2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填涂在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．（5分）若z=1-3i，则z﹣|zA．1+3i B．-3+3i C．3．（5分）圆心为（1，﹣2），且与x轴相切的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝44．（5分）在公比为负数的等比数列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，则a3+2a4+a5＝（）A．48 B．﹣48 C．805．（5分）函数f（x）＝ex（sinx+cosx）在点（0，1）处切线方程为（）A．y＝4x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+1 D．y＝x+16．（5分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于A．x24+y2C．x24+y7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是边长为2的正三角形，E，F分别是棱PD，PC上的动点，则AE+EF+BF的最小值是（）A．2+2 B．2+3 C．7+2 D8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2个整数解，求实数k的取值范围（）A．23e3≤k＜C．23e3＜二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列选项正确的是（）A．a11＝11 B．{an}是递减数列 C．Sn取得最小值时，n＝5或6 D．S7＝﹣21（多选）10．（5分）某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），下列说法正确的是（）A．求频率分布直方图中a的值为0.006 B．估计该企业的职工对该部门评分的中位数为5357C．估计该企业的职工对该部门评分的平均值为76.5 D．从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率为1（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2的极值点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．f（x1）+f（x2）＝2 C．若f（x2）＜0，则a＞1 D．过（0，2）仅能做曲线y＝f（x）的一条切线（多选）12．（5分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则（）A．曲线C的准线方程为x＝﹣2 B．若|AF|＝4，则△AOF的面积为3 C．若OA⊥OB，则|OA|•|OB|≥32 D．若∠AFB＝60°，则|MN|≤|AB|三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知函数f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，14．（5分）函数f（x）＝cos2x+3cosx的最大值为．15．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2x+16．（5分）颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为10cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，A1，B1，C1，D1，E1，F1为圆O上的点，如图（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F1重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为cm3．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）设bn＝log2（an+1），求数列{1bnbn+1}18．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为34，乙同学答对每题的概率都为p，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为5（1）求p的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；（2）试求两人答对的题数之和为3的概率．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PAB；（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．20．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b＝2（1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A（1）求椭圆C的方程；（2）设点P为椭圆上异于A，B的点，直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作ON∥AP交椭圆于N点，试探究|AP|⋅|AQ||ON|22．（12分）已知函数f(x)=axex和函数g(x)=lnxax有相同的最大值，直线y＝m与两曲线y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为x1，x（1）求实数a的值；（2）求证：x1x3=x

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填涂在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{0，1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝{0，1}．故选：C．2．（5分）若z=1-3i，则z﹣|zA．1+3i B．-3+3i C．【解答】解：因为|z|=1所以z-故选：D．3．（5分）圆心为（1，﹣2），且与x轴相切的圆的标准方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4【解答】解：圆心为（1，﹣2），且与x轴相切的圆的半径为2，故圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，故选：B．4．（5分）在公比为负数的等比数列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，则a3+2a4+a5＝（）A．48 B．﹣48 C．