《数学分析3》教案

《数学分析3》教案

授课时间2006.10.17第10次课

第十七章任课教师

授课章节姜子文、教授

第二节第三节及职称

教学方法

讲授课时安排3

与手段

华东师范大学主编《数学分析(上、下册)》(第三版)，高等教育出版社2001年版

使用教材和吴良森等编著《数学分析学习指导书》(上、下册)，高等教育出版社2004年版

主要参考书马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版

刘玉琏等编著《数学分析讲义》(第三版)(上、下册)，高等教育出版社1982年版

教学目的与要求：

(1)理解一阶全微分形式不变性

(2)掌握方向导数与梯度的定义

(3)掌握方向导数与梯度的计算

教学重点，难点：

重点：方向导数与梯度的定义

难点：一阶全微分形式不变性，方向导数的定义

教学内容：

一阶微分形式不变性

粉微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。

设Z=/(x,y)是二元可微函数，如果是自变量，贝

dz^—dx+—dy.各自独立数值)……(1)

dxdy

如果苍y不是自变量而是中间变量，x=x(u,v),y=y(w,v),又设％,y都可微，并且可以构成

复合函数，那么：

az=—du+—dv

dudv

《数学分析3》教案

小

及

唐

。X&②

一&-^

8+&加

―淳

巴@av

包

4及

力+

及

¥讥

及

一av2)

&(<2+

小a8v

&一6,

（dx,dy如上，由“，匕决定）。

由（1）,（2）的dz可知一阶微分形式的不变性。

注：（1）两阶微分没有这一性质，如下例

例1设z-x+y,x-u~v,y-u+v.z-irv+u+v.则

j2合Zj2c3z~..

clz=4-2-----dudvH---7av~=2vau~+4uduav

d2ududvdv2

如果二阶微分有形式不变性，则有:

代二察苏+2输2+新/

但号=尤+送

0,从而以2=0

d2xdxdydy2

（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数

、.QzQz

例2设z=e*sin（x+y）,利用微分形式不变性求dz,并求出—.

dxoy

§3方向导数与梯度

一方向导数：

（一）、方向导数的定义：

定义设三元函数/在点外（xo，y（），zo）的某邻域U（玲）uR3内有定义./为从点与出发的射线.

P（x,y,z）为/上且含于U（6）内的任一点，以「表示P与用两点间的距离.若极限

lim------------------=lim——

0fO+p0fO+p

存在，则称此极限为函数/在点与沿方向/的方向导数，记为更1或力（兄）、力（Xo，yo，z（））.

8110

《数学分析3》教案

对二元函数Z=/（x,y）在点与（通,））0）,可仿此定义方向导数.

易见名、生和更是三元函数/在点”分别沿X轴正向、丫轴正向和

dxdydz

Z轴正向的方向导数.

例l/（x,y,z）=x+V+z3.求/在点4（1,1,1）处沿/方向的方向导数，其中

(1)/为方向(2,-2,1);(2)/为从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向.

Y—1v—17—1令

解(1)/为方向的射线为工」=J=J===">0).即

2-21

x=2/+1,y——2t+1,z=，+l,(，20).f=/(1,1,1)=3

/(P)=/(2f+l,—2/+1,，+l)=(2f+l)+(—2r+l)2+(f+l)3=〃+7产+f+3

P=7u-l)2+(y-l)2+(z-l)2=7(2O2+(-2O2+r2=3j

]_

因此，

flfp—0+3f3

（2）从点（1,1,1）到点（2,-2,1）的方向/的方向数为（1,一3,0）,/方向的射线为

x=f+1,y--3t+1,z=l,（/>0）.

/（P）=/（z+l,-3r+l,l）=9r2-5z+3,〃稣）==3；

p=yj（X-1）-+（）'-1）-+（Z-1）-=-\jt'+（—3?）-=V10/.

.df\「f（P）—f（P0）9r-5t5

m因L此，—L=hm--------=hm—=---

dl1°A。+p-0，VlOfV10

（二）、方向导数的计算：

定理：若函数/在点与（Xo，y0，Zo）可微，则/在点不处沿任一方向/的方向导数都存在，且

力（痣）=力（4）cosa+/（稣）cos。+—解）cosy,

其中cosa、cos4和cosy为/的方向余弦.

