黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2023学年高二上学期期末考试（2卷）数学试题（解析版）

德强高中2022-2023学年度上学期期末考试高二学年数学（II卷）试题命题人：孙志业答题时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，，则（）A.3 B.4 C.5 D.12【答案】A【解析】【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质，有，即可确定答案.【详解】因为数列为等差数列，且，所以，又，所以，故选：A.2.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将求导并代入即可得出，即可得到的具体解析式，再代入即可得出答案.【详解】，，令，则，，则，故选：D3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列前项和公式求解即可.【详解】表示以为首项，为公比的前项和，所以.故选：A4.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C5.函数在上的最大值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求导得到导函数，根据函数的单调区间得到最值.【详解】，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故故选：B6.已知，分别椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，满足，线段交y轴于点Q，若，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得垂直于轴，，为的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得垂直于轴，，因为为的中点，则为的中点，可得，由可得，则，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得或(舍去)，故选：D.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）A.15 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定的信息可得数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式及通项的性质求解作答.【详解】依题意，数列为递增等差数列，且，所以.故选：D8.对于函数，，下列说法正确的是（）A.函数有唯一的极大值点 B.函数有唯一的极小值点C.函数有最大值没有最小值 D.函数有最小值没有最大值【答案】A【解析】【分析】构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，进而得到函数有唯一的极大值点【详解】，，则，，令，，则，在恒成立，则在单调递减，又，则存在唯一，使得，当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减则当时，取得极大值.则函数有唯一的极大值点，即有最大值，最小值在区间端点处取得.故选：A二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（）A.18 B.12 C.25 D.30【答案】BD【解析】【分析】由于为正整数，且越大，越大，求得无整数解，且，，，，判断选项即可.【详解】因为，所以越大，越大．当时，；当时，；当时，；当时，．故选：BD．10.下列求导运算错误的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的运算法则进行计算即可判断.【详解】对于A，，故选项A错误；对于B，，故选项B正确；对于C，，故选项C错误；对于D，，故选项D错误，所以导数运算错误的是：，故选：.11.已知数列中，，则能使的可以为（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】AD【解析】【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于的项.【详解】又是以为周期周期数列.又因为，所以，故时经检验AD都符合.故选：AD12.下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】对于A，取进行验证；对于B，令，利用导数求出的最小值即可判断；对于C，令，利用导数求出的最大值即可判断；对于D，令，利用导数得在上单调递增，又，从而得当时，，即可判断.【详解】解：对于A，当时，，此时，故错误；对于B，令，则有令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，所以，所以，故正确；对于C，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，即，故正确；对于D，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，故错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列满足，则__________．【答案】【解析】【分析】分奇偶项,分别按照等差数列前和公式求和，计算求解即可.【详解】因为,所以故答案为:14.函数有极值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求出函数导数，再利用存在变号零点求出a的范围作答.【详解】函数定义域为R，求导得：，因为函数有极值，则函数在R上存在变号零点，即有两个不等实根，即有方程有两个不等实根，于是得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：15.已知函数，若对，都有成立，则实数a的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】将变形为，令，则函数在上单调递减，即在上恒成立，转化为最值问题即可.【详解】，，由得，整理得，令，则函数在上单调递减，即在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又，，实数a的最大值为故答案为：.16.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.【答案】【解析】【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，它们的左右焦点为、，由题可知，设，，则，由①②得，，，代入③整理得，，两边同时除以得，，即，所以，解得(舍去)，或，即.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17.已知数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据求解即可；（2）由题知，进而根据裂项求和法求解即可.【小问1详解】解：当时，．当时，，所以，因为也满足，所以通项公式为．【小问2详解】解：由（1）得，所以，所以．18.已知数列是等比数列，且首项，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式计算出公比即可得答案；（2）先通过（1）求出，再利用分组求和法求数列的前项和【小问1详解】设比数列的公比为，则，解得；【小问2详解】由（1）可得，19.已知函数．（1）当时，求在上的单调区间；（2）若在内有极值，求实数的取值范围．【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）．【解析】【分析】将代入中，求导后分别令和，求出单调区间即可；对求导，根据在内有极值，可知在内存在变号零点，然后将问题转化为与x轴在内有交点，再求出的取值范围即可解决．【小问1详解】当时，，则，令，得，故在上单调递减；令，得，故在上单调递增，所以的单调增区间为，单调减区间为；【小问2详解】由，得，由在内有极值，可知在内存在变号零点，即方程在内存在解，所以函数与x轴在内有交点，，当时，，单调递增，又，则在恒成立，则与x轴在内没有交点，不符合题意；当时，若，则，单调递增，若，则，单调递减，则当时，取得最小值，当时，，则与x轴没有交点，不符合题意；当时，，则与x轴有公共点，则与x轴在内没有交点，不符合题意；当时，，，，则与x轴在内至少有一个交点，符合题意，综上，的取值范围为．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20.在数列中，.（1）证明：是等比数列；（2）若数列的前项和，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比，（2）根据的关系可求解，由（1）知，进而可得，由错位相减法即可求解.【小问1详解】证明：因为，所以，又，所以，所以.所以是首项为1，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，因为数列的前项和，所以当时，，当时，，满足上式，所以.所以.，①由①，得，②①②相减得所以.21.已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于两点，求的面积．【答案】（1）1或0（2）【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，由或即可得解；（2）由抛物线的标准方程得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理及即可得解.【小问1详解】依题意，联立，消去，得，即，①当时，显然方程只有一个解，满足条件；②当时，，解得；综上：当或时直线与抛物线只有一个交点.【小问2详解】因为抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，联立，消去得，所以，，所以，所以.22.已知函数（1）讨论函数的单调性（2）若有两个极值点，且，求b的取值范围【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（2）【解析】【分析】(1)对函数求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，求出单调