北京市北京一零一中学2023届高一数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若侧面水平放置时，液面恰好过

AC,BC,4G，4a的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为()

2.棱长分别为1、小、2的长方体的8个顶点都在球。的表面上，则球。的体积为

A8人

A.----71B.3后

3

「86

C.----71D.4A

3

3.若定义在R上的奇函数在(e,0)单调递减，且"2)=(),则旦。>0的解集是。

X

A.(―of,—2)U(°，2)B.(―8,-2)<J(2,+oo)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-2,0)U(2,4W)

4.已知平面向量打=(加+1,-2),3=(一3,3),若Z//B，则实数加值为()

A.OB.-3

C.lD.-1

5.下列函数是偶函数且值域为［0,+。)的是。

i1112

①y=N；©y=xi®y=2；@^=x+|x|

A.①(DB.②③

C.①④D.③④

hn

6.设A=一+7，其中。、人是正实数，且山h,B=-X2+4%-2>则A与8的大小关系是O

ab

A.A>BB.A>3

C.A<BDM<B

7.三个数a=703,b=0.37,c=In0.3大小的顺序是

A.a>c>bB.a>b>c

C.h>a>cD.c>a>h

8.函数y=x+。与y=“7（a>0且a0l）在同一坐标系中的图象可能是（）

9.若直线x+2y=0与直线/加—y+5=0垂直，则加=（）

A.lB.2

C.-lD.-2

10.使得x>y>。成立的一个充分不必要条件是。

11.

A.—<—B.sinx>smy>0

无y

C.eA>ev>2D.lnx>Iny

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

,万、-sina-cosa

11.若由（夕+:）=2,则n---------=_______

4sma+cosa

12.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧A8

和其对弦48围成的图形，若弧田所在圆的半径为6,弦A8的长是6相，则弧田的弧长为；弧田的面积是

13.如果直线(2a+5)x+(a—2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-l=0互相垂直，贝!|实数。=

14.若角£的终边经过点P(—1,6),则cos[a—g=

15.若存在常数&和瓦使得函数尸(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：尸(x)N丘+人和

G(x)<kx+h恒成立(或F(x)W区+人和G(x)>丘+力恒成立)，则称此直线y="+方为尸(x)和G(x)的“隔离直

线”.已知函数/(X)=—X2(XCR),g(x)」(x>0),若函数/(x)和g(无)之间存在隔离直线y=-3x+'则实

X

数人的取值范围是

16.定义在R上的奇函数/(X)周期为2,贝！)/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.若函数f(x)满足f(logM)=♦G-1)(其中a>0且aWl).

a-1x

(1)求函数/Tx)解析式，并判断其奇偶性和单调性；

(2)当xd(—8,2)时，人力一4的值恒为负数，求a的取值范围

18.观察以下等式：

①sin275°+cos2750-sin75°cos75°

②sin260°+cos2900-sin60°cos900

(§)sin230°+cos21200-sin30°cos1200

④sin245°+cos2l050-sin45°cos105°

⑤sir?(-15°)+COS2165-sin(-15°)cosl65°

(1)对①②③进行化简求值，并猜想出④⑤式子的值；

(2)根据上述各式的共同特点，写出一条能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明

八71\

19.已知函数/（X）=2COS［2X+KJ

（1）求当犬x）取得最大值时，x的取值集合;

（2）完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数八x）在［0,兀］上的图象.

5兀2兀

兀

X12T

c兀7T713兀1371

2xH—兀2兀

62TT

-2073

20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风

险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.

（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少

万元？

21.已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元•设公司一年内共生产该款

手机240）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且R（x）=W"-"詈

（1）写出年利润卬（万元）关于年产量x（万部）的函数关系式；

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解析】根据题意，当侧面AAAB水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放

置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h,故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案

【详解】根据题意，当侧面AABB水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，

33

设的面积为S,则水的体积丫水==SXAA1=6S,

44

当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h,

则有V*=Sh=6S,故h=6

故选A

【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题

2、A

【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为2a，故体积为:乃x(0/=半》，选A.

3、C

【解析】分析函数/(X)的单调性，可得出/(—2)=—./1⑵=0,分x<()、x〉0两种情况解不等式上区>0,综

x

合可得出原不等式的解集.

【详解】因为定义在R上的奇函数“X)在(-。,0)单调递减，则函数“X)在(0,+8)上为减函数.

且/(-2)=-〃2)=0,

当x<()时，由小i〉0可得f(x)<0=/(—2),则一2<x<0；

X

当x〉0时，由丛。>0可得/(x)>0=/(2),则0<x<2.