对二元函数/（x,y）,力（与）=人（外）cosa+fv（E,）cos/?,其中a和△是/的方向角.

注：由力（4）=人（外）cosa+/、.（稣）cos£+工（玲）cosy

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=（人（尸0），刀（玲）,人（尼）（cosa,cos/?,cos/）,

可见，力（乙）为向量（了,（庶），。（冗）），刀（尸。））在方向/上的投影.

例2（上述例1）

2221

解（1）/的方向余弦为cosa=/=—,cos/?=—,cosy=—.=1,

722+（-2）2+12333

fy（P0）=2y\y^=2,£（"）=3z21g=3.

因此，*=f<P。）cosa+力储）cosj+/z（^）cos/=|+2-（-|）+3-1=1.

（2）/的方向余弦为

2-11c3八

cosa=i==~i=,cosp=——；=,cosv=0.

7（2-l）2+（-2-l）2+（1-1）2VioVio

因此，==—1=.

a/VioVioVio

可微是方向导数存在的充分条件，但不必要.

二梯度（陡度）：

（-）、梯度的定义：gradf=（/,（P0）,fy（P。）,，（勺）））.

Igradf1=，—（鸟））2+亿（4））2+（£（々,））2.

易见，对可微函数一,方向导数是梯度在该方向上的投影.

（二）、梯度的几何意义：对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向.这是因为

-=gradf-I=|gradf（Po）\cos0.

其中6是/与grMf/）夹角.可见8=0时力（8）取最大值，在/的反方向取最小值.

（三）、梯度的运算：

1grad（u+c）=gradu.

2grad（a忧+。v）=agradu+/3gradv.

3grad（wv）=ugradv+vgradu.

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4gradV-llSra^-vgradu

uu2

5grad/(w)=ff(u)gradu.

grad-

u

=,uvv)-(uxv,uyv)]=

1rz、/Jusradv-vgradu

=/ML'匕)—'"，)J=——•

总结：gradf的方向表示数量场/在/分三元沿此方向的方向导数达到最大；grMf的根长就是这个最大的

方向导数。

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复习思考题、作业题:

17.31,3,7

下次课预习要点

泰勒公式与极值问题

实施情况及教学效果分析

完成教学内容。

通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。

学院审核意见

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年月日

《数学分析3》教案

授课时间2006.10.19第11次课

第十七章任课教师

授课章节姜子文、教授

第四节及职称

教学方法

讲授课时安排3

与手段

华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版

主要参考书马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版

刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版

教学目的与要求：

（1）掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义

（2）掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明

教学重点，难点：

重点：二元函数的高阶偏导数与泰勒公式

难点：二元函数的泰勒公式

教学内容：

一、高阶偏导数：

类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。就二元函数/（x,y）而论，如果/（x,y）的两个

偏导数都存在，它们就是关于的二元函数。还可以讨论它们关于的偏导数，

如果它们关于x的偏导数存在，或者关于y的偏导数存在，就称这些偏导数是二阶偏导数。

如此以来，二元函数的二阶偏导数就有四种情形:二二寸三至1.

dx2dxdydydxdy2

类似的可定义更高阶的偏导数.

例1卷求二阶偏导数和

例2t-dKig—.求二阶偏导数.

X

注混合偏导数由于求导次序的不同，可能会不同.

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X--y

例3求函数/(x,y)=盯1+28)')"(,，?在原点的二阶偏导数.

0(x,y)=(0,0)

但在满足一定条件下，混合偏导数与求导次序无关.

定理17.7设二元函数的两个混合偏导数/母，力”在(%，为)连续，则有

fXy(/，为)=/(x0,y0).

复合函数的高阶偏导数•定注意中间变量仍然是自变量的函数，因变量仍然是中间变量的函数.