80【解答】解：在公比为负数的等比数列{an}中，a1+a2＝a1（1+q）＝﹣1，因为a7＝256a3，所以q4=a7因为q＜0，所以q＝﹣4，a1=1则a3+2a4+a5＝a1（q2+2q3+q4）＝48．故选：A．5．（5分）函数f（x）＝ex（sinx+cosx）在点（0，1）处切线方程为（）A．y＝4x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+1 D．y＝x+1【解答】解：由已知f'（x）＝ex（cosx﹣sinx）+ex（sinx+cosx）＝2cosxex，∴f'（0）＝2cos0e0＝2，∴函数f（x）＝ex（sinx+cosx）在点（0，1）处切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即y＝2x+1．故选：C．6．（5分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于A．x24+y2C．x24+y【解答】解：如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以|PF2|+|F2Q|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，得a＝2．又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF2|＝m，|QF2|＝n，则S△PF2Q=12mn=1则|F1F2|=22，则c=2，b2＝a椭圆的标准方程为x2故选：A．7．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是边长为2的正三角形，E，F分别是棱PD，PC上的动点，则AE+EF+BF的最小值是（）A．2+2 B．2+3 C．7+2 D【解答】解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴AD⊥PA，同理可得BC⊥PB．由题意可知PA＝PB＝AB＝BC＝CD＝AD＝2，则PC=PD=22，∠APD＝∠BPC＝45将平面PAD，PCD，PBC展开到一个平面内如图，则AE+EF+BF的最小值即为展开图中AB的长．∵cos∠从而sin∠CPD=7在△PAB中，由余弦定理可得AB则AB=7+1，即AE+EF+BF的最小值为故选：D．8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2个整数解，求实数k的取值范围（）A．23e3≤k＜C．23e3＜【解答】解：原不等式k（x+3）ex＜x+1等价于k(x+3)设g（x）＝k（x+3），f(x)=x+1ex，所以f'(x)=当x＜0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x＝0时，f（x）取极大值．又f（﹣1）＝0，且x＞0时，f（x）＞0，因此g（x）＝k（x+3）与f(x)=x+1ex的图象如下，直线g（x）＝k（x+3）恒过点（﹣3当k≤0时，显然不满足条件；当k＞0时，只需要满足f(1)＞g(1)f(2)≤g(2)，即2故选：D．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列选项正确的是（）A．a11＝11 B．{an}是递减数列 C．Sn取得最小值时，n＝5或6 D．S7＝﹣21【解答】解：不妨设an＝a1+（n﹣1）da2+a7＝a1+d+a1+6d＝2a1+7d＝﹣4，与a5＝a1+4d＝﹣1联立，解得d＝2，a1＝﹣9，即通项an＝2n﹣11，对于选项A．a11＝2×11﹣11＝11，故A正确；对于选项B．d＞0，{an}是递增数列，故B错误；对于选项C．Sn存在最小值，且有两个最小值，即S6﹣S5＝0，即a6＝0，与an不符，故C错误；对于选项D．S7＝7a4＝7×（﹣3）＝﹣21，故正确．故选：AD．（多选）10．（5分）某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），下列说法正确的是（）A．求频率分布直方图中a的值为0.006 B．估计该企业的职工对该部门评分的中位数为5357C．估计该企业的职工对该部门评分的平均值为76.5 D．从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50）的概率为1【解答】解：选项A，由图可知，（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，所以a＝0.006，故A正确；选项B，中位数为：70+0.05-0.0320.028×10=选项C，平均值为：（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10＝76.2，故C错误；选项D，评分在[40，60）职工有（0.004+0.006）×10×50＝5人，评分在[40，50）职工有0.004×10×50＝2人，故概率为：C22C故选：ABD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2的极值点分别为x1，x2（x1＜x2），则下列选项正确的是（）A．a＞0 B．f（x1）+f（x2）＝2 C．若f（x2）＜0，则a＞1 D．过（0，2）仅能做曲线y＝f（x）的一条切线【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3ax+2，∴f'（x）＝3x2﹣3a，又函数f（x）＝x3﹣3ax+2的极值点分别为x1，x2（x1＜x2），∴3x2﹣3a＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），∴a＞0，故A正确．对选项B，∵a＞0，∴f'∴x∈(-∞，-a)，f'（xx∈(-a，a)，f'（xx∈(a，+∞)，f'（x）＞0∴x1=-a，x2=∴f(x1)+f(对选项C，∵f(x化简得aa＞1，∴a＞1对选项D，设切点为(x0，x03-3ax0+2)，又f'（x）＝3∴x03-3ax0x0=3∴过（0，2）仅能做曲线y＝f（x）的一条切线，故D正确．故选：ACD．（多选）12．（5分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则（）A．曲线C的准线方程为x＝﹣2 B．若|AF|＝4，则△AOF的面积为3 C．若OA⊥OB，则|OA|•|OB|≥32 D．