人教B版（新）必修三 三角函数 任意角的概念与弧度制 弧度制及其与角度制的换算

《弧度制及其与角度制的换算》课件课题弧度制产品介绍Productintroduction添加标题引入对飞行高度的描述中国：一般的民航飞机的飞行高度为8000～10000米。1、弧度制国际：飞机正常飞行高度在26000英尺至33000英尺之间。产品介绍Productintroduction引入对面积的描述天安门广场是世界上最大的广场，面积约44万平方米，合660亩．1、弧度制引入关于度量的描述1、弧度制量单位长度千米、米、分米、厘米、毫米、尺、寸、公里、里……面积平方千米、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米、公顷、亩……体积立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米、升、毫升……重量吨、千克、克、公斤、斤……角度角度制（度、分、秒）同一个量可以有不同度量方式这些方式均先规定1个基本单位不同度量方式可能有不同进制（国际单位以十为进制），不同方式之间可以相互转化回顾角度制1、弧度制将圆周平均分成360份，其中每1份所对的圆心角为1度，记作：1°1°进制：1°=60’，1’=60″这种用度作单位来度量角的制度称作：“角度制”。产品介绍Productintroduction新课1、弧度制阅读书P8产品介绍Productintroduction回顾角度制1、弧度制将圆周平均分成360份，其中1份所对的圆心角为1°能否用“测量长度”来代替“等分”？O1°1°的大小与圆的半径大小无关。新课1、弧度制OAA1A2BB1B2ll1l2α几何画板演示新课1、弧度制可以发现：同心圆中，半径不同，同一个圆心角所对的弧长不等，但弧长与半径的比值不变。OAA1A2BB1B2ll1l2α新课1、弧度制OAA1A2BB1B2ll1l2α事实上，根据弧长公式：

有:当圆心角度数(n)为定值时，比值为常值。定义1、弧度制我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的“弧度数”。这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”。当弧长与半径相等时比值为1，此时的圆心角叫做“1弧度的角”，记作:“1rad”rα=1rABO定义的注释1、弧度制O1°OAA1A2BB1B2ll1l21rad用弧度制定义的角的大小与半径的大小无关。1、弧度制OABlαrOlβrOl=r

时，l=2r

时，α=1radβ=2radlθrOl=πr

时，θ=πrad01请用弧度制表示下列图中的角度例题01请用弧度制表示下列图中的角度lβrOlαrO1、弧度制例题α=

rad

π2α=

rad

l

rlαrO1、弧度制定义弧长公式l=

α·r“弧度”或“rad“可省略不写α=

rad

l

r思考1、弧度制如何区分上面的两个角？lOrαlOrβα=2l=2rβ=-2定义的注释1、弧度制lαrABO我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的“弧度数”。当我们强调角的旋转方向时，上面的“弧度数”相当于“弧度的绝对值”。

α=

l

r

∣α

∣=

l

r定义的注释1、弧度制lαrABO当我们强调角的旋转方向时，上面的“弧度数”相当于“弧度的绝对值”。

∣α

∣=

l

r用弧度制表示的角是一个实数（比值），按旋转的方向分为正、负、零，即：正角是一个正数、负角是一个负数、零角是零。定义的注释1、弧度制用弧度制定义的角的大小与半径的大小无关。角的集合与实数集之间是一一对应的关系。用弧度制表示的角是一个实数（比值），按旋转的方向分为正、负、零，即：正角是一个正数、负角是一个负数、零角是零。例题lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π请分别用“角度制”和“弧度制”表示下列图中的角度90°=

π21、弧度制02lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π90°=

π21、弧度制“弧度制”与“角度制”之间如何进行换算呢？思考弧度制与角度制的换算lαrOlθrOlβrO180°=

π360°=

2π90°=

π2新课2、弧度制与角度制的换算lαrOn°=

？radlαrO180°=

πn°αrad180°πradα=

？°例题2、弧度制与角度制的换算03把30°，45°，60°化成弧度（用π

表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。解：∵180°=π

∴

∴α=30°=rad

30°αrad180°πrad

π

603

π

4

π

3同理：60°=45°=n°αrad180°πrad0

π

2

π

20<<<<

π

4

π

3

π

6例题2、弧度制与角度制的换算03把30°，45°，60°化成弧度（用π

表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边。思考：1rad角的终边位置？

根据可知：45°<1rad<60°

π

360°=≈1.05>1

π

445°=≈0.79<11rad03例题2、弧度制与角度制的换算03延申思考思考：1rad大约为多少度？

1rad设1rad=n°则有所以：1=()°≈57.3°=1

πn°180°180

π03例题2、弧度制与角度制的换算请把化成角度数。8π

5解：设

=n°

∴

∴n=180×=288

即：=288°n°180°π8π

58π

5858π

504n°αrad180°πrad公式2、弧度制与角度制的换算弧度制与角度制之间的换算依据n°αrad180°πrad练习01填表（弧度数用含π

的代数式表示）2、弧度制与角度制的换算角度0°30°45°60°90°弧度

角度180°150°135°120°270°弧度

角度360°−30°225°300°−90°弧度

0

π2π

π23π2

π2

π32π35π3

π43π45π4

π65π6

π6n°αrad180°πrad练习012、弧度制与角度制的换算

0

π

π65π6

π630°150°-30°练习012、弧度制与角度制的换算

135°

π

π43π45π4225°

π4

π4练习02将下列各弧度化为角度：2、弧度制与角度制的换算k·2π4π3（1）5π12（2）-

π3（3）2kπ-，k∈Z

−75°240°

k·360°−60°，k∈Z2kπ例题2、弧度制与角度制的换算03推导扇形面积的弧度制公式。05lrO解：设扇形的圆心角为αrad则S扇形

=·S圆

=·

πr2

=αr2

α2π

α2π

12弧长公式l=

α·r例题2、弧度制与角度制的换算03利用弧度制推导扇形面积公式。05lrO弧长公式l=

α·r解：设扇形的圆心角为αrad则S扇形

=·S圆

=·

πr2=αr2

=lr

α2π

α2π

12

12公式2、弧度制与角度制的换算扇形的弧长与面积公式lrS

角度制面积弧长

l=

α·r弧度制

S=

α·r2=

l·r

12

12练习03求：周长为8，面积为4的扇形的圆心角的弧度数.2、弧度制与角度制的换算

S=

α·r2=

l·r

12

12lrα

l=

α·r解：设扇形的圆心角为αrad则C扇形

=l+2r=α·r+2r=8①

S扇形

=α·r2=4②由①②可解得：α=r=212思考：2rad角有多大？终边落在第几象限？

用信息技术进行弧度制与角度制的换算A弧度制B弧度制与角度制的换算小结

∣α

∣=

l

rn°αrad180°πradC用弧度制表示扇形的弧长与面积

l=

α·r

S=

α·r2=

l·r

12

121、角度制与弧度制之间的互化：自我检测（1）-216°（2）

π5（3）k·360°+210°，k∈Z6π536°7π62kπ+，k∈Z自我检测（1）β的终边与α的终边关于x轴对称（2）β的终边与α的终边关于y轴对称2、若α=，请写出满足下列条件的角β：2π3（3）β的终边与α的终边关于原点对称2π3β=

2kπ

，k∈Z

π3β=

2kπ+，k∈Z

π3β=

2kπ

，k∈Z自我检