新教材-人教B版高中数学必修第二册-第五章-统计与概率-知识点考点及解题方法提炼汇总

第五章统计与概率TOC\o"1-4"\h\z\u5.1统计 15.1.1数据的收集 1第1课时总体与样本、简单随机抽样 1第2课时分层抽样 55.1.2数据的数字特征 85.1.3数据的直观表示 145.1.4用样本估计总体 215.3概率 255.3.1样本空间与事件 255.3.2事件之间的关系与运算 285.3.3古典概型 325.3.4频率与概率 365.3.5随机事件的独立性 385.4统计与概率的应用 425.1统计5.1.1数据的收集第1课时总体与样本、简单随机抽样知识点总体所考察问题涉及的__对象全体__是总体个体总体中__每个对象__都是个体样本抽取的部分对象组成总体的一个样本样本容量一个样本中包含的__个体数目__是样本容量知识点普查与抽样调查一般地，对总体中__每个个体__都进行考察的方法称为普查(也称全面调查)，只抽取__样本__进行考察的方法称为抽样调查．知识点简单随机抽样(1)定义：一般地，简单随机抽样(也称纯随机抽样)就是从总体中不加任何__分组__、划类、__排队__等，完全随机地抽取个体．(2)两种常见方法：①__抽签法__；②__随机数表法__．思考1：抽签法与随机数表法的异同点是什么？提示：抽签法随机数表法不同点①抽签法比随机数表法简单；②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况①随机数表法要求编号的位数相同；②随机数表法适用于总体中的个体数相对较多的情况相同点①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②都是从总体中逐个不放回地抽取知识点随机数表法进行简单随机抽样的步骤思考2：用随机数表进行简单随机抽样的规则是什么？提示：(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．题型简单随机抽样的概念典例剖析典例1下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．[分析]若抽取样本的方式是简单随机抽样，它应具备哪些特点？[解析](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．(5)不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．规律方法：1.如果一个总体满足下列两个条件，那么可用简单随机抽样抽取样本：(1)总体中的个体之间无差异；(2)总体个数不多．2．判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．题型抽签法典例剖析典例2要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试．请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．[分析]已知N＝30，n＝3.抽签法抽样时编号1、2、…、30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本．[解析]应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1、2、3、…、30；②将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．规律方法：抽签法的5个步骤题型随机数表法典例剖析典例3假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第26列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的5袋牛奶的号码是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)(B)844217533157245506887704744767217633502583921206766301647859169555671998105071851286735807443952387933211A．455068047447176B．169105071286443C．050358074439332D．447176335025212[解析]第8行第26列的数是1，依次取三位数169、555、671、998、105、071、851、286、735、807、443、…，而555、671、998、851、735、807超过最大编号499，故删掉，所以最先检验的5袋牛奶的号码依次为：169、105、071、286、443，故选B．规律方法：用随机数表法抽取样本的步骤：(1)将总体中的每个个体编号(每个号码位数一样)．(2)在随机数表中任选一个数作为起始号码．(3)从选定的数开始，按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或与前面取出的数重复，则跳过不取，如此进行下去，直到取满为止．(4)根据选定的号码抽取样本．易错警示典例剖析典例4一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽取的可能性是__eq\f(1,2)__；第三次抽取时，每个小球被抽取的可能性是__eq\f(1,4)__．[错解]因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性均为eq\f(n,N)，所以两空均填eq\f(1,2)．[辨析]本题解答错误的原因在于混淆了抽样中，样本被抽到的可能性与每次抽取中个体被抽到的可能性．[正解]因为简单随机抽样时每个个体被抽取的可能性为eq\f(n,N)，所以第一个空填eq\f(1,2)，而抽样是无放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽取的可能性为eq\f(1,6)，第二次抽取时，剩余5个小球被抽取的可能性为eq\f(1,5)，第三次抽取时，剩余4个小球，每个小球被抽取的可能性为eq\f(1,4).因此，第二个空填eq\f(1,4)．第2课时分层抽样知识点分层抽样1．定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有__明显差别__的、__互不重叠__的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按__层在总体中所占比例__进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样)思考1：如何理解“层在总体中所占比例”？提示：从N个个体中抽取n个个体，若将总体分为A，B，C三层，含有的个体数目分别是x，y，z，在A，B，C三层应抽取的个体数目分别是a，b，c，那么eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)＝eq\f(n,N)．2．应用的广泛性(1)分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征，尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时更是如此．(2)分层抽样在各层中抽样时，还可根据各层的特点灵活地选用不同的随机抽样方法．(3)想同时获取总体的信息和各层的内部信息时，常采用分层抽样．思考2：简单随机抽样和分层抽样的联系和区别是什么？提示：类别简单随机抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在各层抽样时采用简单随机抽样适用范围总体中的个体数较少总体由存在明显差异的几部分组成共同点①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样题型分层抽样的概念典例剖析典例1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(B)A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户．为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1000名工人中抽取100人调查上班途中所用的时间D．从生产流水线上抽取样本检查产品质量[分析]根据分层抽样的特点选取．[解析]A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．规律方法：分层抽样的依据(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．题型分层抽样中的有关计算典例剖析典例2(1)某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师__182__人．