新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题5解析几何第1讲直线与圆核心考点2圆的方程及应用教师用书

核心考点2圆的方程及应用核心知识·精归纳1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：_(a，b)__，半径：r.2.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)多维题组·明技法角度1：直接求圆的方程1.(2023·广西模拟)已知圆C的圆心为(1,0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程是(A)A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2【解析】因为圆心(1,0)到直线y＝2的距离d＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.故选A.2.(2023·连云港模拟)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的一般方程为_x2＋y2－8x－2y－9＝0__.【解析】∵圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，∴圆心M为该对角线的中点，坐标为(4,1)，半径为对角线的一半，即r＝eq\f(\r(5－32＋6＋42),2)＝eq\r(26)，故圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，故圆的一般方程x2＋y2－8x－2y－9＝0，角度2：利用圆的几何性质求圆的方程3.(2023·江西模拟)若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋(y＋a)2＝1的一条对称轴，则a＝(A)A．－1 B．1C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】圆x2＋(y＋a)2＝1的圆心坐标为(0，－a)，∵直线2x＋y－1＝0是圆x2＋(y＋a)2＝1的一条对称轴，∴圆心在直线2x＋y－1＝0上，可得0－a－1＝0，即a＝－1.故选A.4.(2023·抚州模拟)经过点A(－1,0)，B(1,2)，且面积最小的圆的标准方程为_x2＋(y－1)2＝2__.【解析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为AB时最小，此时圆心为(0,1)，半径为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.方法技巧·精提炼求圆的方程的方法1．待定系数法：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．几何法：在求圆的方程的过程中，常利用圆的一些性质或定理直接求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程，常用的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心在一条直线上．加固训练·促提高1.过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是(C)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二：设点C为圆心．∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(a－12＋2－a＋12)＝eq\r(a＋12＋2－a－12)，解得a＝1.∴圆心为C(1,1)，半径r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率k＝1，故弦AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))即圆心坐标为(1,1)，圆的半径为eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法四：采用排除法．根据圆心在直线x＋y－2＝0上，排除B，D；根据点B(－1,1)在圆上，排除A.故选C.2.圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为_(x＋1)2＋(y＋2)2＝10__.【解析】设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|C