导数及其应用典例解析1

导数及其应用典例解析【例题1】设直线是曲线的一条切线，那么实数的值是.【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得，故切点，代入直线方程，得．【答案】【例题2】函数单调递增区间是.【解析】令.【答案】【例题3】设是函数的导函数，的图象如右图所示，那么的图象最有可能的是.〔填图象序号〕①②③④【解析】利用导函数的图像的零点，可以函数在及上单调递增，而在上单调递减．从而只有图像③符合要求．【答案】③【例题4】函数在时有极值，那么的值分别为________.【解析】由，得即解得，经检验：当时，不是极值点;当时，符合题意.【答案】【例题5】函数在上单调递增，那么实数的最大值为.【解析】(方法1),由,得即在区间上恒成立.,(方法2)令,那么把函数看成是函数,与函数的复合函数,在区间上单调递增,要使函数在上单调递增,只要在区间上单调递增即可.当且仅当,即,【答案】【例题6】函数在与时都取得极值,(1)求的值与函数的单调区间;(2)假设对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】〔1〕由,得，即,解得极大值极小值函数的单调递增区间是与,单调递减区间是.〔2〕由〔1〕得，在区间上，由，得，解得.故所求实数的取值范围为.【例题7】函数〔1〕求函数在上的最大值和最小值；〔2〕过点作曲线的切线，求此切线的方程.【解析】〔1〕，令，解得.在上,.,.〔2〕设切点为，那么所求切线方程为切线过点，，解得或切线方程为即或.【例题8】设函数,且函数在处取得一个极值.〔1〕求实数的值;〔2〕对于任意实数，恒成立，求实数的最大值；〔3〕假设方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围．【解析】(1)，由，得，即,解得.经检验：符合题意.故所求实数的值为.(2),(方法1)由,得,而,.实数的最大值为(方法2),,即恒成立,,解得，实数的最大值为当时,;当时,;当时,;当时,取得极大值;当时,取得极小值;当或时,方程有且仅有一个实根.解得或.实数的取值范围为.【例题9】从边长为的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形〔如右图所示〕，再将四边向上折起，做成一个无盖的正四棱柱铁盒，要求正四棱柱的高度与底面正方形边长的比值不超过常数.问：取何值时，容积有最大值．【解析】依题意:．,解得.函数的定义域为.假设，即，那么由，解得．当时,;当时,.当时,容积取得极大值,即为最大值,且.假设，即，那么有知V在定义域上为单调递增函数.当时，答:假设,那么当时,容积有最大值;假设,那么当时,容积有最大值.【例题10】函数，其中是自然常数，〔1〕讨论时,函数的单调性、极值；〔2〕求证：在〔1〕的条件下，；〔3〕是否存在实数，使函数的最小值是3，假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由.【解析】〔1〕时,，∴当时，;当时，∴在区间上是单调递减函数;在区间上是单调递增函数.∴取得极小值为〔2〕由(1)得在上的最小值为1，令，，当时，，在上单调递增.∴.∴在〔1〕的条件下，假设存在实数，使函数〔〕有最小值3，假设，那么,在上单调递减，，由,得〔不合题意,舍去〕②假设,即,那么当时,;当时,.在上单调递减，在上单调递增.,由,得符合题意.③假设,即,那么在上单调递减，，由,得〔不合题意,舍去〕综上所述:存在实数，使得当时有最小值3.稳固练习【练习1】在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，曲线在点处的切线的斜率为，那么点的坐标为．【练习2】函数的单调减区间为．【练习3】函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点个.【练习4】函数，当时，有极大值,那么的值分别为.【练习5】对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为,那么数列的前n项和的公式是.【练习6】,，是否存在实数,使同时满足以下两个条件：〔1〕在上是减函数，在上是增函数；〔2〕的最小值是，假设存在，求出，假设不存在，说明理由.【练习7】设函数〔〕，其中．〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕当时，求函数的极大值和极小值；【练习8】设其导函数的图象经过点，，〔1〕求函数的解析式和极值；〔2〕对都有恒成立，求实数的取值范围.【练习9】甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站【答案】6【解析】设∵在上是减函数，在上是增函数∴在上是减函数，在上是增函数.∴∴解得经检验，存在时，满足题设的两个条件.7【解析】〔1〕当时，，得，且，．曲线在点处的切线方程是，即．〔2〕．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．①假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．②假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．8【解析】〔1〕，且的图像经过点是方程的根.解得.由的图象,可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值函数有极大值〔2〕由〔1〕可知，对都有恒成立，即对，恒成立当时，显然成立；当时，等价于，即而当，有，当且仅当，即时,上式取等号,0.所求实数的取值范围为.【解析】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点km,那么∵,,∴又设总的水管费用为元，依题意有：,令,解得在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在处取得最小值，此时AC=50－x=20(km).答:供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.【练习10】设，.〔1〕令，讨论在上的单调性，并求极值；〔2〕求证：当时，恒有.【答案】6【解析】设∵在上是减函数，在上是增函数∴在上是减函数，在上是增函数.∴∴解得经检验，存在时，满足题设的两个条件.7【解析】〔1〕当时，，得，且，．曲线在点处的切线方程是，即．〔2〕．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．①假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．②假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．8【解析】〔1〕，且的图像经过点是方程的根.解得.由的图象,可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.函数有极小值函数有极大值〔2〕由〔1〕可知，对都有恒成立，即对，恒成立当时，显然成立；当时，等价于，即而当，有，当且仅当，即时,上式取等号,0.所求实数的取值范围为.【解析】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点km,那么∵,,∴又设总的水管费用为元，依题意有：,令,解得在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在处取得最小