2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义a→⊗b→=|a→A．[0，6] B．[6，12] C．[0，6） D．（﹣1，5）2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（AA1→+AD→+AB→）2＝3AB→2；②A1CA．0 B．1 C．2 D．33．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y﹣1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x﹣y+1＝04．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠FA．12 B．32 C．23 5．（5分）已知F1，F2是椭圆x225+y216=1的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A．0＜q＜1 B．a6＞1 C．T12＞1 D．T13＞17．（5分）若数列{an}满足a1=12，an+1=12A．12 B．1 C．2 D．8．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有AB→B．|a→|-|b→|=|C．若AB→，CD→共线，则AB//D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）A．OA→⋅OB→=0 B．∠A1FBC．直线MB∥x轴 D．|AF|•|BF|的最小值是9（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（）A．数列{an}的前n项和为Sn=1B．数列{1Sn}C．数列{an}的通项公式为an=-D．数列{an}的最大项为a1（多选）12．（5分）若直线y=12x+b是函数f（x）图象的一条切线，则函数fA．f(x)=1x B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→⋅AE→+AC→⋅AF→14．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点．15．（5分）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F216．（5分）若函数f（x）=alnx-x2-2(x＞0)x+1x+a(x＜0)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且AE=6（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．18．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn（1）记bn=an-13n-1，证明：{bn（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的右顶点，|AF2|=2-3，（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且AD→⋅AE22．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，f（x）≥cosx+1恒成立，求a的取值范围．

2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义a→⊗b→=|a→A．[0，6] B．[6，12] C．[0，6） D．（﹣1，5）【解答】解：由题意知|a设a→与b→的夹角为则a→又θ∈[0，π]，∴cosθ∈[﹣1，1]．∴a→故选：B．2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（AA1→+AD→+AB→）2＝3AB→2；②A1CA．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①（AA1→+AD→+AB→）2＝（AA1→）2+（AD→）2+（AB→）2+2A对于②A1C→•（A1B1→-对于③∵A1B∥D1C→，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C＝60°，∴A故选：C．3．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y﹣1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x﹣y+1＝0【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：y-0x-1即：x+y﹣1＝0，与公共弦垂直且平分．故选：A．4．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠FA．12 B．32 C．23 【解答】解：根据勾股定理得到：PF12△PF1F2的内切圆面积为πr2=根据等面积法得到：12故PF1⋅PF2=ac+c2，4a2﹣2ac﹣2c2＝4c2，即3e2+e﹣2＝故选：C．5．（5分）已知F1，F2是椭圆x225+y216=1的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵P是焦点为F1、F2的椭圆x225+y216=1上一点，PQ∠F1PF设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，∴|PM|＝|PF1|，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝10，由题意知OQ是△F1F2M的中位线，∴|OQ|＝a＝5，∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝5﹣4＝1．故选：D．6．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（）A．0＜q＜1 B．a6＞1 C．T12＞1 D．T13＞1【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，∴（a6﹣1）（a7﹣1）＜0，∵a1＞1，若a6＜1，则一定有a7＜1，不符合，由题意得a6＞1，a7＜1，∴0＜q＜1．∵a6a7+1＞2，∴a6a7＞1，T12＝a1a2a3…a12＝（a6a7）6＞1，T13＝a713＜1，∴满足Tn＞1的最大正整数n的值为12．故选：D．7．（5分）若数列{an}满足a1=12，an+1=12A．12 B．1 C．2 D．【解答】解：∵an+1=1若m＞2，则an+1-an=12(an-2)则an＞a1+（n﹣1）（m﹣2），那么an可以无限的大下去，不符合题意；若m＝2，则an+1﹣an＞0，则an+1＞an，数列{an}是递增数列，又a1=12，故a又an+1-2=12an(an-2)，故an+1﹣2与故选：C．8．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：∵f'（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex，函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，f′（1）＝0，∴a+2＝0，∴a＝﹣2，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有AB→B．|a→|-|b→|=|C．若AB→，CD→共线，则AB//D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC【解答】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；若a→，b→共线，则|a→|+|只有当x+y+z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题，若AB→，CD→共线，则直线AB，CD平行或重合，故故选：BCD．（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（）A．OA→⋅OB→=0 B．∠A1FBC．直线MB∥x轴 D．