（沪教版2020选修一）2022年上海高二数学同步讲义-第5讲 圆的方程(核心考点讲与练)（教师版）

第5讲圆的方程(核心考点讲与练)

一、圆的标准方程和一般方程

1.圆的标准方程与一般方程

①圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圆心为(。力)，半径为r；

22

npJn+)7_4F

②圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标半径为-------------。

222

方程表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0

2.以4%,y)、B(x2,y2)为直径端点的圆方程为(%-%)。-工2)+(了一%)0-%)=0

二、用圆中的几何关系及圆系方程

1、过两圆交点的圆系方程：

圆：f+/+O]X+E[y+£=0与圆：/+V刍，+工=0相交，过两圆交点的圆系方

222

程为：x+y+D^+Ety+F}+A(x+/+D2x+E2y+F2)=0(2r—1)

若：2=-l,则是两圆的相交弦方程.

2、过圆与直线交点的圆系方程；

圆：/+：/+瓜+或+尸=0与直线：4%+4丫+。=0相交，过圆和直线交点的圆系方程为：

(%-+y~+Dx+Ey+/)+A(Ax+By+C)—0.

师点睛

考点一：圆的标准方程和一般方程

例1.（2022•上海•高三专题练习）已知实数人"荫足X2+V+4X-6），+12=0,贝打的最大

值是（）

A.3B.2C.-1D.-3

【答案】C

【分析】首先确定圆的圆心和半径，再确定x的最大值.

【详解】方程变形为（x+2y+（y-3）2=l,圆心（-2,3）,半径r=1,则x的最大值是

-2+l=-l.

故选：C

例2.（2021•上海•高二专题练习）已知复数2=工+讨（x,ywR）满足|z-2|=&,则上的

X

最大值为（）

A.；B.3C.立D.73

232

【答案】D

［分析］根据复数的几何意义求出复数z=x+W的轨迹方程再根据上的几何意义求解即可.

X

【详解】因为IZ-21=石，故|（x-2）+川=力，即（*-2）2+丁=3.又?的几何意义为（X,y）到

（0,0）的斜率.故当过原点的直线与（x-2y+y2=3切于第一象限时?取得最大值.此时设切线

【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档

题.

例3.（2021•上海市长征中学高二期中）圆/+y?-2x-3=0的半径大小为

【答案】2

【分析】直接将圆的方程转化为标准方程可得解.

【详解】圆/+/-2x-3=0整理为标准方程得：（x-l）2+V=4,

所以半径为2.

故答案为：2.

例4.（2017•上海•高三学业考试）圆月+9-6%+10），+30=0的圆心坐标为

【答案】（3,-5）

【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可.

【详解】由r+V-6*+10旷+30=0可得（*-3丫+（y+5）?=4

所以圆心坐标为（3,-5）

故答案为：（3,-5）

例5.（2022•上海•高三专题练习）已知平面上到两直线》=彳与丫=丘的距离平方和为1的

点的轨迹是一个圆，则实数&=.

【答案】-1

【分析】根据题意列出方程，再化简，满足圆的方程的条件得到关于上的方程，最后解方程

即可.

【详解】设此点的坐标为（x,y）,则依题意有=1,

化简得（；+,*+?+舟））,、（岛+1）孙=1,

此方程要表示圆，则2告k+l=（）n&=-L

k-+1

故答案为：-1.

例6.（2022•上海•高三专题练习）过圆V+y2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直

线方程为___________

【答案】x-2y-2=0

【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为T求出所求直线的斜

率，再由点斜式即可得所求直线的方程.

【详解】由V+V-4x=0可得（x-2y+丁=4,

所以圆心为（2,0）,

由2x+y=0可得y=-2x,所以直线2x+y=0的斜率为-2,

所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为3,

所以所求直线的方程为：y-0=i(x-2),即x-2y-2=0,

故答案为：x-2y-2=0.