例4

y

利用变量变换和高阶偏导数可以验证或化简偏微分方程:

例5z-hJr+X3•(Laplace方程)

例6试确定：和i利用线性变换f-x+iy将方程

3%内冉

a?4a^Vo化为--o

—3u—-d-u---d-s-+-d--u---&-■—du+.-du3ududsSu3tSu

3Mds9xStdxdsft3B3ldi

3(3u.胪udsda»atdsft

a?=募尻+至厂*云*

dbdtftrftflsdeft3dr

d(dudu］sPtt9ea、dea%%aa«dta\,„a，,a、

核学衽J酝'5加0学跄学&z,a?'%at

d*ud(du.加］dava3

I+nI.・・・・aa+2ab^-=tt-+

■Iade)舒

因此空4含唠.

-0*4«+3«1)益+(2+4a+贴+")会+(l+4i+3fra)今

a

令l*4a*3a-0,1+46+弘1-0,0..一』.3._［或。.-I,b---

33

《数学分析3》教案

去喘唠化简为3、_

或,此时方程0

二、中值定理：

定理设二元函数/在凸区域〃uR2上连续，在D的所有内点处可微.则对D内任意两点

P(a,b),Q(a+h,b+k)eintD,存在6(0<6<1),使

f(a+h,h+k)—于(a,b)-fx(a+0h,h+0k)h+f(a+6li,b+0k)k.

证：令①。)=/(。+仍，匕+於)，然后利用一元函数的中值定理.

推论若函数/在区域〃上存在偏导数，且九三/,三0,则/是〃上的常值函数.

三、Taylor公式;

定理(河y/or公式)若函数/在点生(与，打)的某邻域U(6)内有直到"+1阶连续偏导数，则对

11(4)内任一点(无0+/1,%+女)，存在相应的6€(0,1),使

f(xa+h,y0+k)=

/\i/\M+I

a,aVz、i(.d.d\

—+^―/(x(),'())+;-----—+^—/(x+0h,y+0k).

ZooxdyJ(〃+l)!(dxdy)0o

证略

例1求函数/(x,y)=x＞在点(1,4)的的Zzr公式(到二阶为止).并用它计算(1.08)196.

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复习思考题、作业题:

1(2)(3)(6)(7),3,7(1)(4)

下次课预习要点

多元函数的极值

实施情况及教学效果分析

完成教学内容。

通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。

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年月日

《数学分析3》教案

授课时间2006.10.24第12次课

第十七章任课教师

授课章节姜子文、教授

第四节及职称

教学方法

讲授课时安排3

与手段

华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版

使用教材和吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版

主要参考书马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版

刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版

教学目的与要求：

（1）能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大（小）值.

（2）掌握二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明.

教学重点，难点：

重点：二元函数的极值的必要条件与充分条件

难点：判别二元函数的极值问题

教学内容:

一极值

（一）、极值的定义：

注意（1）只在内点定义极值，（2）极值是局部概念.

（二）、极值的必要条件：与一元函数比较.

定理设痣为函数/（尸）的极值点.则当人（乙）和存在时，有

A（^）=A（^）=0-

极值的候选点：函数的稳定点、不可导点。

（三）、极值的充分条件：

代数准备：给出二元（实）二次型g（x,y）=ax2+2bxy+cy2.其矩阵为

1g（x,y）是正定的，=顺序主子式全＞0,

《数学分析3》教案

g（x,y）是半正定的，=顺序主子式全>0;

2g（x,y）是负定的，=（-1）*1囱1：〉0,其中“I：为k阶顺序主子式.

g（x,y）是半负定的，o

3[a\<Ont,g（x,y）是不定的.

3c）

充分条件的讨论设函数/（x»）在点外（%,凡）某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式,有

（aa、]，aa、2

/%）+不/（4）+。（22）

oxoyJ2!^oxoyJ

=£（玲）》了,（R）k+g[九（R）/+2/（4）秘+&（庶）川+”后）.

令4=（解），B=%（P。）,。=&（庶），则当庶为驻点时，有

2227

f（x0+h,y0+k）-f（x0,y0）=^[Ah+2Bhk+Ck]+o（p）.其中「=病二!.