(2)某网站针对“2020年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下的人数20040080035岁以上(含35岁)的人数100100400①从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值．②从支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？[解析](1)设该校其他教师有x人，则eq\f(16,x)＝eq\f(56,26＋104＋x)，解得x＝52，经检验，x＝52是原方程的根，故全校教师共有26＋104＋52＝182人．(2)①由题意得eq\f(6,100＋200)＝eq\f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400)，解得n＝40．②35岁以下的人数为eq\f(5,500)×400＝4人，35岁以上(含35岁)的人数为5－4＝1人．[母题探究]将本例的条件改为“A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5.现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A方案有16人”，求样本的容量n．[解析]由于A，B，C三种放假方案人数之比为2∶3∶5，样本中A方案有16人，则eq\f(2,10)＝eq\f(16,n)，解得n＝80．规律方法：分层抽样中的求解技巧(1)eq\f(样本容量n,总体的个体数N)＝eq\f(该层抽取的个体数,该层的个体数)．(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．题型分层抽样的方案设计典例剖析典例3一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．[分析]分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样在各层中抽取个体．[解析]三部分所含个体数之比为112∶16∶32＝7∶1∶2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4．对112名业务人员进行编号，用随机数表法抽样抽取14人．再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．规律方法：分层抽样的注意事项分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．[特别提醒]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．易错警示典例剖析抽样方法选择不当导致所得样本不具有代表性典例4某单位有职工120人，欲从中抽取20人调查职工的身体状况．领导安排工会某干部负责抽样，他应该怎样做？[错解]将120名职工编号，用随机数表法抽样抽取20人作为样本．[辨析]年龄对人的身体状况有较大影响，这种不考虑年龄抽取的样本不能准确反应单位职工的身体状况．[正解]先将这120名职工根据年龄分为老年组、中年组、青年组，再按eq\f(1,6)的比例在各组中抽取相应的人数，即用分层抽样的方法抽取样本．5.1.2数据的数字特征知识点最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．知识点平均数1．定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．这一公式在数学中常简记为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i．2．求和符号∑具有的性质(1)eq\i\su(i＝1,n,)(xi＋yi)＝eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．(3)eq\i\su(i＝1,n,t)＝nt．3．如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是aeq\o(x,\s\up6(－))＋B．思考1：(1)x5＋x6＋…＋x15如何用符号∑表示？(2)如何证明eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i?提示：(1)x5＋x6＋…＋x15＝eq\i\su(i＝5,15,x)i．(2)eq\i\su(i＝1,n,)(kxi)＝kx1＋kx2＋…＋kxn＝k(x1＋x2＋…＋xn)＝keq\i\su(i＝1,n,x)i．知识点中位数1．如果一组数有奇数个数，并按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数．2．如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq\f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．知识点百分位数1．定义：一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值．2．计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．思考2：中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数．知识点众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．知识点极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．知识点方差与标准差(1)如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，方差的算术平方根称为标准差．(2)如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，……，axn＋b的方差是a2s2．思考2：(1)方差和标准差的取值范围是什么？方差、标准差为0的含义是什么？(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的？提示：(1)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度．(2)标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．题型最值、平均数、众数的确定典例剖析典例1某公司员工的月工资情况如表所示：月工资/元80005000400020001000800700员工/人125820122(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数；(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？[解析](1)该公司员工月工资的最大值为8000元，最小值为700元，众数为1000元．平均数为eq\f(1,50)(8000×1＋5000×2＋4000×5＋2000×8＋1000×20＋800×12＋700×2)＝1700(元)．(2)用众数，因为最大值为8000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿1000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．规律方法：1.把数据从小到大排列，根据定义即可确定最值和众数．2．平均数的求法(1)用定义式；(2)用平均数的性质；(3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n＝n1＋n2＋…＋nk，则这组数据的平均数为eq\f(1,n)(n1x1＋n2x2＋…＋nkxk)＝eq\f(n1,n)x1＋eq\f(n2,n)x2＋…＋eq\f(nk,n)xk．题型中位数、百分位数的计算典例剖析典例2(1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5，则该组数据的中位数是__7.5__；(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49．乙运动员得分：8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51．求甲、乙两名运动员得分的25%分位数，75%分位数和90%分位数．