等式性质与不等式性质第一课时+高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章

§2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式问题1

生活中，我们经常看到下列标志，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？提示①最低限速50km/h，v≥50.②限制质量10t，0<ω≤10.③限制高度3.5m,0<h≤3.5.④限制宽度3m,0<x≤3.⑤时间范围7：30－10：00,7.5≤t≤10.讲授新知常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言__

________><

≥≤

例1.某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组).解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，如何求解此不等式？问题2

在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？

设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.

变式2.(1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小.∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.解：

作差法比较两个实数大小的基本步骤反思感悟问题3

如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能找出一些相等关系和不等关系吗？第二十四届国际数学家大会2002年在北京国际会议中心隆重举行。此次大会在世界上创造了四个第一：1、这次会议，是历史上，“国际数学家大会”第一次在发展中国家召开。2、这次会议是科技史上，中国数学家和外国数学家参加人数最多的一次会议。3、在世界上，第一次在中国召开的国际数学家大会，并由中国数学家担任大会主席。4、是世界历史上，发展中国家规模最大的数学会议。

举办数学家大会，表明中国数学研究的实力已增强，是中国在国际数学界和科学界地位的体现，是中国数学和世界数学接轨的重要标志，是中国数学发展的新起点，是国际数学人才交流的盛会，它掀开了国际数学发展的崭新一页。张伟，2004年毕业于北京大学数学科学学院，获学士学位。2009年获美国哥伦比亚大学博士学位。曾任美国哥伦比亚大学教授，现为美国麻省理工学院教授。他与恽之玮因发现证明了函数域中的高阶Gan-Gross-Prasad猜想同获2017科学突破奖之数学新视野奖。他在2018第28届国际数学家大会上所作报告题目为“Periods,cycles,andL-functions:Arelativetraceformulaapproach”。受Gross-Zagier和Waldspurger公式的启发，他回顾了关于自首周期积分的猜想和定理，志村簇上的特殊圈，以及它们对于L-函数及其导数的中心值的联系。着重于全局的Gan-Gross-Prasad猜想，他们的算术版本以及一些变形，讨论了相对迹公式和算术基本引理猜想等研究成果。

证明:a2＋b2－2ab＝(a－b)2.因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，

因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明.反思悟变式3.设a＞0，b＞0，求证：a5＋b5≥a4b＋ab4.a5＋b5－(a4b＋ab4)＝(a5－a4b)＋(b5－ab4)＝a4(a－b)＋b4(b－a)＝(a4－b4)(a－b)＝(a2＋b2)(a2－b2)(a－b)＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2，因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，a2＋b2＞0，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以(a2＋b2)(a＋b)(a－b)2≥0.所以a5＋b5≥a4b＋ab4.证明：课堂小结1.知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系.(2)作差法比较大小.(3)重要不等式.2.方法归纳：作差法.3.常见误区：实际问题中变量的实际意义.练习1.已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，试比较M与N的大小.∵0<a1<1,0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a