例7.(2021•上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习)若。力的半径为5,圆心力的坐标是

(3,4),点门的坐标是(5,8),则尸与。｛的位置关系；

【答案】P在。A内.

【分析】写出圆的方程，将点的坐标代入圆的方程即可判断出点与圆的位置关系.

【详解】因为圆的方程为(x-3)2+(y-4)2=25,P(5,8)

则(5-3)2+(8-4)2<25,

所以「在。A内，

故答案为：P在。A内.

例8.(2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习)直角坐标平面中，若定点/

(1.2)与动点夕(x,y)满足丽.丽=4，则点外勺轨迹方程是.

【答案】x2+y2-x-2y-4=0

【分析】设点尸(x,y),贝I］而=(x,y),由A(l,2),所以汨5=(x-l,y-2),代入丽•丽=4，即

可求解.

【详解】设点尸(xy),

VA(l,2),

OP=(x,y),AP=(x-l,y-2)

"."OPAP=4,

(x,y)-(x-l,y-2)=4,

x(x-l)+y(y-2)=4,

即x2+y2-x-2y-4=0.

因此点那］轨迹方程是犬+V-x-2y-4=0.

故答案为：x~+y2-x-2y-4=0

•J3x+y<4>/3

例9.(2022•上海•高三专题练习)已知x,"R,且满足,百x-”0?,若存在6eR使

y>0

得xcos8+(>-2)sin。=2成立，则点尸(x,y)构成的区域面积为

【答案】5凤.

2

【分析】转化为即一/h21.T1,即

xcos6+(y_2)sin6=2sin(a+9)22

yjx+(>?-2)a+(y-2/

x2+(y-2)2>4,则对•应的区域为以C(0,2)为圆心，厂=2的圆的外部，用三角形面积减去区

域内弓形的面积即可

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形/8

若存在使得xcos6)+(y-2)sinO=2成立，

/\

则+。-2)2/'^=cosl+7,2sin。=2

Y"(一)2J-2)

Xy—2

令sina=.|ji|icosa=.=

、b+(y—2)一人J+(>-2尸

则方程等价为JW+(y-2尸sin(a+。)=2,

2

即sin(a+6)=

7%2+(y-2)2，

存在eG"使得xcos°+(y—2)sin6=2成立,

2

41,即Y+(y—2)224,

ylx2+(y-2)2

则对应的区域为以C(0,2)为圆心，/-2的圆的外部，即如图所小的阴影部分

x=2

解得,即B(2,29,

y=26

4(4,0),则三角形的解J面积S=；X4X2>/5=4G,

直线y=^x的倾斜角为号,

贝IjZAOB=:.ZCOB=工

36

取。为直线y=交圆所得弦的中点，则8,08

ZDCO=---=-

263

.•.8=1,00=6

因此三角形以岖域内的弓形面积为：1x^x22-lx2x2xsiny=y-^

故阴影部分面积为：4x/3-(y-^)=5V3-y

故答案为：56-与

例10.(2021•上海•高二专题练习)圆拱桥一孔圆拱，如图所示，该圆拱的跨度A8=20

米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱4巴的长度(精确到0.01

【答案】3.86米

【分析】以。为原点，AB方向为X轴方向建立坐标系，则圆心在y轴，设圆心坐标，可得圆

弧的方程，将X=-2代入圆方程，可求支柱人修的高度.

【详解】以。为原点，A8方向为x轴方向建立坐标系，则圆心在>轴，设圆心坐标为

(0,。)，圆的半径为「，那么圆的方程为f+。-6)2=,，因为op=4,则有

(4-力2=/+ioo=/，

得6=-10.5,r=14.5,

故圆的方程为/+(y+IOS)?=14S,把点纸j横坐标_2代入上述方程得：

(-2)2+(>+10.5)2=14.52,

例11.(2021•上海市长征中学高二期中)1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船

r,这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助

几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆

弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点

法画出圆弧线.如图，已知圆弧AB的半径r=29米，圆弧AB所对的弦长/=12米，以米为

单位，建立适当的坐标系，并求圆弧A8的方程(答案中数据精确到0.001米，

^/8(j5«28.373).