[解析](1)已知数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,8,9,10,11，共10个数，所以中位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5．(2)两组数据都是12个数，而且12×25%＝3,12×75%＝9,12×90%＝10.8，因此，甲运动员得分的25%分位数为eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(20＋25,2)＝22.5，甲运动员得分的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(37＋39,2)＝38，甲运动员得分的90%分位数为x11＝44．乙运动员得分的25%分位数为eq\f(x3＋x4,2)＝eq\f(14＋16,2)＝15，乙运动员得分的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(31＋38,2)＝34.5，乙运动员得分的90%分位数为x11＝39．规律方法：1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列．(2)找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．2．求百分位数的一般步骤(1)排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn．(2)计算：求i＝np%的值．(3)求值：分数p%分位数i不是整数xi0，其中i0为大于i的最小整数i是整数eq\f(xi＋xi＋1,2)题型极差、方差、标准差的计算典例剖析典例3已知一组数据：2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6．(1)求极差；(2)求方差；(3)求标准差．[解析](1)最大值为6，最小值为2，极差为4．(2)可将数据整理为x23456频数34562每一个数都减去4可得x－4－2－1012频数34562这组数的平均数与方差分别为eq\f(1,20)×[(－2)×3＋(－1)×4＋0×5＋1×6＋2×2]＝0，eq\f(1,20)×[(－2)2×3＋(－1)2×4＋02×5＋12×6＋22×2]＝eq\f(3,2)．因此，所求平均值为4，方差为eq\f(3,2)．(3)由(2)知标准差为eq\f(\r(6),2)．规律方法：求方差的基本方法(1)先求平均值，再代入公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，或s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2．(2)用性质．(3)当一组数据重复数据较多时，可先整理出频数表，再计算s2．题型分层抽样的方差典例剖析典例4甲、乙两班学生参加了同一考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80.5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？[解析]设甲班50名学生的成绩分别是a1，a2，…，a50，那么甲班的平均成绩和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(a1＋a2＋…＋a50,50)＝80.5(分)，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(a1－\o(x,\s\up6(－))甲2＋a2－\o(x,\s\up6(－))甲2＋…＋a50－\o(x,\s\up6(－))甲2,50)＝500．设乙班40名学生的成绩分别是b1，b2，…，b40，那么乙班的平均成绩和方差分别为eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(b1＋b2＋…＋b40,40)＝85(分)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(b1－\o(x,\s\up6(－))乙2＋b2－\o(x,\s\up6(－))乙2＋…＋b40－\o(x,\s\up6(－))乙2,40)＝360．如果不知道a1，a2，…，a50和b1，b2，…，b40，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50\o(x,\s\up6(－))甲＋40\o(x,\s\up6(－))乙,50＋40)＝eq\f(50×80.5＋40×85,90)＝82.5(分)，方差s2＝eq\f(50[s\o\al(2,甲)＋\o(x,\s\up6(－))甲－\o(x,\s\up6(－))2]＋40[s\o\al(2,乙)＋\o(x,\s\up6(－))乙－\o(x,\s\up6(－))2],50＋40)＝eq\f(50×[500＋80.5－82.52]＋40×[360＋85－82.52],90)＝eq\f(50×500＋50×4＋40×360＋40×6.25,90)≈442.78．规律方法：若样本中有两层，第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2，则样本的均值为eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，方差为eq\f(m[s2＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋n[t2＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],m＋n)．易错警示典例剖析典例5下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况：甲：4141424253132353636394549乙：812151823272532333441则甲、乙得分的中位数之和是(B)A．56分 B．57分C．58分 D．59分[错解]D因为甲的中位数是32，乙的中位数是27，所以甲、乙得分的中位数之和是59．[辨析]本题易忽视求乙得分的中位数时，没有将数据从小到大排列起来，将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误．因此理解样本的数字特征的含义较为重要．[正解]由题可知甲得分的中位数为32分，乙得分的数据从小到大排列为：8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41，故乙得分的中位数为25分，因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分．5.1.3数据的直观表示柱形图(也称为条形图)知识点作用形象地比较各种数据之间的数量关系特征(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例．(2)每一矩形都是__等宽__的折线图知识点作用形象地表示数据的变化趋势特征一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的__数据__扇形图(也称为饼图、饼形图)知识点作用形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的__比例__特征每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成__正比__茎叶图知识点作用(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的__最值__、__中位数__等数字特征(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息(3)比较两组数据的集中或分散程度特征所有的茎都竖直排列，而叶沿__水平__方向排列思考1：(1)重复的数据在茎叶图中是如何表示的？(2)茎叶图的优点是什么？提示：(1)应用茎叶图进行统计时，注意重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(2)茎叶图能保留原始数据，并方便随时添加记录数据．知识点画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差．(2)合理分组，确定区间．(3)整理数据．(4)作出有关图示.频数分布直方图纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的__高度__与频数成正比频率分布直方图纵坐标是__eq\f(频率,组距)__，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1思考2：频数分布直方图与频率分布直方图有什么不同？