新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点5三角函数与解三角形的实际问题教师用书

核心考点5三角函数与解三角形的实际问题典例研析·悟方法典例5(2023·沈河区校级模拟)一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，AC＝(12－4eq\r(3))米，如图所示：(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(2)若2号机器人发现足球在点D处向点A做匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半做匀速直线运动去拦截足球．已知AD＝17米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，求此时线段AE的长．【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，即eq\f(12－4\r(3),sin180°－45°－75°)＝eq\f(AB,sin75°)，AB＝eq\f(12－4\r(3)·\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝4eq\r(2)，故1号机器人和2号机器人之间的距离为4eq\r(2)米．(2)如图，设BE＝x米．由题意，ED＝2x米．AE＝AD－ED＝(17－2x)米，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcosA，x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－2×4eq\r(2)(17－2x)cos45°，整理得3x2－52x＋185＝0.解得x＝5或eq\f(37,3)，所以AE＝17－2x＝7，或AE＝－eq\f(23,3)(不合题意，舍去)，故若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，此时线段AE的长为7米．方法技巧·精提炼三角函数背景下的数学建模问题，常以实际生活中的测量问题、航海问题、规划线路问题等为背景，考查利用数学模型解决实际问题的能力．求解实际问题中的解三角形问题，关键是对数据的采集与利用，将数据标注在相应平面图形中是准确将问题归类，建立解决问题的数学模型的有效措施．加固训练·促提高(2023·邵阳二模)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100eq\r(3)m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．【解析】(1)由题意作图如下：则∠APC＝45°，∠CBP＝60°，∠BAC＝45°－15°＝30°，AC＝eq\f(PC,tan∠APC)＝100eq\r(3)m，BC＝eq\f(PC,tan∠CBP)＝100m，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，可得sin∠ABC＝eq\f(\r(3),2)，因此∠ABC＝60°或120°，当∠ABC＝60°时，∠ACB＝90°，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝200m，当∠ABC＝120°，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝BC＝100m.(2)由题意作图如下：设捕猎成功所需的最短时间为t，在△ABQ中，BQ＝20t，AQ＝25t，AB＝200，∠ABQ＝120°，由余弦定理得：625t2＝400t2＋2002－2×20t×200×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得：9t2－160t－1600＝0，设f(t)＝9t2－160t－1600，显然f(0)<0