【答案】x2+(y+28.373尸=292(-6<x<6,^>0)

【分析】以A8所在直线为x轴，弦A8的垂直平分线为y轴，根据勾股定理求得圆心坐标即

可得解.

【详解】

如图，以A8所在直线为x轴，弦AB的垂直平分线为丫轴，建立平面直角坐标系，

设圆弧的圆心为C,连接4C,则4O=；/=6,

所以OC=yjAC2-OC2=V292-62x28.373>

即圆心的坐标为C(O,-28.373),

所以圆弧AB的方程为炉+(丫+28.373)2=292(-64x46,y20)

例12.(2020•上海•高二课时练习)在平面直角坐标系中，曲线y=/-6x+l与坐标轴的

交点都在圆。L.

(1)求圆亦方程；

(2)若圆占直线x-y+4=O交于4晒点，且。求a的值.

【答案】(1)(x-3)2+(y-l)2=9(2)-1

【分析】(1)求出曲线y=x?-6x+l与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆

心坐标和半径，从而可得圆的方程；

(2)设4%/),6(々,必)，联直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得玉+%=4-4，

a22a+l

xtx2=~,根据04,05得工出+,%=0，化为2飞当+q(&+xj+/=0,进而可解得

6Z=-1.

【详解】⑴曲线y=1-6x+l与坐标轴的交点为(0,1),(3±2&,0)，

由题意可设圆微圆心坐标为(3,/),

；・旧+«_1)2=J(±2近)2+户,解得f=l,

圆C的半径为6+(1-1)2=3,

二圆亦方程为&-3尸+(丫-1)2=9.

(2)设点从8的坐标分别为8仇,必)，其坐标满足方程组］：［；；：；；_］＞=荣消

去V得至IJ方程2x2+(2〃-8)x+a?-2〃+1=0,

由已知得，判别式△=56-16a-4/＞。①，

由根与系数的关系得%+々=4-。，②,

由OA_LOB得x,x2+y(y2=0.

又•.•％=为+0,yt=x2+a,演々+乂必=0可化为2%吃+4(百+xj+/=0③，

将②代入③解得a=T,经检验，。=-1满足①，即A＞0,

/.6T=—1.

【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系

数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.

例13.(2020•上海市建平中学高二阶段练习)已知圆经过点41,0)和且圆心在直

线/:x-y+l=0上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若线段CO的端点。的坐标是(4,3),端点C在圆C上运动，求CO的中点M的轨迹方

程.

【答案】(1)(x+l)2+y2=4；(2)(x-|j+L-|j=1.

【分析】(1)设圆心的坐标为(小+1),由圆的性质列方程可得/=-1,计算出圆的半径后即

可得解；

(2)设线段CO中点M(x,y),C(x“J,由中点坐标公式可得(2x-4+iy+(2y-3『=4,化

简即可得解.

【详解】⑴设圆心的坐标为(9+1)，则有(—)2+(,+1)2=(「+1)2+(/+3『，

整理求得r=-l,

故圆心为(TO),半径7满足[=(.1)2+(f+l)2=4,

则圆的方程为(X+I)'+9=4;

(2)设线段C£>中点"(x,y),C(A,,y),

由£)(4,3)可知再=2x-4,yt=2y-3,

•.•点C在圆(x+l『+y2=4上运动，(2x-4+l)2+(2y-3)2=4,

.♦•加的轨迹方程为(工一()-+(丫一^)=1

【点睛】本题考查了圆的方程的确定及动点轨迹的求解，考查了运算求解能力与转化化归思

想，属于中档题.

例14.(2021•上海•高二专题练习)已知圆C过三个点M(L0),N(3,2),R(5.0).

