大学物理刚体部分

刚体的转动第二

章§2-1刚体的一般运动及定轴转动刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。物理模型刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。（或任意两点之间的距离始终保持不变）刚体平动一、刚体运动（平动和转动）平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。刚体内任一点的运动代表整个刚体的运动转动:刚体围绕某一固定直线作圆周运动.刚体的一般运动=转动+平动定轴转动:

转轴固定不动的转动刚体的一般运动=平动+转动二、刚体定轴转动的描述转动平面：垂直于转动轴的平面。转动平面Mω0P描述P点运动：角量：（角位移、角速度…）线量：（位移、速度…）三、角速度矢量M00X参考方向θαv角位置：角位移：xyo角速度：复习角速度矢量ω角加速度：复习角加速度矢量：复习线量与角量的关系：复习总结：定轴转动运动学两类问题：1、已知角速度、角加速度。2、已知，求角速度、运动方程。，求角位移、与一维线量问题类似§2-2转动动能转动惯量一、转动动能问题：任一刚体绕定轴以转动其动能为多少？刚体m1,m2,

m3,…...

r1,r2,r3,…….

,,,…….r1,r2,r3,……的转动动能：整个刚体的转动动能：令：为刚体饶定轴转动的转动惯量。则：二、转动惯量转动惯量是物体转动惯性大小的量度。转动惯量的大小与刚体的总质量、质量分布以及转轴的位置均有关系。mm刚体转动惯量的求法：1、分离质量刚体转动惯量的求法：2、质量连续分布刚体转动惯量的求法：：质量元

对质量线分布刚体：：质量线密度

对质量面分布刚体：：质量面密度

对质量体分布刚体：：质量体密度例：求质量为m，长为l

的均匀细棒对下列转轴的转动惯量。

过中心并垂直棒的轴；

过端点并垂直棒的轴；距中心为h并垂直棒的轴。ml0

m

l0

m

l0h

平行轴定理m

l0h

讨论：平行轴定理以质心C为坐标原点Cz：质心轴MN//Cz对MN轴的转动惯量为----平行轴定理例2：求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘半径为R，质量为m，密度均匀。Rrdr[问题]半径为R质量为m的均匀圆环,对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量mm[练习]求半径为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量解：圆环的质量密度为在环上取质量元dm，dm距转轴r

讨论：薄板的垂直轴定理----垂直轴定理设刚性薄板平面为xOy面常见刚体的转动惯量薄圆盘球体细棒细棒§2-3力矩转动定律一、力矩1、力在转动平面内：FrφdM大小：方向：FrφdMFFF21r转动平面2、力不在转动平面内：只能引起轴的变形，对转动无贡献。二、转动定律证明如下：00`0MJ例：一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别悬挂质量为的物体，且<。设滑轮质量为，半径为，其转轴上所受的摩擦力矩为。绳与滑轮间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。

例：一半径为R、质量为m的均质圆盘，平放在粗糙的水平面上，设盘与水平面的磨擦系数为

，盘最初以角速度

0绕过中心且垂直盘面的轴转动，问它需多少时间才能停止转动？Rrdr[练习]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求滑轮的角加速度

及各绳中的张力T1、T2解：设m1向下运动解得例：一飞轮的转动惯量为J，在t=0时的角速度为

0，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数为k，当

=0/3时，飞轮的角加速度

=？从开始制动到

=0/3所经历的时间t=?解：与一维质点动力学方法一致§2-4力矩的功动能定理一、力矩的功00功率：问题：为何不考虑内力作功？二、动能定理质点的动能定理：推广到刚体证明：三.机械能守恒1.刚体的重力势能以XOY平面为重力势能参考面，取质元

mi

，势能为对刚体刚体重力势能由刚体的质心相对于参考零点的高度决定，即可看作是质量集中在质心的势能。

2.机械能守恒（适用于系统）根据刚体定轴转动的动能定理保守的系统内力矩的功为：当A非+A外=0时

----刚体的机械能守恒[练习]长为l，质量为m的均匀细杆OA，绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由转动。已知另一端A过最低点时的速率为v0。求杆摆动时A点升高的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)解：机械能守恒最低点处最高点处动能势能动能势能例：一均质细杆质量为m、长为

l一端固定，求其从水平位置转过

角时A端的速率加速度m、

lOAAmg

如何求at?[练习]转动惯量为J

的圆盘绕一固定轴转动,初始角速度为。设它所受的阻力矩为(K为正常数)，求：(1)它的角速度从变到所需的时间;(2)在上述过程中阻力矩所做的功.解(1)由转动定律(2)由动能定理§2-5刚体的角动量和角动量守恒定律一、定轴转动刚体的角动量二、刚体的角动量定理和角动量守恒定律-----冲量矩定义质点力学：刚体所受冲量矩=刚体角动量的增量当M=0时，=常量----刚体的角动量守恒定律角动量（动量矩）守恒律是自然界一条基本守恒律，适用于宏观和微观的所有客体，是时空各向同性的表现。ω花样滑冰运动员通过改变身体姿态即：改变转动惯量来改变转速直升机设计中的角动量守恒生物界的角动量守恒[

例1

]

两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为

1,2。求：1.对接后共同的角速度

；2.对接过程中的机械能损失。ωω2ω1J2J1

[例]

人和转盘的转动惯量为I0，哑铃的质量为m，初始转rr12mmI0求：双臂收缩由r1变为r2时的角速度及机械能增量。速为

1，ωωωωωωωIIIIIIIII====11222()0000++++222)))(((111111222((000+++))ΔEk22222((0002221111++))221I＞2非保守内力作正功，机械能增加rr12mmI0ω12mrrrmm222rrmm22mmrr2rm222mr由角动量守恒2

例：质量为、半径为的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。设阻力可以忽略不计。质量为的人，站住台的边沿，台和人原来都静止。如果人沿台的边沿跑一周，人和转台相对于地面各转了多少角度？RMm合外力矩为零，角动量守恒：式中：分别为转台和人的转动惯量。分别为相应的角速度。解得：人相对转台的角速度：人在台上跑一周需时：人相对地面转过的角度：转台相对地面转过的角度：应有：[练习]

质量为M、半径为R的水平放置圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车模型A、B可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道运行。最初小车和转台都不动，令外轨道小车作反时针转动，内轨道小车顺时针转动，相对于转台的速率均为v。求转台对地面的角速度。AB解：设转台对地面的角速度为

，且逆时针运转A相对于地面的角速度B相对于地面的角速度由角动量守恒其中AB可得----顺时针运转例：质量为M，