|AF|•|BF|的最小值是9【解答】解：由题意可知，抛物线y2＝3x的焦点F的坐标为(3准线方程为x=-34，易知直线AB设直线AB的方程为x=my+3代入y2＝3x，得y2所以y1则x1所以OA→⋅OB因为A(y所以y1-0y又y1y2=-94，所以所以直线MB∥x轴，所以C正确，由题意可得A1，B1的坐标分别为(-所以FA所以∠A1FB1＝90°，所以B正确，设直线AB的倾斜角为θ（θ≠0），则|AF|=所以|AF|⋅|BF|=当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（）A．数列{an}的前n项和为Sn=1B．数列{1Sn}C．数列{an}的通项公式为an=-D．数列{an}的最大项为a1【解答】解：由an+1+SnSn+1＝0，得Sn+1﹣Sn＝﹣SnSn+1，∴1Sn-又1S1=1a1=1，∴数列{则1Sn=1+(n-1)×1=n，可得S当n≥2时，an∴an=1，n=1-1n(n-1)，n≥2，∴数列{a故选：ABD．（多选）12．（5分）若直线y=12x+b是函数f（x）图象的一条切线，则函数fA．f(x)=1x B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝【解答】解：直线y=12x+b的斜率为由f（x）=1x的导数为f′（x）=-1x由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3=12，解得x=1由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx=12有解，故由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex=12，解得x＝﹣ln2，故故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→⋅AE→+AC→⋅AF→【解答】解：由题意得：BC→2=9＝（AC→-AB→）2=∴AC→⋅∵AB→⋅∴AB→⋅(AB=AB＝6+＝6+1∴EF→⋅BC→=∴EF→与BC→的夹角的余弦值为cos故答案为：1614．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点（﹣2，3）．【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，即a（x+2）+（﹣x﹣y+1）＝0，令x+2＝0，求得y＝3，可得此直线经过定点（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15．（5分）设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：x236+y220=1的a＝6，b＝e=c由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+23m＝8，即m＝3，n6-23m＝8，即m＝﹣3＜可得M（3，15）．故答案为：（3，15）．16．（5分）若函数f（x）=alnx-x2-2(x＞0)x+1x+a(x＜0)的最大值为f（﹣1），则实数【解答】解：x＜0时，f（x）≤f（﹣1）＝a﹣2，x＞0时，alnx﹣x2﹣2≤a﹣2，即a（lnx﹣1）≤x2，x＝e时，a（lnx﹣1）≤x2恒成立，此时a∈R，0＜x＜e时，a≥令g（x）=x2lnx-1且x→0时，g（x）→0，所以a≥0，x＞e时，a≤x2lnx-1恒成立，令h（x）=x2lnx-1当e＜x＜e32时，h′（x）＜0，x＞所以h(x)min=h(e32综上，a∈[0，2e3]，故答案为：[0，2e3]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且AE=6（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，∵△ABC是正三角形，∴OA⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，OA⊂平面ABC，∴OA⊥平面BCD．∵OD⊂平面BCD，∴OA⊥OD．在Rt△AOD中，OA=OD=2sin60°=∴AD=3+3又AE=6∴△ADE为等腰三角形．∵P是DE的中点，∴AP⊥DE．∵DE⊥平面BCD，∴OA∥DE，∴AP⊥OA，∴AP∥OD．∵OD⊂平面BCD，AP⊄平面BCD，∴AP∥平面BCD．（2）由（1）知，OA∥DP，AP∥OD，∴四边形APDO为平行四边形，∴PD=OA=3∴DE=23以点O为坐标原点，以OD→，OC→，OA→的方向分别为x轴、y则A(0，0，∴BA→设平面ABE的法向量为m→则m→⋅BA设平面ACE的法向量为n→则n→⋅AE∴cos＜设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则sinθ=1-∴二面角B﹣AE﹣C的正弦值为2618．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．【解答】解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知，|AB|=∵S△ABC=12|AB|⋅d=直线AB的方程为y-25-2即3x+4y﹣17＝0，∵C在点直线3x﹣y+3＝0上，设C（x0，3x0+3），∴d=|3∴3x0﹣1＝±4，∴x0＝﹣1或53∴C点的坐标为（﹣1，0）或(519．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵Sn＝2﹣an，∴Sn﹣1＝2﹣an﹣1（n≥2），两式相减得：an＝an﹣1﹣an，即an=12an﹣1，n≥又当n＝1时，有S1＝2﹣a1，解得：a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为12故an＝（12）n﹣1（2）由（1）知：cn＝4an+1＝（12）n﹣3+1∴Tn＝[（12）﹣2+（12）﹣1+…+（12）n﹣3]+n=4[1-(12)n]1-20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn（1）记bn=an-13n-1，证明：{bn（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．【解答】解：（1）∵Sn+1-3a∴an+1∴an+1∴an+1又bn=an-13n-1，则bn又∵b1=a1-130=1，∴数列{∴bn＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（2）由（1）得bn＝2n﹣1，则an∴Tn=1×30+3×由①﹣②得-2Tn=1+2×31+2×32+⋯+2×3n-1-(2n-1)×3∴Tn又Tn+1∵n∈N*，∴Tn+1∴Tn=n+1+(n-1)×3∴使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n为5．21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的右顶点，|AF2|=2-3，（1）求椭圆C的标准方程（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且AD→⋅AE【解答】解：（1）∵M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，∴|OM|=|PN|=1∴四边形OMPN的周长为|PM|+|OM|+|PN|+|ON|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，∴a＝2，∴|A∴c=3∴b=a∴椭圆C的标准方程为x2（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，代入x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m则Δ＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，x1易知A（2，0），∴AD→化简得12k2+16km+5m2＝0，∴m=-65k或m＝﹣2k（舍去），∴直线l的方程为y=kx-65当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t（﹣2＜t＜2），代入x24+由AD→⋅AE→=0得AD⊥AE，∴|2-t|=此时直线l过点(6综上，直线l过定点(622．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，f（x）≥cosx+1恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2ex﹣2（x+1）⋅ln（x+1）（x＞﹣1），则f′（x）＝2ex﹣2ln（x+1）﹣2，令g（x）＝2ex﹣2ln（x+1）﹣2，则g'因为g'(x)=2ex-2x+1