(1)求圆C的方程；

(2)过原点。的动直线/与圆C相交于不同的A、B两点，求线段A8的中点。的轨迹.

【答案】(1)(x-3)?+y2=4；(2)M的轨迹是以，,0)为圆心，万为半径的圆(点M在圆

C内，不与边界重合).

【分析】(1)设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解；

(2)根据圆的弦中点性质求出Q的轨迹方程后可得轨迹.

【详解】(1)设圆方程为f+/+瓜+甘+尸=0,

1+£>+F=0D=-6

则<9+4+3£>+2E+F=0,解得\E=0,

25+5D+F=0[F=5

所以圆方程为x2—6x+y2+5=0,即(4-3)2-f-y2=4；

(2)由(1)C(3,0),设Q(x,y),则由OQ_LQC得，OQCQ=0,即(x,y)・(x-3,y)=0,

x2-3x+y2=0,（x-1）2+y2.

又。在圆C内部，

33

所以。的轨迹是以（5,0）为圆心，3为半径的圆（点。在圆c内部）.

【点睛】方法点睛：本题考查求圆的方程，考查动点轨迹.已知圆过三点时一般可设出圆的

一般方程，代入三点坐标求出圆的方程，再化为标准方程即可.平面解析几何中的轨迹问

题，可通过求出动点轨迹方程，由方程判断轨迹.当然也可由几何性质判断轨迹.

例15.（2022•上海•高三专题练习）已知aeN’,在平面直角坐标系中，“ABC的三个顶

点坐标分别为A（a,0）,8（-2,2）,C（-3,3）.设AABC的外接圆为

（1）若。=2,求「的标准方程；

（2）求2面积最小时。的值.

【答案】（1）（x-4）2+（y-9）2=85；（2）。=3或a=4.

【分析】（1）由三角形三个顶点坐标求其外接圆，应利用“三角形三边中垂线交点是其外

接圆的圆心”来求解；

（2）思路基本与第（1）问相同，在计算圆面积时利用基本不等式进行分析并求取最值时〃

的值.

【详解】解：（1）;"Z,.IA（2,0）,

又C（-3,3）,

,AB中点0（0,1）,8c中点

线段AB的中垂线乙：y=2x+l,

线段8c的中垂线小y=x+5,

“fy二=2+x+5l叱fx==49即圆心『（/49、）,

而=J（4+2）2+（9-2）2=屏，

「的标准方程：（XT?+（y-9）2=85.

（2）VA（a,0）,B（-2,2）,

AA8中点,1）,

线段AB的中垂线4：y=—X--,

24

由（1）知线段BC的中垂线4：y=x+5,

a2+12

a+2a2—8x=--------

2aHnM、"+12«2+10fl+12

1丁一丁即.即圆心

+10。+12

y=x+5ci~

y=—2o—a

(/+12)2+10〃(/+12)+26/

•••半径

2^

：.S=iiBr2[+")+10(a+U)+26

而a+竺246,当且仅当”=2百时，等号成立，

a

1712

aeN*,3<<4,113+§=4+1，

12

二当。=3或a=4时，“+一有最小值，此时S最小.

a

【巩固训练】

1.已知一个圆经过两点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线/:x—2y—3=0上，求此圆

的方程.

【难度】★

【解析】解：解法一：设点C为圆心，•.•点C在直线/:x-2y-3=0上，

可设点C的坐标为(2a+3,a).又二,该圆经过A、B两点，/.|CA|=|CB|.

7(2a+3-2)2+(a+3)2=7(2a+3+2)2+(a-5)2解得a=-2

：.圆心坐标为C(一1,-2),半径r=M

故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2):IO.

2x+y+4=0x=—1

解法二：AB的中垂线方程为2尢+y+4=0,于是由《‘解得《，故圆心坐标为

x-2y-3=0[y=-2

(-1,-2),半径r=|Aq=JI5,所以圆的的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

2.已知两点R(4,9)、Pz(6,3),求以PR为直径的圆的方程.