22

可见式/（x0+h,y0+k）~/（x0,y0）的符号由二次型Ah+2Bhk+Ck完全决定.

称该二次型的矩阵为函数/（x,y）的的sse矩阵.于是由上述代数准备，有

1A〉0,AC-B2〉0,n分为（严格）极小值点；

2A<0,AC-B2>0,=>Po为（严格）极大值点；

3AC—8?<0时，外不是极值点；

4AC-B2=0时，外可能是极值点，也可能不是极值点.

综上，有以下定理：

定理设函数/（尸）在点吊的某邻域内有连续的二阶偏导数，%是驻点.则

1九（玲）〉。，亿/,-一抬加）〉0时，鸟为极小值点；

2人（玲）<0,伍/广后吹）>0时，鸟为极大值点；

3（/皿&,一1^）（与）<0时，6不是极值点；

4（fxxfyy~）=。时，P。可能是极值点，也可能不是极值点.

《数学分析3》教案

例1求/(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值.

例2讨论f(x,y)=x2+xy是否存在极值.

例3讨论f\x,y)=(y-x2)(y-2x2)是否存在极值.

二最值

最值是一个整体概念.最值的候选点是稳定点，无偏导数点，区域的界点.

例4求函数

f(x,y)=/+4xy-2y2-10x+4y

在域〃={(x,y)lx>0,y>0,x+y<4}上的最值.

fx(x,y)=2x+4y-10=0,

解解得驻点为(1,2)./(1,2)=-1.

=4x—4y+4=0.

在边界x=0(04y44)上，f(0,y)=-2y2+4y,驻点为y=1,/(0,l)=2;

在边界y=0(04x«4)上，f(x,0)=x2-IQx,没有驻点;

在边界y=4-x(04x44)上，/(x,4-x)=-5x2+18x-16,

驻点为x=1.8,/(1.8,4—1.8)=0.2.

又/(0,0)=0,/(0,4)=-16,/(4,0)=-24.

于是，maxf(x,y)=max{/(l,2),/(0,l),/(1.8,2.2),/(0,0),/(0,4),/(4,0)}=

D

=max{-1,2,0.2,0,-16,-24)=0.2.

min/(x,y)=min{-1,2,0.2,0,-16,-24}=-24.

D

最值还经常用于解决实际问题.

例5证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小.

例6(最小二乘法问题)设通过观测或实验得到一列点(七,%),i=1,2,.它们大体上在一条直线上,

即大体上可用直线方程来反映变量x与y之间的对应关系(参见图17-9).现要确定一直线使得与这〃个点的

偏差平方和最小(最小二乘方).

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复习思考题、作业题:

8(3),9(2),11

下次课预习要点

隐函数的存在性定理

实施情况及教学效果分析

完成教学内容。

通过本次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。

学院审核意见

学院负责人签字

年月日

《数学分析3》教案

授课时间2006.10.26第13次课

第十八章任课教师

授课章节姜子文、教授

第一节及职称

教学方法

讲授课时安排3

与手段

华东师范大学主编《数学分析(上、下册)》(第三版)，高等教育出版社2001年版

使用教材和吴良森等编著《数学分析学习指导书》(上、下册)，高等教育出版社2004年版

主要参考书马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版

刘玉琏等编著《数学分析讲义》(第三版)(上、下册)，高等教育出版社1982年版

教学目的与要求：

(1)掌握隐函数存在的条件，理解隐函数定理的证明要点；

(2)掌握隐函数定理的证明

教学重点，难点：

重点：隐函数定理

难点：隐函数定理的严格证明

教学内容：

一、隐函数概念隐函数是表达函数的又一种方法.

显函数：表达式大多是自变量的某个算式，例如y=/+i,“=e卧(sin町，+sin”+sin封)等等.

但还有另外一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定,我们把这

种函数称为隐函数.

定义：设XuR,YuR,函数/：XxYfR.对于方程

F(x,y)=Q,(1)

若存在集合/uX,Ju丫，使得对于任何xeI,恒有唯一确定的yeJ,它与x一起满足方程(1).

