2024届河南省九校高三年级第一次质量检测试题数学试题

2024届河南省九校高三年级第一次质量检测试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．向量，，且，则（）A． B． C． D．2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．3．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③4．如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．5．函数的部分图象如图所示，则（）A．6 B．5 C．4 D．36．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位8．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．9．已知命题：，，则为()A．， B．，C．， D．，10．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知复数，，则（）A． B． C． D．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．4C． D．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.14．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.15．成都市某次高三统考，成绩X经统计分析，近似服从正态分布，且，若该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____．16．已知是等比数列,若，,且∥,则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.18．（12分）在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．（12分）已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）已知点，直线与曲线交于、两点，求.20．（12分）设的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）当时.①求函数在处的切线方程；②定义其中，求；（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.22．（10分）已知函数f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【题目详解】故选：D【题目点拨】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.2、A【解题分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【题目详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【题目点拨】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.3、A【解题分析】逐一考查所给的函数：，该函数为偶函数，周期；将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象，该函数的周期为；函数的最小正周期为；函数的最小正周期为；综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．4、B【解题分析】

根据二次函数图象的对称轴得出范围，轴截距，求出的范围，判断在区间端点函数值正负，即可求出结论.【题目详解】∵，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为，，，∵，所以在上单调递增.又因为，所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【题目点拨】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.5、A【解题分析】

根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【题目详解】由图象得,令=0,即=kπ，k=0时解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故选：A.【题目点拨】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.6、B【解题分析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【题目详解】因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7、A【解题分析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.【题目详解】解：.对于A：可得.故选:A.【题目点拨】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8、A【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【题目详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．9、C【解题分析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【题目详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，.故选：.【题目点拨】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10、C【解题分析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【题目详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点．记，则过原点作的切线，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，即，将，代入解得．所以切线斜率为，所以或．故选：C【题目点拨】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11、B【解题分析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以，化简整理得详解：，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.12、B【解题分析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【题目详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【题目点拨】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【题目详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【题目点拨】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.14、②③【解题分析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【题目详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【题目点拨】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.15、.【解题分析】

根据正态分布密度曲线性质，结合求得，即可得解.【题目详解】根据正态分布，且，所以故该市有人参考，则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为．故答案为：．【题目点拨】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析，根据曲线的对称性求解概率，根据总人数求解成绩大于114的人数.16、【解题分析】若，,且∥,则，由是等比数列,可知公比为..故答案为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.【题目详解】（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，又，得，所以，即椭圆方程为.（Ⅱ）证明：由，得，由，得，由韦达定理可得，，设的中点为，得，即，，的中垂线方程为，即，故得中垂线恒过点.【题目点拨】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）证明，得到平面，得到证明.（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【题目详解】（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，又因为是的中点，所以，又因为，，所以，又，，，所以，又，，所以平面，所以，又因为是菱形，，所以，又，所以平面，所以.（2）由题意结合菱形的性质易知，，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，，平面与平面所成锐二面角的余弦值.【题目点拨】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19、(1).(2)【解题分析】

（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.【题目详解】（1）对于曲线的极坐标方程为，可得，又由，可得，即，所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为（为参数），消去参数可得，即直线的方程为，即.（2）设两点对应的参数分别为，，将直线的参数方程（为参数）代入曲线中，可得.化简得：，则.所以.【题目点拨】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.【题目详解】（1）由题设知，，即，所以，即，又所以.（2）由题设知，，即，又为锐角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范围是.【题目点拨】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题.21、（1）①；②8079；（2）.【解题分析】

（1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程．②由，得，由此能求出的值．（2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围．【题目详解】（1）①∵，∴∴，∴，∵，所以切线方程为.②，.令，则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.（2），当时，函数单调递增；当时，，函数单调递减∵，，所以，函数在上的值域为.因为，，故，，①此时，当变化时、的变化情况如下：—0+单调减最小值单调增∵，，∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，使得成立，当且仅当满足下列条件，即令，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减所以，对任意，有，即②对任意恒成立.由③式解得：④综合①④可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的，使成立.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件