【难度】★

【解析】解法1：设圆心为C(a,b),半径为r.由中点坐标公式，得a=5,b=6

22

：.C(5,6),再由两点间距离公式，得r=\CPt\=V(4-5)-t-(9-6)=VTo".

所求的圆的方程为(x-5)°+(y-6)2=10.

解法2：设P(x,y)是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为R(4,9)、P2(6,3),

圆的方程为(x-4)(x-6)+(y-9)(y-3)=0,

化简得(x-5)2+(y-6)2=10,即为所求.

解法3：设P(x,y)是圆上任意一点.由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形，

.1I印内|丹*=|「制2,

A(x-4)2+(y-9)2+(x-6)2+(y-3)2=(4-6)2+(9~3)2,

化简得x2+y2-10x—12y+51=0.(x—5)2+(y—6)2=10,即为所求的圆的方程.

解法4：设P(x,y)是圆上不同于Pi、Pt的任意一点.

,/直径上的圆周角为直角，/.PPi_LPP%(可以用向量)

(1)当PPi、PP2的斜率都存在时，

设为乐、用，贝U有&r&2=-1，，弓•W~=T，

x-o

：,^-\Qx-\2y+5\=Qr

即&-5沁(y6)2=]0(*)

(2)当PPi、PPz的斜率有一个不存在时，PP1,PP?的方程为x=4或x=6,

这时点P的坐标是(4,3)或(6,9),均满足方程(*).

又R(4,9)、Pz(6,3)也满足方程(*),所以，所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10.

3.ZXABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5),求其外接圆的方程.

【难度】★★

【解析】解：设所求圆的方程为x'+y'+Dx+Ey+Fu。，

"-O+5E+F+26=()

由题意得方程组<-2£>-2£+F+8=0

5O+5E+F+5()=0

解得D=—4,E=—2,F=-20.

，AABC的外接圆方程为x2+y2-4x-2y-20=0.

4.圆V+丁=1关于直线x+y-1=0的对称圆的方程为

【难度】★★

【解析】两圆C和C关于直线，对称，可以转化为点对称问题(即圆心。和。'关于直线，对称且

半径相等)，也可以用相关点法来处理，后一种方法更有推广价值

方法L原点关于直线x+y—1=0的对称点为(1,1),所以圆=1关于直线x+y—l=o

的对称圆的方程为(x-I)2+(y-Ip=I

方法2：设法(x',y')是圆'+y2=1上一动点,它关于直线x+y—1=0的对称点为P(x,>),

卫+0一1=0

则22=尸

0.(—1)=—16I

^x-x1

在圆f+j?=1,（1_xy+（i_y）2=j

圆f+y2=1关于直线X+y_1=0的对称圆的方程为(X-I)2+(y-i)2=l

5.求过两圆(X+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点，且圆心在直线y=x—4上的圆的方程。

【难度】★★

【解析】解：已知圆可化为炉+丫2+6%一4=0和/+y2+6y—28=0,设所求圆的方程为

x2+y2+6y-28+A(x2+y2+6x-4)=0,它的圆心坐标为。(—二二,一——),且圆心在直线

1+A1+A

y=x-4±,可得；l=—于是所求圆的方程为V+y2-x+7y-32=0

6、方程。/+。、2一4(4一1卜+4旷=()表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方

程.

【难度】★★

【解析】解：(1)•.N#()时，方程为［x—"S］'+(广2)2=4"-2"+2),

aaa

由于a2-2a+2>0恒成立，

a^O且aGR时方程表示圆.

,c、".a--2r1->/1］、21T

(2)/=4•-----1-a--+--=4［2(-,

a2a22

3~21时,Zmii|2=2.

此时圆的方程为(X—I)2+(y-1)-=2.

