2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17A．53 B．103 C．56 3．（5分）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B．16 C．20 D．484．（5分）某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能．正常工作的概率均为45A．1231 B．48125 C．1625 5．（5分）设函数f（x）＝xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k＝g（t）的部分图象为（）A． B． C． D．6．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．47．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若|FP|＝4|FQ|，则|FQ|＝（）A．4 B．52 C．32或52 8．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知(ax+A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有6项（多选）10．（5分）设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（）A．q＞1 B．a8＝1 C．T10＞T6 D．T7与T8均为Tn的最大值（多选）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，若cosθ=1A．四面体ABCD外接球的表面积为16π B．点B与点D之间的距离为23 C．四面体ABCD的体积为42D．异面直线AC与BD所成的角为45°（多选）12．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为6，焦点为F1、A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为x2B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则e=3C．若椭圆C上存在点M使MF1→⋅MF2→=0D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为．14．（5分）直线y=23x与双曲线x2a2-y28=1(a＞0)相交于A，B15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，则实数m的取值范围是．16．（5分）设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，则这样的数列{an}的个数为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝﹣3，求函数f（x）的极值．18．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元．设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望．19．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，对任意的n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn=16an2+12an（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（﹣1）n+1an•an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成的夹角为θ，求cosθ的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x22+（1）函数f（x）＝g（x）﹣mx，若f（x）存在单调递减区间，求实数m的取值范围；（2）设x1，x2（x1＜x2）是（1）中函数f（x）的两个极值点，若m≥72，求f（x1）﹣f（x22．（12分）已知椭圆C：x24+y23=1，A1，A2为椭圆C的左、右顶点，F1，（1）求直线QA1和QA2的斜率之积；（2）直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点A2），直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1，k2且k1k2=-94，直线A1M和直线A2N交于点P（x0，①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；②证明：x0为定值，并求出该定值．

2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若l1∥l2，则m×[﹣（m﹣1）]＝﹣2×1，∴m＝2或m＝﹣1，当m＝﹣1时，直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：x+2y﹣1＝0重合，∴m＝2，故m＝2是l1∥l2的充要条件．故选：C．2．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17A．53 B．103 C．56 【解答】解：设5人分到的面包从小到大记下为{an}，则S5=5(a1+所以a3＝20，因为a3+a4+a5＝7（a1+a2），所以60+3d＝7（40﹣3d），解得d=55所以a1＝a3﹣2d＝20-55故选：A．3．（5分）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B．16 C．20 D．48【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：①含有甲的选法有C21C42种，②不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43＝16（种），故选：B．4．（5分）某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能．正常工作的概率均为45A．1231 B．48125 C．1625 【解答】解：记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为仅有一个元件出现故障，则A为该集成块不能正常工作，所以P（A）＝1﹣P（A）＝1-(15)3=124所以P（B|A）=P(AB)故选：A．5．（5分）设函数f（x）＝xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k＝g（t）的部分图象为（）A． B． C． D．