则称由方程(1)确定一个定义在/上，值域含于J的隐函数.若把它记为

y=fM>xG/,ysJ

则成立恒等式F(x,/(x))=0,XEI.

《数学分析3》教案

注1显函数与隐函数没有明显的界限.如y=f+l是显函数，但y-f-1=0是隐函数.

例1方程盯+y—l=0能确定•个定义在(一8,1)11(-1,00)上的隐函数^=/。).如果从方程中把y

解出，这个函数也可表示为显函数形式：y=」一.

-l+x

例2圆方程炉+/2=1能确定一个定义在［_U］上，函数值不小于0的函数「=/1一/2；又能确定另一

个定义在［-1,1］上，函数值不大于0的函数y=-Jl-x2.

注2确定隐函数必须三个基本条件：确定它的方程，变量元的取值范围，变量y的取值范围.

问：是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？

例3方程x2+/=c,当c>0时，不能确定任何函数/(x),使得炉+"(刈2三c,只有当c<0时,

才能确定隐函数.

例4方程y-x-〈siny=0能确定定义在(-oo,+oo)上的函数/(x),使得/(x)-x-gsin/(x)三0.

但这个函数/(x)却无法用x的算式来表达.

注3一个方程可能确定隐函数，如例1、2、4,也可能不确定隐函数，如例3；一个方程可能确定一个

隐函数，如例1、4,也可能确定二个(或多个)隐函数，如例2；一个方程确定的隐函数可能是初等函数，

如例1、2,也可能不是初等函数，例4说明隐函数包含非初等函数，从而给出了表示函数的新方法，扩大了

研究函数的范围.

问：在什么条件下，方程能确定出隐函数？唯一？隐函数有什么解析性质？

换言之，对于隐函数，主要研究两个问题：(1)隐函数的存在性；(2)隐函数的解析性质.

二、隐函数存在性条件的分析

(i)由于满足方程尸(x,y)=0的点集可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交集，所以方程(1)能

确定一个函数，至少要求该交集非空，即存在点鸟。0，>0)，使/(/，%)=0・

(ii)方程(1)能在点为附近确定一个连续函数，表现为上述交集是一条通过点尸。的连续曲线段，但有

交点，未必有交线.例如，曲面z=/+/与孙平面有一个交点(0Q),但没有一条相交的直线.对此看

出，之所以曲面z=/+/在点(0,0)与孙平面相交但没有相交的直线，其主要原因是曲面z=/+/在

点(0,0)的切平面恰好是盯平面.由此，容易猜想到，如果曲面2=尸(x,y)在孙平面上的点［(与，先)相

《数学分析3》教案

交且曲面在这点的切平面与孙平面有一定的角度（即切平面不与xy平面平行），从而曲面z=F（x,y）在点

玲（与，凡）的某邻域内穿过孙平面，于是有交线＞=/。）或苫=8（），）.根据全微分的集合意义，要是曲面

的切平面不与盯平面平行，只需

（工（4）,工（州））工（0,0）.⑵

（iii）要求隐函数y=/（x）（或x=g（y））在点痣可微，则在尸为可微的假设下，通过对（1）在点与处

对尤求导，依链式法则，有

-储）+—覆三=。，

当尸,（R）HO时，华。祟，当&（玲）二0时，华|=—《黑，由此，条件⑵不仅对于

dx工（玲）dy4（不）

隐函数的存在性，对于隐函数的求导同样重要.

三、隐函数定理

定理18.1（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件：

（i）函数F（x,y）在以4（飞,打）为内点的某一区域。UR?上连续；

（ii）尸（%,汽）=0（通常称这一条件为初始条件）；

（iii）在。内存在连续的偏导数工.（x,y）;

（iv）产八/,y0）#0.

则在点外的某邻域U（A））uO内，方程尸（x,y）=O唯一地确定一个定义在某区间（xo—a，x（）+a）内

的隐函数y=/（x）,使得

1°/（x。）=打，xe（%-a,%+a）时（x,/（%））eU（不）且F（x,7（x））三0.

2°函数/（x）在区间（X。-a,x（）+a）内连续.

证明：先证隐函数的存在性与唯一性.

