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,且q⇒p都成立,即p⇔q.2.抽象概括一般地,如果

p⇒q,且

q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作

p⇔q.3.符号“⇔”的含义是什么?提示:符号“⇔”的含义是“等价于”.二、充分条件、必要条件、充要条件的判断【问题思考】1.观察两个集合A={x|x>0}和B={x|x>1},(1)集合A,B满足什么关系?(2)若p:x>0,q:x>1,则p是q的什么条件?提示:(1)B⫋A.(2)p是q的必要条件.2.若p不是q的充分条件,则q可能是p的必要条件吗?p可能是q的必要条件吗?提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.但p可能是q的必要条件.3.充分条件、必要条件的判断,如表.提示:充分条件,但不是必要条件

必要条件,但不是充分条件

4.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的(

).A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为N⫋M,所以“a∈M”是“a∈N”的必要条件,但不是充分条件.答案:B【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)当p是q的充要条件时,也可以说成q成立当且仅当p成立.(

√

)(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.(

√

)(4)“1<x<2”是“x<2”成立的必要条件,但不是充分条件.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一

充要条件的判断【例1】

在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)若a,b∈R,p:a2+b2≠0,q:a,b不全为0;(2)p:x=1,q:x2-2x+1=0.解:(1)由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故p是q的充要条件.(2)解x2-2x+1=0,得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件,即p是q的充要条件.判断充要条件的两种思路(1)命题角度:判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若两者都成立,则p与q互为充要条件.(2)集合角度:从集合角度去判断.已知集合A,B,p:x∈A,q:x∈B,若A⊆B,且B⊆A,则p与q互为充要条件.【变式训练1】

a,b中至少有一个不为零的充要条件是(

)A.ab=0 B.ab>0C.a2+b2=0 D.a2+b2>0解析:若a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.答案:D探究二

充分条件、必要条件的判断【例2】

在下列各题中,试判断p是q的什么条件.(1)p:y+x>4,q:x>1,y>3;(2)p:a>b,c<0,q:ac<bc;(3)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC为等腰三角形.解:(1)y+x>4不能推出x>1,y>3,即p

q,而由x>1,y>3可得x+y>4,即q⇒p,故p是q的必要条件,但不是充分条件.(2)当a>b,c<0时,有ac<bc,即p⇒q,而当ac<bc时,不一定有a>b,c<0,也可能是a<b,c>0,即q

p,故p是q的充分条件,但不是必要条件.(3)如图.由图可知p,q对应的集合间无包含关系,故p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件设A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.若A⊆B,则p是q的充分条件,若A⫋B,则p是q的充分条件,但不是必要条件

若B⊆A,则p是q的必要条件,若B⫋A,则p是q的必要条件,但不是充分条件

若A=B,则p,q互为充要条件

若A不包含于B且B不包含于A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件

【变式训练2】

对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中为真命题的是

.(填序号)

解析:①由a=b,可得ac=bc.但ac=bc时不一定有a=b,故①为假命题;②由“a+5为无理数”可得“a为无理数”,由“a为无理数”可得“a+5为无理数”,故②为真命题;③由“a>b”不能得出a2>b2,如a=1,b=-2,故③为假命题;④“由a<5”不能推出“a<3”,而由“a<3”可推出“a<5”,故④为真命题.答案:②④探究三

充要条件的证明充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”和“若q,则p”均为真.(2)可以利用集合的思想来证明,证明p与q对应的集合是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向.【变式训练3】

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.证明:设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2.必要性:因为关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个正根和一个负根.探究四

与充分、必要及充要条件相关的参数的求解【例4】

已知p:A={x|-2≤x≤10},q:B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若p是q的必要条件,但不是充分条件,求实数m的取值范围.分析:将p,q的关系转化为集合A,B的关系→列不等式组求解→下结论解:因为p是q的必要条件,但不是充分条件,所以B⫋A,即{x|1-m≤x≤1+m,m>0}⫋{x|-2≤x≤10},又m>0,所以实数m的取值范围是(0,3].1.若本例中将“p是q的必要条件,但不是充分条件”改为“p是q的充分条件,但不是必要条件”,其余条件不变,求实数m的取值范围.解:因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以A⫋B,即{x|-2≤x≤10}⫋{x|1-m≤x≤1+m,m>0}.即实数m的取值范围是[9,+∞).2.若本例中p,q不变,是否存在实数m,使得p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.应用充分条件但不是必要条件,必要条件但不是充分条件或充要条件求参数的值(取值范围)的一般步骤(1)根据已知条件将充分条件但不是必要条件,必要条件但不是充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.【变式训练4】

若“x>2m-3”是“-1<x<4”的必要条件,但不是充分条件,则实数m的取值范围是

.

解析:由“x>2m-3”是“-1<x<4”的必要条件,但不是充分条件,得(-1,4)⫋(2m-3,+∞),所以2m-3≤-1,解得m≤1.答案:(-∞,1]易

错

辨

析不能准确判断充要条件致误【典例】

“函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方”是“0<a<4”的

条件.

错解

设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0<a<4.因为当0<a<4时,方程ax2+ax+1=0的判别式Δ<0,所以当0<a<4时,y=ax2+ax+1>0恒成立,即函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q⇒p.得0<a<4,故p⇒q.所以p是q的充要条件.答案

充要以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽略了a=0时y=ax2+ax+1>0变为1>0这一情况.正解:设p:函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,q:0<a<4.因为当0<a<4时,方程ax2+ax+1=0的判别式Δ<0,所以当0<a<4时,函数y=ax2+ax+1的图象在x轴的上方,故q⇒p.而当a=0时,函数y=ax2+ax+1的值为1,其图象在x轴上方,所以p

q.故p为q的必要条件,但不是充分条件.答案:必要条件,但不是充分

用定义判断时无论是p⇒q,还是q⇒p,均要认真考虑是否有反例,这一点往往是判断充分性和必要性的关键和难点.随

堂

练

习1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(

)A.充分条件,但不是必要条件B.必要条件,但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B,且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件,但不是必要条件.答案:A2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(

)A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1解析:由二次函数y=x2