【解答】解：∵f（x）＝xsinx+cosx∴f′（x）＝（xsinx）′+（cosx）′＝x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′＝xcosx+sinx﹣sinx＝xcosx∴k＝g（t）＝tcost根据y＝cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0故选：B．6．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，故点P是圆O与圆C的交点，因此两圆相切或相交，即|m﹣1|≤32+解得4≤m≤6．∴m的最小值为4．故选：D．7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若|FP|＝4|FQ|，则|FQ|＝（）A．4 B．52 C．32或52 【解答】解：由已知抛物线方程可得F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，如图所示：当Q在线段PF上时，过Q作QM⊥l，设直线l与x轴交于点S，由抛物线的定义可得|FQ|＝|MQ|，在三角形PSF中，MQ∥SF，所以|MQ||SF|=|PQ||PF|，而|FP|＝4|FQ|，|SF所以|MQ|2所以|MQ|=32，即|FQ|当Q在PF的延长线上，过Q作QN⊥l，所以在三角形PNQ中，|NQ|＝|FQ|，且|SF||NQ|所以|NQ|=5综上，|FQ|=3故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣1，0] D．[0，+∞）【解答】解：函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞），f（1）＝1．f′（x）＝ex﹣1-1x-a＝g（x），x∈[1，+∞），可得函数g（x）在x∈[1f′（1）＝﹣a，令f′（1）＝﹣a≥0，解得a≤0．∴函数f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝1，满足题意．令f′（1）＝﹣a＜0，解得a＞0．存在x0＞1，使得f′（x0）＝0，∴函数f（x）在x∈[1，x0）上单调递减，∴f（x0）＜f（1）＝1，不满足题意，舍去．综上可得函数f（x）的取值范围为（﹣∞，0]．故选：A．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知(ax+A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有6项【解答】解：对于二项式(ax+1x2)10(a＞0)，令故有a＝1或a＝﹣3（舍去），所以该二项式为(x+1x2)10，故它的奇数项的二项式系数和为则展开的通项公式为Tr+1=C10r故当r＝5时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确；令10-5r2=0，求得r＝2，可得该二项式存在常数项，故令10-5r2为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，故该二项式存在6个有理项，故D故选：BCD．（多选）10．（5分）设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（）A．q＞1 B．a8＝1 C．T10＞T6 D．T7与T8均为Tn的最大值【解答】解：根据题意，{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，由T7＝T8可得a8=T8T7由T6＜T7可得a7＞1，则q=a8a7∈（0，{an}是各项为正数的等比数列，q∈（0，1），则有a1＞a2＞……＞a7＞a8＝1＞a9＞a10＞……，对于C，T10T6=a7a8a9a10＝（a8a9）2＝a92＜1，则有T10＜T对于D，T1＜T2……＜T7＝T8＞T9＞T10……，则T7与T8均为Tn的最大值，D正确，故选：BD．（多选）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝23，沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，若cosθ=1A．四面体ABCD外接球的表面积为16π B．点B与点D之间的距离为23 C．四面体ABCD的体积为42D．异面直线AC与BD所成的角为45°【解答】解：如图，因为△ABC和△ADC都是以AC为斜边的直角三角形，则AC为四面体ABCD外接球的直径．因为AB=2，BC=23，则2R＝AC所以四面体ABCD外接球的表面积为S＝4πR2＝16π，故A正确；分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E，F，则θ=〈由已知可得，EB=FD=3，AE=CF=1|BD=3+4+3+23⋅3cos(π-θ)=8，所以因为CD2+BD2＝12＝BC2，则CD⊥BD．同理AB⊥BD．又CD⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，则CD⊥平面ABD，所以V=13S△ABD×CD=13×12×2×2则AC→⋅BD→=所以异面直线AC与BD所成的角为45°，故D正确，故选：ACD．（多选）12．（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距为6，焦点为F1、A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为x2B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则e=3C．若椭圆C上存在点M使MF1→⋅MF2→=0D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切【解答】解：由椭圆C：x2则2c＝6，即c＝3，对于选项A，因为△MF1F2的周长为16，则2a+2c＝16，即a＝5，则b＝4，即椭圆的方程为x2即选项A正确；对于选项B，当△MF1F2的面积最大时，点M在短轴顶点处，又∠F1MF2＝120°，则ca即e=3即选项B正确；对于选项C，椭圆C上存在点M使MF设N为短轴顶点，则∠F1NF2≥90°，即∠ONF2≥45°，则ca即e∈即选项C错误；对于选项D，设以MF1为直径的圆的圆心为O1，则|OO即以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切，即选项D正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为56165【解答】解：设甲班恰有2名同学被选到为事件A，基本事件总数为C124=99事件A包含的基本事件数为C42•C∴P（A）=168故答案为：5616514．（5分）直线y=23x与双曲线x2a2-y28=1(a＞0)相交于A，B【解答】解：∵直线y=23x与双曲线∴两交点A，B也关于原点对称，又两交点A，B的横坐标之积为﹣9，∴两交点的横坐标为±3，又交点在直线y=2∴其中一个交点坐标为（3，2），将其代入双曲线方程：x2可得9a2-48∴解得a=6，又b2＝8，∴c=∴该双曲线的离心率为ca故答案为：21315．