提示：频数分布直方图能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各小组数据在所有数据中所占的比例大小的角度来表示数据分布的规律．知识点频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的__中点__用线段连接起来，且画成与横轴相交．题型柱形图与折线图典例剖析典例12020年1月6日的《中国青年报》报道：“根据调查，有担当(76.3%)和踏实(74.5%)的年轻人最被受访者欣赏．奋进(54.7%)、坚毅(54.1%)、有梦想(50.2%)、有闯劲儿(40.1%)、沉稳(36.7%)、直率(34.6%)、幽默(33.4%)、活泼(27.2%)、庄重(20.3%)、洒脱(20%)也是受访者欣赏的品质．”为形象地表示这一调查结果．(1)作出柱形图；(2)作出折线图．[解析](1)柱形图如图①．(2)方法一：取图①中各小矩形上面的中点用线段连接起来(图略)，即得折线图．方法二：直接作出折线图如图②其中横轴上的1,2,3，…，12分别表示“有担当”，“踏实”，…，“洒脱”．规律方法：1.柱形图中，各小矩形宽相等．2．注意横、纵轴的意义．3．由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．题型扇形图典例剖析典例2某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为__50__；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为__1_015__小时．[解析]由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为eq\f(50×1020＋20×980＋30×1030,100)＝1015(小时)．规律方法：在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．题型茎叶图的画法及应用典例剖析典例3下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：(1)甲、乙两名运动员的最高得分各是多少？(2)哪名运动员的成绩好一些？[解析](1)甲、乙两名运动员的最高得分分别为51分，52分．(2)从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个52分以外，也大致对称．而甲运动员的平均得分高于乙运动员的平均得分，因此甲运动员的成绩更好．规律方法：1.利用茎叶图进行数据分析时，通常从茎叶图中各个“叶”上的数字多少来分析该组数据的分布对称性、稳定性等．2．如果茎叶图中的数据大致集中在某一行附近，那么说明这组数据比较稳定．3．茎叶图只适用于样本数据较少的情况．题型频率分布表和频率分布直方图典例剖析典例4从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)的学生占总体的百分比．[分析]计算频率、列表与绘图．[解析](1)频率分布表如下：成绩分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)100.2[70,80)150.3[80,90)120.24[90,100]80.16合计501.00(2)绘制频率分布直方图如图，由题意知组距为10，取小矩形的高为eq\f(频率,组距)，计算得到如下的数据表：成绩分组频率小矩形的高[40,50)0.040.004[50,60)0.060.006[60,70)0.20.02[70,80)0.30.03[80,90)0.240.024[90,100]0.160.016合计1.00根据表格画出如下的频率分布直方图：(3)由频率分布直方图可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03×10＝0.3＝30%．规律方法：绘制频率分布直方图的方法：(1)先制作频率分布表，然后作直角坐标系．(2)把横轴分成若干段，每一段对应一个组．(3)在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作长方形，它的高等于该组的eq\f(频率,组距).每个长方形的面积恰好是该组的频率，这些长方形构成了频率分布直方图．易错警示典例剖析典例5某中学同年级40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61605959595858575757575656565656565655555555545454545353535252525251515150504948列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．[错解](1)极差61－48＝13．(2)取组距2，分组eq\f(13,2)＝6.5分7组．(3)分点及分组如下：48～50,50～52,52～54,54～56,56～58,58～60,60～62．(4)列频率分布表：分组频数频率48～5020.0550～5250.12552～5470.17554～5680.2056～58110.27558～6050.12560～6220.05合计401.00(5)画出频率分布直方图如图所示：[辨析]据画频率分布直方图的要求，分组的分点应比实际数多一位小数，故分点及分组应为47.5开始至61.5结束．[正解](1)计算最大值与最小值的差：61－48＝13．(2)决定组距与组数，取组距为2．eq\f(最大值－最小值,组距)＝eq\f(13,2)＝6eq\f(1,2)，∴共分成7组．(3)决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下7组：47．5～49.5,49.5～51.5,51.5～53.5,53.5～55.5，55.5～57.5,57.5～59.5,59.5～61.5(4)列出频率分布表如下：分组频数频率47.5～49.520.0549.5～51.550.12551.5～53.570.17553.5～55.580.2055.5～57.5110.27557.5～59.550.12559.5～61.520.05合计401.00(5)绘出频率分布直方图．5.1.4用样本估计总体知识点用样本估计总体(1)前提样本的容量恰当，抽样方法合理．(2)必要性①在容许一定误差存在的前提下，可以用样本估计总体，这样能节省人力和物力．②有时候总体的数字特征不可能获得，只能用__样本__估计总体．(3)误差估计一般是有__误差__的．但是，大数定律可以保证，当样本的容量__越来越大__时，估计的误差很小的可能性将越来越大．思考：用样本估计总体出现误差的原因有哪些？提示：样本抽取的随机性；样本抽取的方法不合适，导致代表性差；样本容量偏少等．知识点用样本的数字特征来估计总体的数字特征(1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的__数字特征__即可．(2)样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例.条件假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，方差为t2结论如果记样本的平均值为a，样本方差为b，则eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(1,m＋n)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ms2＋nt2＋\f(mn,m＋n)\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))2))知识点用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在第一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(πi－pi)2不等于零．当样本的容量__越来越大__时，上式很小的可能性将越来越大．题型用样本的特征数估计总体的特征数角度1简单随机抽样的数字特征典例剖析典例1甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法：(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值，可用以估计总体．(2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体．角度2分层抽样的数字特征典例剖析典例2在对树人中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法，抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？