X

综上所述，不等式丛。>0的解集为(—2,O)U(O,2).

x

故选：C.

4、C

【解析】根据Z//B，由3(机+1)=(-3)•(-2)求解.

【详解】因为向量&=(%+1,—2),1=(-3,3),且2//1

所以3(机+1)=(-3)•(-2),

解得m=l>

故选：C.

5、C

【解析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案.

【详解】对于①，y=N是偶函数，且值域为［(),+“)；

对于②，y=x’是奇函数，值域为R；

对于③，y=是偶函数，值域为［1,+8)；

对于④，y=x2+|x|偶函数，且值域为［0,+8),

所以符合题意的有①④

故选：C.

6、B

【解析】利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出A与区的大小关系.

【详解】因为。、〃是正实数，且标b,则A=3+£>2，H=2,

8=-X?+4x-2=-(x-2)+2W2,因此，A>B-

故选：B.

7、B

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性知：。=7°3>7°=1,即。>1；0<。=0.37<0.3°=1,即()<6<1；

c=ln().3<lnl=0,即c<0；所以a>b>c,故正确答案为选项B

考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法

8、B

【解析】分析一次函数y=x+a的单调性，可判断AD选项，然后由指数函数>的单调性求得。的范围，结合

直线y=X+。与）'轴的交点（o,a）与点（0,1）的位置关系可得出合适的选项.

【详解】因为一次函数丁=%+。为直线，且函数'单调递增，排除AD选项.

对于B选项，指数函数、，=4=二单调递减，则0<一<1,可得。>1,

a

此时，一次函数y=x+”单调递增，且直线y=x+a与y轴的交点（0,a）位于点（0,1）的上方，合乎题意；

对于C选项，指数函数丫=优，=（，）单调递减，则可得〃>1,

此时，一次函数丁=%+。单调递增，且直线y=x+a与）'轴的交点（0,。）位于点（0,1）的下方，不合乎题意.

故选：B.

9、B

【解析】分析直线方程可知，这两条直线垂直，斜率之积为-1.

【详解】由题意可知加x（-=即加=2

故选：B.

10、C

【解析】由不等式、正弦函数、指数函数、对数函数的性质，结合充分、必要性的定义判断选项条件与已知条件的关

系.

【详解】A：!〈,不一定有x>y>0不成立，而x>y>0有,<，成立，故为必要不充分条件；

xyxy

B：sinx>siny>0不一定x>y>0成立，而x>y>0也不一定有sinx>siny>0,故为既不充分也不必要条件;

C：e'>e'>2必有%>y>0成立，当x>y>0不一定有e"〉ev〉2成立，故为充分不必要条件；

D：lnx>lny必有x>y>0成立，同时x>y>0必有lnx>Iny,故为充要条件.

故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、--

2

.tana—111

sina-cosa-------=-----------=——

［解析］---------=tana+12

sina+cosattan（a+—A）

12、①.4%②.124—

【解析】在等腰三角形。48中求得NAQB,由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积

27r

【详解】•.•弧田所在圆的半径为6,弦A3的长是6JJ，•••弧田所在圆的圆心角NA0B=7，

21

；・弧田的弧长为6x——=4万；

3

扇形A08的面积为」x4万x6=12〃，三角形AOB的面积为，x66x3=9G，...弧田的面积为12万一96.

22

故答案为：4万；12乃—96

13、—2或2

【解析】分别对两条直线的斜率存在和不存在进行讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于。的方程可求

得结果

【详解】设直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0为直线机：直线(2-a)x+(a+3)y—1=()为直线"，①当直线比率不

存在时，即a—2=0,a=2时，直线〃的斜率为0,

故直线〃?与直线"互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直

②当直线加和〃斜率都存在时，3=-空?，/=-女要使两直线互相垂直，

a-2a+3

即让两直线的斜率相乘为-1,故。=-2

③当直线〃斜率不存在时，显然两直线不垂直，综上所述：。=2或。=-2,

故答案为a=2或a=—2.

【点睛】本题主要考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于-1,应注意斜率不存在的情况，属于中档题.

【解析】根据定义求得sina=@,再由诱导公式可求解.

2

【详解】角a的终边经过点P(-1,6),

=正

则，

所以cos(af-')=sina

故答案为：B.

