河南省洛阳市新安县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（ 含答案解析 ）

2023~2024学年第一学期期中教学质量检测试卷九年级数学友情提示：1．本试卷共4页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟．请用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．2．答题前请将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑．1.式子有意义的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解．【详解】∵有意义，∴，∴，故选：．2.下列计算错误的是()A.×＝ B.＋＝C.÷＝2 D.－＝【答案】B【解析】【详解】解：A、•=，计算正确；B、+，不能合并，原题计算错误；C、÷==2，计算正确；D、＝2，计算正确．故选B．3.下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（）A.②③ B.③④ C.②③⑤ D.②③④【答案】A【解析】【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．故选：A．4.若关于x的方程kx2﹣x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≤12 B.k≤ C.k≤12且k≠0 D.k≤且k≠0【答案】B【解析】【分析】由于k的取值不确定，故应分k＝0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【详解】解：当k＝0时，﹣x＋3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x＋3＝0是一元二次方程，根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，解得k≤，k≠0，综上k≤，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．5.化简二次根式，得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．【详解】解：，故选：．6.某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到每件160元，则平均每月降低的百分率为（）A.10％ B.5％ C.15％ D.20％【答案】D【解析】【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1−降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1−x），那么第二次后的价格是250（1−x）2，即可列出方程求解．【详解】如果设平均每月降低率为x，根据题意可得250（1−x）2＝160，∴x1＝20%，x2＝180%（不合题意，舍去）．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“＋”，当降低时中间的“±”号选“−”）7.如图，在中，分别是边上的中线，于点，点分别是的中点，若，，则四边形的周长是（）A.14 B.20 C.22 D.28【答案】B【解析】【分析】根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果．【详解】解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，∴DE=BC，DE∥BC，∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，∴MN=BC，MN∥BC，OM=OB=4，ON=OC=3，∴四边形MNDE为平行四边形，∵BD⊥CE，∴平行四边形MNDE为菱形，∴OE=ON=3∴BC=，∴DE=MN=EM=DN=5，∴四边形MNDE的周长为20，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定．8.在等腰三角形中，，，的长是关于x的方程的两根，则m的值是（）A.16 B.24 C.25 D.16或25【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质，分类讨论，根据一元二次方程根的定义，以及根的判别式分别计算即可求解．【详解】解：当为腰时，则或的长为8，，

∴；当为底边时，

当时，方程有两个相等的实数根，

则，

即，

∴．故选D．9.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A.2005 B.2003 C.﹣2005 D.4010【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2=．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．【详解】α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2.α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，故选B.【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.10.如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝xcm，∵四边形ABEF是正方形，∴EF＝AB＝ycm，∴DF＝EC＝（x﹣y）cm，∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似，∴DF：AB＝CD：AD，即：∴＝，故选B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.若，则__________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，设，则，∴故答案为：．12.若最简二次根式与是同类二次根式，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的定义得出是解答本题的关键．根据同类二次根式的定义得出，再求出的值，得到答案．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，，，故答案为：．13.在中，，，，将以O为位似中心放大为原来的3倍，成为，则点的坐标为______．【答案】或【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，即可求得答案．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．【详解】解：∵以原点O为位似中心，将以O为位似中心放大为原来的3倍，，∴的坐标为或，即的坐标为或．故答案为：或．14.已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．【答案】1【解析】【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．详解】解：把x＝代入方程得，解得m＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.如图，在中，,点分别是边上的点，连结,将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点为顶点的三角形与相似，则的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据折叠的性质得到BE=EF，再由相似三角形的性质分两种情况讨论即可得到结论．【详解】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE=EF，∵BC=4，∴CE=4-BE，∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CFE∽CAB时，，即，解得：，②当△CFE∽△CBA时，，，解得：BE=2，故答案为或.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质及相似三角形知识是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）．16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；（2）先利用二次根式的性质化简，同时利用二次根式的除法法则和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】原式．17.解下列方程：（1）（配方法）；（2）．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（）用配方法求解即可；（）用因式分解法求解即可；本题考查了解一元二次方程，熟练掌握用配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【小问1详解】∵，∴，配方得，，即，开平方得，，∴，；【小问2详解】移项得，，即．因式分解得，，∴或，∴，．18.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1．与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）在图中画出位似中心O；（2）与的相似比是______；（3）请在此网格中以点C为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于2∶1．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查位似图形的知识，（1）根据两个三角形的位置找到位似中心即可；（2）根据三角形的边长求得相似比；（3）结合位似中心点和网格即可得到．【小问1详解】解：将对应顶点连接，并延长交于O点．如图所示，【小问2详解】根据对应线段长求得，，则与的相似比．【小问3详解】如图所示，即所求．19.如图，是的两条高．（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）先由是的两条高可知，，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（2）根据（1）得，可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【小问1详解】证明：∵是的两条高，∴，又∵，∴△ACD∽△BCE，∴，即；【小问2详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．20.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．【答案】（1）详见解析；（2）14．【解析】【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论；（2）利用根与系数关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．【详解】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）＝4k2+4k+1﹣16k+12＝4k2﹣12k+13＝（2k﹣3）2+4，∵（2k﹣3）2≥0，∴△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，而AB2+BC2＝AC2＝（）2，∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，∴k的值为3，∴AB+BC＝7，∴矩形ABCD的周长为14．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．21.已知：如图，中，，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M．（1）已知点M是BC的中点．求证：；（2）已知，四边形BCED的面积为42，求的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，第（1）题中转化相等比、第（2）题中利用设未知数列方程是解答本题的两个关键点．（1）由可知，，再利用相似三角形的性质推得，，进一步得到即可得出结论；（2）通过证明两对三角形相似，将转化为，再利用及其性质，得到，最后通过设未知数，列方程求解面积即可解答．【小问1详解】证明：，，，，，，又点M是BC的中点，，．【小问2详解】，，则，，，，，，设，则，四边形BCED的面积为42，，解得，．22.某汽车销售公司3月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0．1万元/部；另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0．5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）求每部汽车的进价y（万元）与该公司当月售出汽车数量x（部）之间的函数关系式；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）【答案】（1）（x≥1且x为整数）（2）需要售出6部汽车．【解析】【分析】（1）根据“若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0．1万元/部”列出函数关系式即可；（2）设需要售出x部汽车，可得每部汽车的销售利润，分1≤x≤10以及x＞10两种情况，根据盈利12万元列方程求解即可．【小问1详解】解：由题意得：（x≥1且x整数），即y与x之间的函数关系式为：（x≥1且x为整数）；【小问2详解】解：设需要售出x部汽车，由（1）可知，每部汽车的销售利润为：（万元），当1≤x≤10时