[解析]把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为eq\o(x,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,x)；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为eq\o(y,\s\up6(－))，方差记为seq\o\al(2,y)，把样本的平均数记为eq\o(a,\s\up6(－))，方差记为s2．则eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,23＋27)＝165.2，s2＝eq\f(23×[s\o\al(2,x)＋\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2]＋27×[s\o\al(2,y)＋\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))2],23＋27)＝eq\f(23×[12.59＋170.6－165.22]＋27×[38.62＋160.6－165.22],50)＝51.4862，即样本的方差为51.4862．因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.4862．规律方法：1.求分层随机抽样的平均数的步骤(1)求样本中不同层的平均数；(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解．2．求分层随机抽样的方差的步骤(1)求样本中不同层的平均数；(2)求样本中不同层的方差；(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解．题型用样本的分布估计总体的分布典例剖析典例3我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．[解析](1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0.02．由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30．(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12．由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000．(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.85，而前5组的频率之和为：0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.85，所以2.5≤x＜3，由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，所以x＝2.9，所以估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．规律方法：(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据，以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值．(2)可用样本的分布估计总体的分布．易错警示典例剖析典例4在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．[错解]根据以上数据可得众数为1.75，中位数为eq\f(1.70＋1.75,2)＝1.725，平均数为1.69．[辨析]所求数据要注意单位问题，另外中位数计算错误．[正解]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75m．表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70m；这组数据的平均数是eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m)．故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m．5.3概率5.3.1样本空间与事件知识点随机现象与必然现象(1)随机现象(或偶然现象)：一定条件下，发生的结果__事先不能确定__的现象．(2)必然现象(或确定性现象)：一定条件下，发生的结果__事先能够确定__的现象．知识点样本点和样本空间(1)样本点：把随机试验中每一种__可能出现__的结果，都称为样本点．(2)样本空间：把由__所有样本点__组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示)．思考：样本点是杂乱无章出现的吗？提示：不是杂乱无章出现的，是有一定规律可循的．知识点随机事件(1)不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终__不会发生__的结果．(2)必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中__一定会发生__的结果．(3)随机事件：在__同样的__条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．思考：事件的分类是确定的吗？提示：事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．知识点随机事件的概率不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1；任意事件A的概率为：__0≤P(A)≤1__．思考：事件A的概率可能大于1吗？提示：根据随机事件的概率知道，任意事件A的概率为：0≤P(A)≤1，不可能出现概率大于1的事件．关键能力·攻重难题型探究题型事件类型的判断典例剖析典例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．(1)“抛一石块，下落”；(2)“在标准大气压下，温度低于0℃时，冰融化”；(3)“某人射击一次，中靶”；(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；(5)“掷一枚硬币，出现正面”；(6)“导体通电后，发热”；(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；(9)“没有水分，种子能发芽”；(10)“在常温下，焊锡熔化”．[分析]根据在一定条件下必然事件必然发生，不可能事件不可能发生，随机事件可能发生也可能不发生判断．[解析]事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．规律方法：事件类型的判断方法要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．故选C．题型样本点与样本空间典例剖析典例2(1)一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是(C)A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}(2)同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．①写出这个试验的样本空间；②求这个试验的样本点的总数；③“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3，且y＞1”呢？④“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？[分析]解答本题要根据日常生活的经验，有条不紊地逐个列出所要求的结果．[解析](1)两个小孩有男、女之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件．故选C．(2)①Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．②样本点的总数为16．③“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．④“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．“x＝y”包含以下4个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．规律方法：随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．