7

由条件（iv）,不妨设4a。，%）＞0（若7V（%,汽）＜0，则可讨论一F（x,y）=O）.由条件（ii）Fy

在。内连续，由连续函数的局部保号性，存在点尸。的某一闭的方邻域

[x0-p,x0+p]x[y0-p,y0+p]c:D,使得在其上每一点处都有4（x，y）＞。-因而，对每个固定的

《数学分析3》教案

xe［x0-/3,x0+p］,尸(x,y)作为y的一元函数，必定在［%-小治+41上严格增且连续.由初始条件

(ii)可知

「品，打一£)<°，F(/，儿+£)>0・

再由厂的连续性条件(i),又可知道F(x0,y0-£)与F(x0,%+£)在［/一£,/+/?］上也是连续的.

由此由保号性存在a〉0(aW/?),当xw(X。-a,x()+a)时恒有户口,乱)一4)<0,F(x,y0+/?)>0,

在矩形ABBW的AB边上尸取负值，在4B'边上尸取正值.因此对(x0-a,x0+a)内每个固定值无，同

样有产(兀见-£)<0，F(x,y0+^)>0.根据前已指出的尸(元y)在［为一£，为+41上严格增且连续，

由介值性保证存在唯一的ye(y0-(3,%+£),使得F(x,y)=0.由元在(/一a,/+a)中的任意性,这

就确定了一个隐函数y=/(x),它的定义域为(/—a，x0+a),值域含于(y0-£,方+£)・若记

U(%)=(x0-a,x0+a)x(y0-p,y0+/3),

则？=/(x)满足结论1°的各项要求.

若还存在另一个隐函数y=/(x),使得产Q,/(x))三0,又网x,/(x))三0,由F(x,y)对固定的x

关于y严格递增知/(x)=/(X),xe(x0-a,x0+a).

再证明/的连续性.

对于(x0—a,xo+a)内的任意点元，9=/(君则由上述结论可知见一万〈》<为+£.任给

£>0,且设£<min{y()+£-歹，》一汽+£},使得

B4歹_£<歹+£«%+£，

从而F(x,y-£)<0,F(x,y+s)>0.由保号性存在元的某邻域(无一2亍+b)u(%—a,x0+a),使

得当x属于该邻域时同样有

F(x,y-£)<0,7r(x,9+£)>0

因此存在惟一的y,使得尸(x,y)=0,l<£.由于y的惟一性，推知y=/(x).这就证得：当

I尤一元l<b时l/(x)-)(元)1<£,即/(x)在亍连续.由于的任意性,证得了(<在(/—a,%+a)内处处

连续.

《数学分析3》教案

注4定理中，条件⑴和(iii)表明曲面z=F(x,y)是光滑的；条件(ii)表明曲面和坐标平面z=0

有一个交点;条件(iv)表明在点(%,打)的附近对固定的x,沿y的正向，曲面是严格单调的.定理的结论表

明在点(/，汽,0)的附近曲面和坐标平面z=0有惟一一条连续曲线.

注5定理的条件是充分的.例如方程丁3一/=0在(0,0)不满足(iv),但仍能确定惟一的连续函数

y=x.但不满足(iv),往往使结论不成立.例如：F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0,由于

尸(0,0)=0,/与4=4y(/+y2)+2y连续故满足⑴(ii)(iii),但因％(0,0)=0,致使在(0,0)的

无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数.

注6定理证明过程中主要利用了连续函数的局部保号性，单调性及介值性定理等.由证明过程可知，条件

(iii)(iv)只是用来保证存在巴的某一邻域，在此邻域内尸关于变量y是严格单调的，因此如果只要定理

的结论成立,条件可减弱为E在1的某一邻域内关于变量y是严格单调的.

注7若把条件(iii)(iv)改为：&连续，且工(%,孔)/0,则结论是存在惟一的连续函数x=g(y).

注8定理的结论是局部性的，即在点(％,打)的某邻域内山方程尸(x,y)=0可以唯一确定一个连续函

数.定理的局部性还反映在下面一点：如果上述邻域不足够小的话，隐函数定理可能不成立.

