必修四241平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义数乘定义：

一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0复习运算律：

设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb复习向量的夹角OABOABOAB已知两个非零向量

和，作，，则

叫做向量和的夹角．OAB复习问题θsF

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量“数量积”的概念。

功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？其中θ是F

与s

的夹角.W=|F||s|cosθ问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；一、平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量.（3）

在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．说明：

已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b

，a×b

表示向量的另一种运算（外积）．思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ＜

90°时为正；当90°＜θ≤180°时为负。当θ=90°时为零。数量积符号由cos

的符号所决定思考P104探究1a⊥ba·b＝0（1）当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.（2）︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

（3）问题：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？二、向量数量积的性质P108.A.2.在△ABC中，求练习:P106.2例、已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a与b的夹角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂP104例1钝角或直角三角形钝角三角形三、平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．OABab，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθ︱a︱cosθ说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当

=0

时投影为|b|当

=180

时投影为-|b|.问题：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.练一练：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：四、数量积的运算律下面我们证明运算律（3）：思考P104探究1⑶分配律：.OCAA1BB1想一想：∴

向量数量积不满足结合律

.向量的数量积满足结合律吗？说明：即：成立吗？应用举例××××××√√常用公式P105.例2练习、P105例4P105例3五、利用平面向量数量积求解模的问题求向量的模可以先求模的平方(转化为向量的平方)P108.A.3六、利用平面向量数量积求解夹角问题

练习1:已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a

5b垂直，a

4b与7a

2b垂直，求a与b的夹角P108.A.6课堂小结：1、向量的数量积的定义已知两个非零向量

与，它们的夹角为θ，我们把数量叫做与的数量（或内积,点乘），即规定：零向量与任意向量的数量积为0