题型随机事件的概率典例剖析典例3袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．(1)写出该试验的样本空间；(2)用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球；B：至少摸出1个黑球；(3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小；(4)集合表示C：一定抽到c小球，则集合C怎么表示呢，并判断P(A)和P(C)的大小？[解析](1)用树状图表示所有的结果为：所以该试验的样本空间为Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}．(2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}；B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}．(3)因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P(A)＜P(B)．(4)C＝{ac，bc，cd，ce}；因为集合A中包含6个样本点，集合C中包含4个样本点，所以从直观上看，P(A)＞P(C)．规律方法：概率意义的理解(1)概率是事件固有的基础，可以通过大量重复的试验得到其近似值．但在一次试验中事件发生与否都是有可能的．(2)概率反映了事件发生的可能性，可以看作是频率在理论上的期望值．易错警示典例剖析典例4已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在坐标轴上”包含的样本点共有(C)A．9个 B．10个C．18个 D．19个[错解]D[辨析]错误的原因是把题意理解成所有可能的坐标轴上的点，连同(0,0)计算在内，没有看清从A中选取不相同的两个数．[正解]C5.3.2事件之间的关系与运算知识点事件的包含与相等(1)包含关系一般地，如果事件A__发生__时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A)．用图形表示为：(2)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“__A与B相等__”，记作A＝B．思考：如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同．即：A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点．知识点和事件与积事件(1)事件的和(并)给定事件A，B，由__所有__A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)．事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示．(2)事件的积(交)给定事件A，B，由A与B中的__公共样本点__组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)．事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示．思考：“A∩B＝∅”的含义是什么？提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生．知识点事件的互斥与对立给定事件A，B，若事件A与B__不能同时__发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)．互斥事件的概率加法公式：若A与B互斥(即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝__P(A)＋P(B)__．若A∩B为__不可能__事件，A∪B为__必然__事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：eq\o(A,\s\up6(－))，则：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝__1__．题型事件关系的判断典例剖析典例1在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G．规律方法：事件间运算方法1．利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．2．利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．题型互斥事件与对立事件的判断典例剖析典例2从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各4张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[解析](1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．规律方法：互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，即A＝∁IB或B＝∁IA．题型互斥事件概率加法公式的应用典例剖析典例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．[解析]设运动员射击一次，射中10环、9环、8环、7环、7环以下分别记为A，B，C，D，E，则P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，P(E)＝0.1．(1)∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3，即射中10环或9环的概率为0.3．(2)记F＝A＋B＋C＋D，∵E，F对立，∴P(F)＝1－P(E)＝1－0.1＝0.9，即P(A＋B＋C＋D)＝0.9，即至少射中7环的概率为0.9．规律方法：(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式．(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．易错警示典例剖析典例4抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是eq\f(1,6)，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(A＋B)．[错解]设向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别记为事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，则它们两两是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3．P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6)．则P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)．故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1．[辨析]错解的原因在于忽视了“事件和”概率公式应用的前提条件，由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件，即出现1或3时，事件A，B同时发生，所以不能应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解．[正解]记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥．则A∪B＝A1∪A2∪A3∪A4．故P(A＋B)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)．5.3.3古典概型知识点古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是__有限的__，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件发生的__可能性大小都相等__，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称古典概型．知识点古典概型的计算公式试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含有m个样本点，则事件C发生的概率为：P(C)＝__eq\f(m,n)__思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不是，还必须满足每个基本事件出现的可能性相等．