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，则实数m的取值范围是（-1e，0【解答】解：因为f（x）＝xlnx+mex，所以f'（x）＝1+lnx+mex，令f'（x）＝0，得-m=要使函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，只需-m=1+lnxe从而函数g(x)=1+lnxex与y＝﹣mg'(x)=1则h（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，h（x）≥0，即g'（x）≥0，g（x）在（0，1]上单调递增；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g(x令g(x)=1+lnxex当0＜x＜1e时，1+lnx＜0，g（x）＜0，当x＞1e时，1+lnx＞若f（x）有两极值点，只要y＝﹣m和g（x）的图象在（0，+∞）上有两个交点，所以0＜-故实数m的取值范围是-1故答案为：(-16．（5分）设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，则这样的数列{an}的个数为3．【解答】解：∵等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，即对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，∴3n+n(n-1)d2=3+（m﹣1）d，不妨令n＝2，可得3＝（m﹣2即（m﹣2）d＝1×3＝3×1＝（﹣1）×（﹣3），由于m﹣2不会是﹣3，∴d＝3，1，﹣3，则这样的数列{an}的个数为3，故答案为：3．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝﹣3，求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+6lnx，a∈R，x∈（0，+∞），f'当a≥0时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，取f'(x)=2a当0＜x＜-3a时，f当x＞-3a时，f'（综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在(0，-（2）当a＝﹣3时，f'(x)=-6x+6x=-6(x2-1)x当0＜x＜1时，f'（x）＞0，函数单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，函数单调递减，所以f（x）有极大值为f（1）＝﹣3，无极小值．18．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；（2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元．设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车机床加工”，i＝1，2，3，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意得P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525；（2）由题意得x的可能取值为1，2，3，则P(X=1)=0.25×0.06所以随机变量X的分布列为：X123P223所以数学期望E(X)=1×19．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，对任意的n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn=16an2+12an（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（﹣1）n+1an•an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．【解答】解（1）∵对任意n∈N*，有Sn∴当n＝1时，有S1=a1=16a当n≥2时，有Sn-1①﹣②并整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，而数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1＝3，当a1＝1时，an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，此时a4当a1＝2时，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，此时a4∴an（2）由（1）可知，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，且an＝3n﹣2，∴T2n＝b1+b2+…+b2n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）＝﹣6a2﹣6a4﹣…﹣6a2n＝﹣6（a2+a4+…+a2n）=-＝﹣18n2﹣6n．20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成的夹角为θ，求cosθ的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵平面ADPQ⊥平面ABCD，又平面ADPQ∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面ADPQ，PD⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，根据题意，分别以DA→，DC→，DP→的方向为x轴，y则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），Q（2，0，1），P（0，0，2），∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，又PD⊥AD，PD∩CD＝D，PD⊂面PDC，CD⊂面PDC，∴AD⊥面PDC．∴AD→=(-2，又QB→=(0，又直线QB⊄平面PDC，∴QB∥平面PDC；（2）∵PB→设n1→=(则n1→⋅PB→设n2→=(x则n2→⋅PB→∴cos〈∴二面角C﹣PB﹣Q的正弦值为1-（3）设H（0，0，h）（0≤h＜2），则AH→又PB→=(2，∴cosθ=|-4-2设f(x)=2+x34+x2，x则f'(x)=∴f（x）在区间[0，2）上单调递增，又f（0）=33，f（2）∴33∴cosθ的取值范围为[33，621．（12分）已知函数g（x）=x22+（1）函数f（x）＝g（x）﹣mx，