考点二：用圆中的几何关系及圆系方程

例1.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1,在满足条

件①、②的所有圆中，求圆心到直线/:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

【难度】★★

［答案］(x_l『+(y_l)2=2或(x+l)2+(y+l『=2.

例2.一圆与y轴相切，圆心在直线x—3产0上，且直线产x截圆所得弦长为2近，求此圆的方

程.

【难度】★★

【解析】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利

用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形”

因圆与y轴相切，且圆心在直线x-3片0上，故设圆方程为(x—36)■(7-«2=9一.

又因为直线产x截圆得弦长为2万,

则有(⑶？I)：+(77)J9/九

解得为±1.故所求圆方程为

2

(x-3)?+(y-1)2=9或(A+3)+(7+1)'=9.

注：在求圆的方程时，应当注意以下几点:

(1)确定用圆的标准方程还是一般方程;

(2)运用圆的几何性质(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r或"E、A；

(3)在待定系数法的应用上，列式要尽量减少未知量的个数.

例3.过直线：2x+y+4=0,且与已知圆/+y2+2x-4y+l=0交点的圆中，求:

(1)过圆点的圆的方程;

(2)有最小面积的圆的方程.

【难度】★★

1317

【解析】(1)圆系方程：k=--,答案：x2+y2+-x-—y=0(2)圆系方程进行配方:

424f

2

卜+(1+k)了+y-(2-1)=；5左2_4左+4,无=»时，r最小，最小值为2q得出答案:

455

I+G6

例4.设圆上的点A(2,3)关于直线广2户0的对称点仍在这个圆上，且与直线『户1=0相交的弦长

为2友,求圆的方程.

【难度】★★

【答案】(x-14)2+(>+7)2=244,(x-6)2+(y+3)2=52,

【巩固训练】

1、已知实数x、y满足方程x2+V—4x+l=0.求

(1)上的最大值和最小值；

X

(2)y—x的最小值；

(3)/+J/的最大值和最小值.

【难度】★★

【答案】(1)knm=y/3,knin=-V3(2)-2-V6(3)7-473,7+473

2、已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线/,使/被圆C截得的弦AB为

直径的圆过原点，若存在，求出直线/的方程;若不存在说明理由。

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】圆C化成标准方程为(X-1)2+(y+2)2=32

假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b)

由于CMJ_1,.*.kcwk/=-1kcM=----=—1»即a+b+l=O,得b=-aT①

a-\

,、(|力一。+3|

直线1的方程为y-b=x-a,即x-y+b-a=OCM=---产——

V2

•••以AB为直径的圆M过原点，.•.=|加百^\OM\

|Affi|2=|CB|2-|CM|2二9-3一丁),|0M|2=a2+b2

...9_S…3尸/+/②

2

3

把①代入②得2〃2—Q—3=0,・・・。=^或。二一1

2

35

当a=—，时。=——,直线1的方程为x-y-4=0：

22

当。=一1,时力=0,直线/的方程为x-y+l=0

故这样的直线1是存在的，方程为x-y-4=0或x-y+l=0

3、在直角坐标系xOy中，以0为圆心的圆与直线：x—Hy=4相切

(1)求圆0的方程

(2)圆0与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|P0|、|PB|成等比数列，求西•丽

的取值范围.

【难度】★★

【解析】(1)依题设，圆0的半径r等于原点0到直线X—百>=4的距离，

即/'二「—二？，得圆。的方程为V+y2=4

V1+3.

(2)不妨设4%,0),8(々,0),西<%2由父=4即得A(-2,0),B(2,0).

设P(x,y),由|PA|,|P0|,PB成等比数列，得J(x+2)2+.-2丫+/=炉+到

即x2_y2=2,~PA~PB=(-2-x,-y)(2-x-y)=x2-4+/=2(/-1)

x+y<4

由于点P在圆。内，故《。、

x+>=2

由此得V<1

所以西•丽的取值范围为［-2,0）.

