2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page11页，共=sectionpages11页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，共=sectionpages22页2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件中，属于不可能事件的是(

)A.通常加热到100℃时，水沸腾B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6D.任意画一个三角形，其内角和是360°3.用配方法解一元二次方程x2−6x−4=0，下列变形正确的是(

)A.(x−6)2=−4+36 B.(x−6)2=4+36

C.4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则xA.4 B.−4 C.3 D.−35.正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为(

)A.30° B.60° C.120° D.180°6.某学校准备建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为x m.则可列方程为(

)A.x(x−10)=200 B.2x+2

(x−10)=200

C.x(x+10)=200 D.2x+2(x+10)=2007.已知关于x的方程x2+mx+1=0根的判别式的值为12，则m的值是(

)A.±3 B.3 C.4 D.±48.将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是(

)A.y=5(x+2)2+3 B.y=5(x+2)2−39.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为(

)A.120° B.180° C.240° D.300°10.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x…−1013…y…−3131…则下列判断中正确的是(

)A.抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=4时，y>0

D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与11.如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM=60°，B点是AN的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为(

)A.1 B.22 C.2 D.12.如图，点A的坐标为(−3,2)，⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为(

)A.(0,2) B.(0,3) C.(−2,0) D.(−3,0)第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______．14.如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，则∠A的大小为______(度)．15.生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16.如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两个点，OC//AG.若∠GAC=28°，则∠BOC的大小=______度．17.如图，从y=ax2的图象上可以看出，当−1≤x≤2时，y的取值范围是______．18.在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．

(1)如图①，将线段CA绕点C顺时针旋转30°，所得到与AB交于点M，则CM的长=______；

(2)如图②，点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转，得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转______度时，线段CF的长最大，最大值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)

解下列方程：

(1)x(x−3)+x−3=0；

(2)3x220.(本小题8.0分)

在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上数字1，2，3，4.小明先随机摸出1个小球，放回，小强再随机摸出1个小球，记小明摸出的球的标号为x，小强摸出球的标号为y．

(1)利用画树状图或列表的方法，写出取出的两个小球所有可能的结果；

(2)小明和小强共同协商一个游戏规则：当x>y时，小明获胜，否则小强获胜，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．21.(本小题10.0分)

如图，在半径为50的⊙O中，弦AB的长为50．

(1)求∠AOB的度数；

(2)求点O到AB的距离．22.(本小题10.0分)

已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

(1)求证：AB=AC；

(2)若AB=4，BC=23，求CD的长．23.(本小题10.0分)

某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件．销售价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售价为每件x元(x≥50)，月销量为y件，月销售利润为w元．

(Ⅰ)当销售价为每件60元时，月销量为______件，月销售利润为______元；

(Ⅱ)写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；

(Ⅲ)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．24.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，点A(6,0)，点B(0,8)，把△AOB绕原点O逆时针旋转，得△COD，其中，点C，D分别为点A，B旋转后的对应点．记旋转角为α(0°<α<360°)．

(1)如图，当α=45°时，求点C的坐标；

(2)当CD//x轴时，求点D的坐标(直接写出结果即可)．25.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax2+2x−1(a≠0)和直线l；y=kx+b，点A(−3,−3)、B(1,−1)均在直线l上．

(1)求直线l的表达式；

(2)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；

(3)当a=−1，二次函数y=ax2+2x−1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A.是中心对称图形，故本选项正确；

B.不是中心对称图形，故本选项错误；

C.不是中心对称图形，故本选项错误；

D.不是中心对称图形，故本选项错误；

故选A．

根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．

2.【答案】D

【解析】解：A.通常加热到100℃时，水会沸腾是必然事件，因此选项A不符合题意；

B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，因此选项B不符合题意；

C.掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件，因此选项C不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是180°，因此选项D，符合题意．

故选：D．

根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．

本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．根据配方法，可得方程的解．

【解答】解：x2−6x−4=0，

移项，得x2−6x=4，

配方，得(x−3)2

4.【答案】D

【解析】解：x1⋅x2=−3．

故选D．

根据根与系数的关系求解．

本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程5.【答案】B

【解析】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转至少360÷6=60度，能够与本身重合．

故选：B．

正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定．

本题考查旋转对称图形的知识，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．

6.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．根据花圃的面积为200进而列出方程即可．

【解答】

解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，

∴长为(x+10)米，

∵花圃的面积为200m2，

∴可列方程为x(x+10)=200．

故选C7.【答案】D

【解析】解：∵关于x的方程x2+mx+1=0的根的判别式的值为5，

∴Δ=m2−4×1×1=12，解得m=±4．

故选：D．

先根据关于x的方程x2+mx+1=0的根的判别式的值为5即可得出关于m的一元二次方程，求出m的值即可．8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线的平移法则解答本题的关键．

根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，即可求解．

【解答】

解：原抛物线向左平移2个单位得y=5(x+2)2，再向下平移3个单位，抛物线的解析式为：y=5(x+2)2−3．9.【答案】B

【解析】解：设母线长为R，底面半径为r，

∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，

∵侧面积是底面积的2倍，

∴2πr2=πrR，

∴R=2r，

设圆心角为n，有nπR180=2πr=πR，

∴n=180°．

故选：B．

根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．10.【答案】D

【解析】解：由图表可得，

该函数的对称轴是直线x=0+32=32，有最大值，

∴抛物线开口向下，故选项A错误，

抛物线与y轴的交点为(0,1)，故选项B错误，

x=−1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=−3<0，故选项C错误，

方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确，

故选：D11.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=2OA，即为PA+PB的最小值．

【解答】

解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，

则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，

∵∠ACM=60°，

∴∠AOM=2∠ACM=2×60°=120°，

∴∠AON=60°，

∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，

由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′=2OA=2×1=212.【答案】D

【解析】解：连接AQ、PA，如图，

∵PQ切⊙A于点Q，

∴AQ⊥PQ，

∴∠AQP=90°，

∴PQ=AP2−AQ2=AP2−1，

当AP的长度最小时，PQ的长度最小，

∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，

∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，

∵A(−3,2)，

∴此时P点坐标为(−3,0)．

故选：D．

连接AQ、PA，如图，利用切线的性质得到∠AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=13.【答案】38【解析】解：不透明袋子中装有8个球，其中有5个红球、3个绿球，

∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是38；

故答案为：38；

用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．

本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=14.【答案】60

【解析】解：连接OC，

∵∠AOB=120°，C是AB的中点，

∴∠AOC=60°，

∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠A=60°，

故答案为：60

连接OC，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，进而利用等边三角形的性质解答即可．

此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出∠AOC=60°解答．

15.【答案】15

【解析】解：设全组共有x名同学，

x(x−1)=210，

解得，x=15

故答案为：15．

根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

16.【答案】56

【解析】解：∵OC//AG，∠GAC=28°，

∴∠OCA=∠GAC=28°，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA=28°，

∵由圆周角定理得：∠BAC=12∠BOC，

∴∠BOC=2∠BAC=56°，

故答案为：56．

根据平行线的性质求出∠OCA=∠GAC=28°，根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠OCA=28°，根据圆周角定理得出∠BAC=117.【答案】0≤y≤4

【解析】解：由图象可知x=−1时，y=1，

当x=2时，y=4，

而抛物线的对称轴为x=0时，y=0，

∴0≤y≤4

故答案为0≤y≤4，

根据函数图形得出x=−1和x=2时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可．

此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴x=0，要特别注意．

18.【答案】6；150；6+3【解析】【分析】

本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及特殊三角形的性质，并具有综合应用的能力．

(1)根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解．

(2)取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以EF=12AD，因为EC+EF≥CF，所以CF最大值=EC+EF=6+3．

【解答】

解：(1)如下图①所示：

∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，

∴△AMC为等腰三角形，AM=MC

∵∠BAC=30°，

∴△MBC为等边三角形，

∴AM=MB=CM

又∵BC=6，

∴AB=2BC=12，

∴CM=6

故答案为：6

(2)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，

∴AB=12，

取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以EF=12AD，

∵EC+EF≥CF，

CF最大值=EC+EF=6+3，

即：当将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为6+319.【答案】解：(1)x(x−3)+x−3=0，

(x−3)(x+1)=0，

x−3=0或x+1=0，

所以x1=3，x2=−1；

(2)3x2−5x+1=0，

∵a=3，b=−5，c=1，

∴Δ=(−5)2−4×3×1=13>0【解析】(1))先利用因式分解法把方程转化为x−3=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可；

(2)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

20.【答案】解：(1)由条件，可列树形图如下：

共有16种等可能的结果；

(2)不公平，

由树状图知，符合x>y的有6种，

∴小明获胜的概率为=，小强获胜的概率为，

∵≠，

∴不公平．

【解析】(1)根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果；

(2)由树状图得出小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案．

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

21.【答案】解：(1)∵OA=OB=50，AB=50，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠AOB=60°；

(2)过点O作OC⊥AB于点C，

则AC=BC=12AB=25，

在Rt△OAC中，OC=OA2−AC2=253【解析】(1)判断出三角形OAB是等边三角形即可得出∠AOB的度数；

(2)过点O作OC⊥AB于点C，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC．

本题考查了垂径定理、勾股定理及等边三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度一般，注意各知识点的掌握．

22.【答案】(1)证明：∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，(∵∠EDC+∠ADE=180°,∠B+∠ADE=180°,∴∠EDC=∠B)

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

(2)解：连接BD，

∵AB为直径，∴BD⊥AC，

设CD=a，

由(1)知AC=AB=4，

则AD=4−a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2−AD2=42−(4−a)2

在Rt△CBD中，由勾股定理可得：【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；

(2)连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，结合勾股定理和垂径定理可求得CD的长．

23.【答案】400

8000

【解析】解：(Ⅰ)当销售价为每件60元时，月销量为500−10×(60−50)=400(件)，

月销售利润为400×(60−40)=8000(元)，

故答案为：400，8000；

(Ⅱ)y=500−10(x−50)=−10x+1000，

w=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，(50≤x≤100)；

(Ⅲ)w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，

∵−10<0，

∴当x=70时，w取得最大值9000，

故销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．

(Ⅰ)根据月销售量=500−(定价−50)×10，即可求出当销售单价定为60元时的月销售量，再利用月销售利润=每件利润×