若∠AFB＝60°，则|MN|≤|AB|【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝4x，∴抛物线的焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22对A选项，∵曲线C的准线方程为x＝﹣1，∴A选项错误；对B选项，∵|AF|＝x1+1＝4，∴x1＝3，∴|y∴△AOF的面积S△AOF=1对C选项，∵OA⊥OB，∴OA→⋅OB→=x1x∴y1y2＝﹣16，x1x2＝16，∴|OA|=512+64(当且仅当x1＝x2＝4时取等号，∴C选项正确；对D选项，设点M的横坐标为x0，∴x1+x2＝2x0，∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝2（x0+1）＝2|MN|，在△AFB中，∵∠AFB＝60°，∴由余弦定理得|AB|2＝|AF|2+|BF|2﹣2|AF|⋅|BF|cos∠AFB，∵|AF|⋅∴|AB|当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，∴|MN|≤|AB|，∴D选项正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知函数f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，【解答】解：当x＞1时，f（x）＝ln（x﹣1）所以f（2）＝ln（2﹣1）＝ln1＝0，故答案为：0．14．（5分）函数f（x）＝cos2x+3cosx的最大值为4．【解答】解：因为f（x）＝cos2x+3cosx＝2cos2x﹣1+3cosx＝2cos2x+3cosx﹣1=2(cos由﹣1≤cosx≤1，所以当cosx＝1时，f(x故答案为：4．15．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2x+【解答】解：不妨取双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b又圆x2+y∴圆心坐标为（1，0），半径为63由题意可得|b|a2+即b2＝2a2，即b2又a2+b2＝c2，∴双曲线的离心率为e=1+故答案为：3．16．（5分）颇受青年朋友喜欢的蛋白石六角锥灵摆吊坠如图（1）所示，现在我们通过手工制作一个六角锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为10cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，A1，B1，C1，D1，E1，F1为圆O上的点，如图（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F1重合，得到六棱锥，当底面六边形的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为64153cm【解答】解：连接OE1，交EF于点H，由题意得OE1⊥EF，设EF＝2xcm，则OH=3xcm，因为0＜2x＜∴六棱锥的高h=E∴正六边形ABCDEF的面积S=6×34则六棱锥的体积V=13Sh=令函数f(x)=100x则f'当x∈(0，433)时，f'（x）＞0，当x所以f（x）在(0，4所以Vmax=23故答案为：6415四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}是等比数列；（2）设bn＝log2（an+1），求数列{1bnbn+1}【解答】解：（1）证明：∵an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1），即an+1又a1+1＝2，故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）得数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则an+1=2⋅2∴bn＝log2（an+1）＝n，∴1b故Tn18．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为34，乙同学答对每题的概率都为p，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为5（1）求p的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；（2）试求两人答对的题数之和为3的概率．【解答】解：（1）设A＝{甲同学答对第一题}，B＝{乙同学答对第一题}，则P(A)=34，P（B）＝设D＝{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，C＝{甲、乙二人均答对第一题}，则C＝AB，D=AB由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，AB与A所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B），P(D)=P(A由题意可得34(1-p)+14p=512每题甲、乙同时答对的概率为12（2）设Ai＝{甲同学答对了i道题}，Bi＝{乙同学答对了i道题}，i＝0，1，2．由题意得，P(A1)=14×3设E＝{甲乙二人共答对3道题}，则E＝A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1相互互斥，所以P(E)=P(A所以，甲乙二人共答对3道题的概率为51219．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．（1）证明：平面PBC⊥平面PAB；（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，∵BC∥AD，∠BAD＝90°，∴AB⊥BC，∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．（2）由（1）易知AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则P（0，0，3），C（3，1，0），D（0，3，0），∴PC→设平面PCD的法向量为m→则PC→⋅m→=3x+y-3z=0PD→易知平面PAB的一个法向量为n→∴cos〈∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为32220．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sinA+3cosA＝0，a＝27，b＝2（1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【解答】解：（1）∵sinA+3cosA＝0∴tanA=-∵0＜A＜π，∴A=2π由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即28＝4+c2﹣2×2c×（-1即c2+2c﹣24＝0，解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，故c＝4．……（5分）（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcosC，∴16＝28+4﹣2×27×2×cosC∴cosC=2∴CD=AC∴CD=12∵S△ABC=12AB•AC•sin∠BAC=12×4×∴S△ABD=12S△