专题11直线与圆的位置关系（6个知识点7种题型3种中考考法）（原卷版）

专题11直线与圆的位置关系（6个知识点7种题型3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：直线和圆的位置关系知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）知识点3：切线的判定（难点）知识点4：切线的性质（重点）知识点5：三角形的内切圆知识点6：切线长定理（难点）【方法二】实例探索法题型1：直线与圆的位置关系的应用题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题题型3：切线的判定和性质的综合应用题型4：三角形的内切圆的应用题型5：切线长定理的应用题型6：与切线性质有关的动态问题题型7：圆的切线与一次函数综合应用【方法三】仿真实战法考法1：直线与圆的位置关系考法2：切线的判定考法3：切线的性质【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系。2.掌握切线的概念，会描述切线与过切点的半径之间的关系，能判断一条直线是否为圆的切线，会用三角尺画过圆上一点的切线。3.知道三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念，会作知识三角形的内切圆。4.知道切线长的概念，会证明并掌握切线长定理，并运用切线长定理解决相关问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：直线和圆的位置关系(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

要点诠释：

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【例1】（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定知识点3：切线的判定（难点）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．要点诠释：

切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.【例2】．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【变式】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．知识点4：切线的性质（重点）（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【例3】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°知识点5：三角形的内切圆1.三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.

要点诠释：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【例4】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步知识点6：切线长定理（难点）（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．【例5】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．【方法二】实例探索法题型1：直线与圆的位置关系的应用1．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移xcm，求x的取值范围2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题3．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）4．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长．5．（2023•崇川区校级三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．题型3：切线的判定和性质的综合应用6．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．（1）证明：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．7．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）如图①，△OPC的最大面积是；（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．题型4：三角形的内切圆的应用8．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为．9．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为．10．（2022秋•江阴市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是°．11．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于．12．（2022春•定远县校级月考）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．题型5：切线长定理的应用13．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．14．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．题型6：与切线性质有关的动态问题15．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为．16．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）如图，在梯形中，AD∥BC，，，，，为的直径，动点从点开始，沿边向点以的速度运动，点从点开始，沿边向点以的速度运动，点、分别从点、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．（1）当为何值时，四边形是平行四边形?（2）当为何值时，直线与相切?题型7：圆的切线与一次函数综合应用17．（2022春·九年级课时练习）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求△PAB面积的最大值．18．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．19．（2023·全国·九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．20．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ≤PO＜PQ且PO＜3，我们称点P是线段OQ的“潜点”．已知点O（0，0），Q（0，2）．(1)在P1（﹣2，0），P2（，），P3（1，﹣2）中是线段OQ的“潜点”是；(2)若点P在直线y＝﹣x上，且为线段OQ的“潜点”，求点P横坐标的取值范围；(3)直线yx+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜点”时，直接写出b的取值范围为．【方法三】仿真实战法考法1：直线与圆的位置关系21．（2023•宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）A．2 B．5 C．6 D．8考法2：切线的判定22．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．考法3：切线的性质23．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝°．24．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．25．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2021秋•惠山区校级月考）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定2．（2021•永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm3．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．平行4．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°5．（2018秋•亭湖区校级月考）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．80°6．（2022•宿豫区校级开学）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（）A．125° B．120° C．115° D．110°7．（2022秋•浦口区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离8．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切9．（2022秋•盐都区月考）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100° B．160° C．80° D．130°10．（2022秋•宝应县月考）如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A．∠BAE＝2∠DAE B．四边形EFGH是菱形 C．AD＝3CE D．GH⊥AO二．填空题（共8小题）11．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝30°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是．12．（2022秋•宿豫区校级月考）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是．13．（2017秋•射阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．14．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为．15．（2022•宿豫区校级开学）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是．16．（2022秋•玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是．17．（2022秋•淮阴区月考）如图，PA切⊙O于点A，PC过点O且交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径为．18．（2022秋•江阴市校级月考）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是．三．解答题（共8小题）