题型样本点的计数典例剖析典例1袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小相同的四个小球．(1)从中任取一球；(2)从中任取两球；(3)先后各取一球．写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数．[解析](1)这个试验的样本空间为{(红)，(白)，(黄)，(黑)}，样本点的个数是4．(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个球，则本试验的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的个数是6．(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的样本空间为{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)}，样本点的个数是12．规律方法：列样本点的三种方法及注意点(1)列举法：一一列出所有样本点的结果，一般适用于较简单的问题．(2)列表法：一般适用于较简单的试验方法．(3)树状图法：一般适用于较复杂问题中样本点的个数的探求．注意点：取两个球时，有无顺序；依次取两球时，取球是否放回．题型古典概型的判断典例剖析典例2袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？[分析]根据判断一个概率模型是否为古典概型的依据“有限性”和“等可能性”进行求解．[解析](1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为eq\f(1,11)．因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为eq\f(5,11)．同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为eq\f(3,11)．显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．规律方法：(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；①基本事件个数有限，但非等可能．②基本事件个数无限，但等可能．③基本事件个数无限，也不等可能．题型古典概型的概率典例剖析典例3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解析]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以样本点总数n＝16．(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16)．(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C．则事件B包含的样本点共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)．事件C包含的样本点共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝eq\f(5,16)，因为eq\f(3,8)＞eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．规律方法：求古典概型概率应按下面四个步骤进行：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意．(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A．(3)分别求出样本点的总数n与所求事件A中所包含的样本点个数m．(4)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率．易错警示典例剖析典例4某校从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参观甲、乙两个工厂，求学生A被选中的概率．[错解]从A、B、C、D四名同学中随机选两人所得的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，共3个，∴P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．[辨析]错解中忽视了从A、B、C、D四名学生中随机选两人分别去参观甲、乙两个工厂是有顺序的．[正解]从A、B、C、D四名同学中随机选派两人分别去参加甲、乙两个工厂所得的样本空间Ω＝{(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(C，D)，(D，C)}，共12个样本点．记“学生A被选中”为事件M，事件M包含的样本点有：(A，B)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，共6个．∴P(M)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)．5.3.4频率与概率知识点频率与概率在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．思考1：同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都一样吗？提示：概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关；同一个随机事件在相同条件下，每一次试验中发生的概率都是一样的．知识点频率和概率之间的联系在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，事件的频率是概率的一个近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．思考：怎样根据频率求事件发生的概率？提示：在实践中，在大量的重复试验后，人们经常采用频率估计概率．题型概率概念的理解典例剖析典例1下列说法正确的是(D)A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1[解析]一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．规律方法：对概率的深入理解1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．题型概率与频率的关系及求法典例剖析典例2下面是某批乒乓球质量检查结果表：抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率(1)在上表中填上优等品出现的频率；(2)估计该批乒乓球优等品的概率．[解析](1)抽取球数5010020050010002000优等品数45921944709541902优等品出现的频率0.90.920.970.940.9540.951(2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95．规律方法：频率与概率的认识1．理论依据：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率．2．计算频率：频率＝eq\f(频数,试验次数)．3．得出概率：从频率估计出概率．[母题探究1]例2中若抽取乒乓球的数量为1700只，则优等品的数量大约为多少？[解析]由优等品的概率的估计值为0.95，可知抽取1700只乒乓球时，优等品数量大约为1700×0.95＝1615．[母题探究2]例2中若检验得到优等品数量为1700只，则抽取数量大约为多少？[解析]由优等品概率的估计值为0.95，可知抽取数量大约为1700÷0.95≈1789．题型概率的应用典例剖析典例3为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2000条鱼，给每条鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500条，查看其中有记号的鱼，有40条，试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．[解析]设水库中鱼的条数是n，现在要估计n的值，假定每条鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一条鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝eq\