河南省洛阳市涧西区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（ 含答案解析 ）

洛阳市涧西区2023-2024学年第一学期期中考试九年级数学试卷注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟．2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题上的答案无效．3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．一、选择题（每小题3分，共30分）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：A、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、斐波那契螺旋线不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；D、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意故选：D．2.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；据此进行逐一判断，即可求解．【详解】解：A．方程化简后不含二次项，是一元一次方程，故不符合题意；B．是分式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；C．方程可化为一元二次方程的一般形式，故符合题意；D．因为有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：C．3.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．一元二次方程的一般形式为：(、、是常数，)．其中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义作答即可．【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项是，，．故选：A．4.关于函数的性质表述正确的一项是（）A.无论为任何实数，的值总为正数 B.它的图象关于轴对称C.当的值增大时，的值也增大 D.它的图象在第一、三象限内【答案】B【解析】【分析】本题考查了是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点在原点，对称轴是轴是解答此题的关键．根据二次函数的性质得出函数的对称轴及其增减性即可得出结论．【详解】解：，函数图象的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，函数图象在第一、二象限内，当时，随的增大而增大，故B正确，A，C，D错误．故选：B．5.将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即；再向下平移2个单位为：，即，故选：A．6.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】B【解析】【分析】根据旋转中心的确认方法，作对应点连线的垂直平分线，再找到交点即可得到.【详解】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点.7.在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得，风景画的长和宽分别为，再根据面积为即可列出对应的方程．【详解】解：设金色纸边的宽为，则风景画的长和宽分别为，由题意得，，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．8.足球运动员将足球沿与地面成一定角度方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：）与足球被踢出后经过的时间（单位：）之间的关系如下表：t01234567…h08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球被踢出时，距离地面的高度是；③足球飞行路线的对称轴是直线；④足球被踢出时落地，其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，准确分析判断是解题的关键．由题意得，抛物线经过，，所以可设抛物线的解析式为，把代入可得，得出抛物线的解析式为，由此一一判断即可．【详解】解：由题意得，抛物线经过，，设抛物线的解析式为，把代入得，抛物线的解析式为，足球距离地面的最大高度为，故①错误；时，，故②正确；抛物线的对称轴为直线，故③正确；时，，足球被踢出时落地，故④正确，正确的有：②③④，故选：C．9.我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（）A. B.+ C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程，即拼图如图所示；中间小正方形边长为其面积为25，大正方形的面积：，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．10.如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分点P在AB边上，如图1，点P在BC边上，如图2，点P在CD边上，如图3，利用解直角三角形的知识和三角形的面积公式求出相应的函数关系式，再根据相应函数的图象与性质即可进行判断．【详解】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，∵AP=x，，∴，∴；当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，过点B作BM⊥AD于点M，则，∴；当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，AD=，，∴；综上，y与x的函数关系式是：，其对应的函数图象应为：．故选：D．【点睛】本题以直角梯形为载体，主要考查了动点问题的函数图象、一次函数和二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、列出相应的函数关系式是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故答案：．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记当时，方程有两个不相等的实数根，是解题的关键．12.如果二次函数的图象经过原点，那么______．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，还需要考虑二次项系数不能为零．【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，得，整理得，解得：或，∵，∴，∴．故答案为：．13.一个小球以的速度开始向前滚动，小球滚动的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，则小球从开始滚动到完全停止所用的时间是______秒．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把解析式化为顶点式，求最大时所用的时间即可．【详解】解：，，当时，有最大值，最大值为，小球滑行到最大距离时才停下来，小球从开始滚动到完全停止所用的时间是秒，故答案为：．14.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______．【答案】50【解析】【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置，，，，//，，，，，故答案为50．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．15.如图，已知二次函数的图象交轴于，对称轴为．下列结论：①；②；③若，是图象上的两点，则；④若，则．其中正确结论为______．【答案】②④【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线的位置与之间的关系等，根据抛物线的开口方向、与轴的交点位置以及对称轴的位置即可判断①；把代入解析式即可判断②；利用抛物线的对称性将两个点转化为同一侧，再利用二次函数的性质即可判断③；利用抛物线的对称性及二次函数与不等式的关系即可判断⑤，熟练掌握运用二次函数的图象与性质及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：抛物线开口向上，，抛物线与轴交于负半轴，，抛物线的对称轴在轴的负半轴，同号，，，故①错误，不符合题意；设抛物线与轴的另一个交点为，由题意得：对称轴为，解得：，当时，，当时，，根据抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大可得，故，故②正确，符合题意；设抛物线上与点对称的点为，由题意得：，解得：，，根据抛物线开口向上在对称轴右侧随的增大而增大可得，故③错误，不符合题意；由图象可知，抛物线与轴的交点坐标为，设抛物线上与对称的点的坐标为，由题意得：，解得：，由图象可得：当，则，故④正确，符合题意；综上所述，正确的是②④，故答案为：②④．三、解答题（共8小题，满分75分）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了公式法、因式分解法、配方法解一元二次方程；掌握方法准确运算是解决本题的关键．【小问1详解】解：原方程可变形为，，或，∴，．【小问2详解】（方法不唯一）解法一：解：∵，，，∴，∴．故，．解法二：解：，，．∴，∴，故，．17.如图，的顶点都在方格线的交点（格点）上．（1）若将绕点旋转，点A的对应点的坐标是（______，______）；（2）将绕点按逆时针方向旋转得到，请在图中画出并写出点，的坐标．【答案】（1）（2）图形见解析，，．【解析】【分析】本题考查旋转变换，根据题意得出对应点的位置是解答的关键．（1）根据旋转的性质即可求解；（2）根据旋转的性质画图即可求解．【小问1详解】解：由题意得，点A对应点的坐标是；【小问2详解】如图所示：即为所求；，．18.已知二次函数的图象过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）已知二次函数与直线交于点，，请结合图象直接写出方程的解．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象求出的解即可．【小问1详解】解：∵二次函数的图象经过点和，∴，解得，因此，二次函数解析式为：．【小问2详解】解：∵二次函数与直线交于点，，∴方程的解为，．19.某商店准备销售一种多功能文件夹，计划从厂家以每个8元的价格进货，经过市场调研发现，当每个文件夹的售价为10元时，月均销量为100个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个．（1）若使这种文件夹的月均销量不低于50个，每个文件夹售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当这种文件夹销售单价为多少元时，销售利润是320元．【答案】（1）每个文件夹售价应不高于15元；（2）当这种文件夹销售单价为12元时，销售利润是320元．【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．（1）设每个个文件夹的售价为x元，则月均销量为个，根据“这种文件夹的月均销量不低于50个，”列出不等式，即可求解；（2）根据“销售利润是320元”列出方程，即可求解．【小问1详解】解：设每个文件夹的售价为x元，则月均销量为个，依题意，得：，解得：，答：每个文件夹售价应不高于15元；【小问2详解】解：依题意，得：，整理，得：，解得：，．∵，∴不符合题意，故，答：当这种文件夹销售单价为12元时，销售利润是320元．20.阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n．∴，，则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则______；______．（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m，n，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．（1）根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可；（2）由题意知，，，根据，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知，，，故答案为：，；【小问2详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，∴，，∴，∴的值为．21.如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小洛在下图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的表达式为．根据以上信息，解答下列问题：（1）请在图中画出小洛建立的平而直角坐标系；（2）判断排球能否过球网，并说明理由；（3）判断排球是否会出界，并说明理由．【答案】（1）作图见解析（2）排球能过球网，理由见解析．（3）排球会出界，理由见解析．【解析】【分析】本题考查了基本作图，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）根据二次函数的顶点，作出图像；（2）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案；（3）根据的值，求出对应的值，然后判断，得出答案．【小问1详解】抛物线解析式为，对称轴为轴，顶点为，建立的平面直角坐标系如图所示：【小问2详解】排球能过球网，理由：当时，，排球能过球网；【小问3详解】排球会出界，理由：当时，，排球会出界．22.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是．（1）函数①，②，③中是有上界函数的为______（只填序号即可），请挑选其中的任意一个有上界函数并求出其上确界；（2）如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．【答案】（1）①③，函数的上确界为；函数的上确界为；（2）的值为．【解析】【分析】本题考查新定义下的函数探究，在理解所给定义的前提下综合运用各类型函数的性质是解题关键．（1）根据函数的增减性判断有无最大值，并根据新定义求出有上界函数的上确界即可；（2）分别讨论当抛物线的对称轴、、时，对应的取何值时函数的上确界为，从而求出值．【小问1详解】解：是有上界函数的为①③．选①：在中，随增大而减小，当取最小值时，的最大值为，即函数的上确界为；选③：的对称轴为直线，当时，的最大值为；即函数的上确界为；（两个函数选一即可）【小问2详解】的对称轴为直线，①当时，点在函数图象上，，（舍去）；②当时，点在函数图象上，，（