2

15、

_4

【解析】由已知可得-3彳+伏彳£火)、，2-3尤+优尤>0)恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即

x

可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数/(X)和g(x)之间存在隔离直线y=—3x+Z?,

所以当—f<—3x+b时，可得—f+3x-b<0对任意的xeR恒成立，

3aQ

则〃N—f+Bx,即—(工一7)?十:，所以〃之二；

244

当一2—3x+〃时，对x〉0恒成立，即〃<3XH—(x>0)恒成立，

xx

又当x〉0时，3%+->273,当且仅当3x=，即》=啦时等号成立，

xX3

所以b《26,

综上所述，实数人的取值范围是

4

故答案为：4,26].

4

16、0

【解析】以周期函数和奇函数的性质去求解即可.

【详解】因为."X)是R上的奇函数，所以/(。)=0,又周期为2,所以/(2)=/(0)=0,

又/(1)=/(1一2)=/(-1)=-/(I),所以。(1)=0,故/(1)+/(2)=0,

则对任意keZ,/(I+2Q+/(2+2k)=/(1)+/(2)=0

故/(1)+/(2)+f(3)+…+/(2022)=1011x0=0

故答案为：0

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析.(2)[2-73,1)0(1,2+^]

【解析】试题分析：(1)利用换元法求函数解析式，注意换元时元的范围，再根据奇偶性定义判断函数奇偶性，最

后根据复合函数单调性性质判断函数单调性(2)不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：即/tx)最大值小

于4,根据函数单调性确定函数最大值，自在解不等式可得a的取值范围

试题解析：

(1)令log«x=t(t£R),则

.../•(»=/(」一］9

/•f(x)=(a*—a5(x£R)

•••F(一力=/(a--aO=-^(a，-ar)=-f(x),.•.F(x)为奇函数

当a＞l时，y=a，为增函数，尸一a;为增函数,且£＞。，

.•.f(x)为增函数

其〈仇

当OVaVl时，尸a'为减函数，尸一a-'为减函数，且

.,.Ax)为增函数.f(x)在R上为增函数

(2)•••F(x)是R上的增函数，.•.y=F(x)—4也是R上的增函数

由xV2,得f(x)Vf(2),要使f(x)—4在(-8,2)上恒为负数,

只需F(2)—4<0,即(a2—a-2)^4.

•­A4)W4,.•・,+iW4a,:•甘—4a+lW0,

二2一由WaW2+诉又aKL

•,.a的取值范围为［2—l)U(l,2+{§］

点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的A即可；不等式的解集为R是指不等式的

恒成立，而不等式的解集。的对立面(如/(幻＞机的解集是空集，则/(幻〈机恒成立))也是不等式的恒成立问题,

此两类问题都可转化为最值问题，即/(x)＜。恒成立o。＞/(x)max,/(x)＞a恒成立＜/(x)mil

18、(1)答案见解析；

2200

(2)sina+cos(150-＜z)-sin＜zcos(150-a)=—s证明见解析.

【解析】(1)利用特殊角的三角函数值计算即得；

(2)根据式子的特点可得等式，然后利用和差角公式及同角关系式化简运算即得，

【小问1详解】

I3

①sin2750+cos2750-sin75°cos75°=l--sin150°=-

24

②sin260°+cos2900-sin60°cos90°=—+0-与o-

424

③sin2300+cos21200-sin30°cos120°=-+---x(-i)=-

44224

猜想:

3

@sin245°+cos2105°-sin450cos1050=-

4

3

@sin2(-15°)+cos2165°-sin(-15°)cos165°=-

4

【小问2详解】

三角恒等式为sin2a+cos2(l50°一a)-sinacos(150°=—

证明：sin?Q+COS?(150°-a)-sinacos(1500-a)

=sin2a+(cos150°cosa+sin150°sina)2-sina(cos150°cosa+sin150°sina)

,3,1.2布.1.2

=sin2(7+-cos2a------smacosa+;sma+—sinacosa—-sura

42422

3.2323

=­sina+—cosa--

444

19、(1){.%=一1+无肛左GZ卜

(2)图象见解析.

【解析】(D利用整体法求解三角函数最大值时x的取值集合；(2)填写表格，并作图.

【小问1详解】

f(x)=2cos(2苫+己)

兀71

由2x+—=2&兀,&£Z,得尤=-----卜kn,keZ

612

故当夫X)取得最大值时，X的取值集合为无=&GZ，

【小问2详解】

函数大x）在［0,汨上的图象如下:

兀5兀2兀117C

X0兀

612T12

c兀兀兀3兀13兀

2xH—712兀

662~2~6~

y有0-202

20、(1)投资债券f(x)=：x(x20),投资股票g(x)=4J7U>0)；(2)投资债券类产品16万元，股票类投资为4

万元，收益最大值为3万元.

【解析】(1)设函数解析式=g(x)=&、&,代入x=l即可求出仁出的值，即