《数学分析3》教案

复习思考题、作业题:

思考题：由方程尸(x,y)=0确定的隐函数在什么条件下是可微的呢?

1,2

下次课预习要点

隐函数可微的条件

隐函数组存在的条件

实施情况及教学效果分析

完成教学内容。

通过木次教学，学生对本次课讲授的知识基本掌握，反映良好。

学院审核意见

学院负责人签字

年月日

《数学分析3》教案

授课时间2006.10.31第14次课

第十八章任课教师

授课章节姜子文、教授

第一节第二节及职称

教学方法

讲授课时安排3

与手段

华东师范大学主编《数学分析(上、下册)》(第三版)，高等教育出版社2001年版

使用教材和吴良森等编著《数学分析学习指导书》(上、下册)，高等教育出版社2004年版

主要参考书马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版

刘玉琏等编著《数学分析讲义》(第三版)(上、下册)，高等教育出版社1982年版

教学目的与要求：

(1)学会隐函数求导法

(2)掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法.

教学重点，难点：

重点：学会隐函数求导法，隐函数组存在定理

难点：隐函数及隐函数组求导法

教学内容：

问：由方程F(x,y)=0确定的隐函数在什么条件下是可微的呢？

定理18.2设函数尸(x,y)满足隐函数存在唯一性定理的条件，又设在。内&(x,y)存在且连

续，则隐函数y=/(x)在区间(x0—a,x0+a)内可导，且

小)=—22.

Fy(x,y)

证设x与x+Ax都属于(X。-a,x0+a),它们所对应的函数值y=/(x)与y=/(x+Ax)都

含于内(%—尸，为+4)•由于

F(x,y)-0,尸(工+AJI,y+Ay)=0

因此由工、产、的连续性以及二元函数中值定理，有

《数学分析3》教案

0=F(x+Ax,y+Ay)-F(x,y)=Fx(x+0\x,y+必y)Ax+Fy(x+6^x,y+必y)Ay

其中0＜。＜1.因而

AyFx(x+0/\x,y+0/^y)

AxFy{x+Gx,y+0y)

注意到上式右端是连续函数死(x,y)、F,(x,y)与/(x)的复合函数，而且产,(x,y)在。(鸟)内不等于零,

故有

/，(x)=lim殁=-乙堡2

a&Fv(x,y)

且/'(x)在(/-a,x0+a)内连续.

注9定理18.2告诉我们隐函数的导数可以用公式来求.通过隐函数存在条件的分析我们还可以知道隐

函数的导数的另一种求法：

若已知方程F(x,y)=0确实存在连续可微的隐函数，则可用复合函数求导法则对方程求导：

工(x,y)+Fy(x,y)y'=0(*)

得到.

还可以用一阶微分形式不变性来求：对尸(x,y)=0微分：

江+如dy=O.

dxdy

间：隐函数的高阶导数该如何求?

对于隐函数的高阶导数可以用上面同样的方法来求，只是必须注意y=/(x)即尸(x,y)及各阶导数是复

合函数.对(*)求导

F1a(x,y)+Fxy(x,y)y'+[Fyx(x,y)+尸》(x,y)y']+Fy(x,y)y"=0

可解出隐函数的二阶导数

y"=-4(％+2F”+=2工工工、.-工2%-工

尸

Fy

更高阶的类似.

例1验证方程尸(x,y)=y-x-；siny=O在点(0,0)满足隐函数存在唯一性定理的条件，并求隐

《数学分析3》教案

函数的导数.

解因为(i)P(x,y)在全平面上连续；(ii)/(0,0)=0Fy=l-|cosy,工=一1在全平面

上连续；(iv)Fv(0,0)=1,所以F(x,y)=0在(0,0)附近可以确定隐函数y=/(x),且其导数：

工(x,y)12

y，=--------=---------=--------.

々a，y)l-lcosy2—cosy

2

例2z=/—.其中y=/(x)为由方程/+)，3-3。孙=0所确定的隐函数.求它.

2dx

分析：要求农，根据复合函数的求导法则可得包=2yy'-x,而对于y'是由方程