考点三：圆的方程综合

例1.已知圆G：（x+l）2+（y-l）2=l,圆G与圆C关于直线x-y—l=0对称，则圆G的方程

为.

【难度】★★

【答案】（x-2）2+（y+2）2=l

例2.求与圆V+V=5外切于点p（_i,2）,且半径为2后的圆的方程

【难度】★★

（4+1）2+（。-2）2=（2⑹2

【解析】设所求圆的圆心为C（a,。），则《62

解得：C=~3，所求圆的方程为（x+3>+（y—6>=20

h=6

解法2：设所求圆的圆心为C（a,。），由条件知而=：反：.（一1,2）=：（4,份

一=一3,所求圆的方程为（x+3）2+（y-6/=20

b=6

注：（1）本题采用待定系数法求圆心的坐标，步骤是：寻找圆心满足的条件；列出方程组求解（2）

解法2利用向量沟通两个圆心的位置关系，既有共线关系又有长度关系，显得更简洁明快，值得

借鉴。

例3.如图，已知圆心坐标为（、回,1）的圆M与x轴及直线丁=JIx分别相切于A、B两点，另

一圆N与圆M外切、且与x轴及直线丁=分别相切于C、。两点.

（1）求圆M和圆N的方程；

（2）过点8作直线MN的平行线/,求直线/被圆N截得的弦的长度.

【难度】★★★

【解析】(1)由于OM与NBOA的两边均相切，故M到0A及0B的距离均为0M的半

径，则M在/BOA的平分线上，同理，N也在/BOA的平分线上，

即0,M,N三点共线，且OMN为NB0A的平分线，

VM的坐标为(J5,l),AM到x轴的距离为1,即。M的半径为1,

则。卜1的方程为(工一省)2+。-1)2=1，

设。N的半径为r,其与左轴的的切点为C,连接MA、MC,

由Rtz^OAMsRt/XOCN可知，0M：ON=MA：NC,

即——r=±1nr=3,

3+rr

则0C=3百，则。N的方程为(x-3石尸+(>—3尸=9；

(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被ON截得的弦的长度，此弦的方

程是y=*(x—6),即：x-V3y-V3=O.圆心\到该直线的距离d=立，则弦长=

2“-d?=回.

【巩固训练】

1、已知点—(1,4)在圆C：V+/+2ax—4y+6=0上，点2关于直线x+y—3=0的对称点也在圆

,上，贝ija=,b=.

【难度】★★

【答案】片T,b=l

2、已知圆。、的方程为/+/十(m-2)x+(m+1)y+m-2=0,根据下列条件确定实数m的取值，并写出相

应的圆心坐标和半径。

(1)圆的面积最小；

(2)圆心距离坐标原点最近

【难度】★★

【答'案'•：(HL2)，+(in+l)、4(口】-2)=2而-6m+13>0恒成立,无论勿为何值，方程总表示圆。圆心坐

2-mm+1、…1r~;-

标-----,-------,圆的半径为r=—>j2m~-6771+13。

I22J2

22

I员］的半径最小时，面积最小。广—\12/??—6/71+13—A^2(/??—)+—■->当且仅当/〃二一

22V2242

时，等号成立，此时面积最小。圆心坐标为半径尸'更。

圆心到坐标原点的距离//(tn占+22逑当且仅当赤J■时,距离最近。此时，圆心坐

2V2242

3、若0。1：/+丁2=5与。。2：(》—，〃)2+：/=20(机€/?)相交于八、B两点，且两圆在点A处

的切线互相垂直，则线段AB的长度是

【难度】★★★

【解析】【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。

解析：由题知。1(0,0),。2(叫0)，且又014_1_4。2，所以有

m2=(Vs)2+(2^5)2=25=>zn=±5,；.AB=2♦如=4

4、己知。。方程为x2+>2=4,定点/(4,0),求过点力且和。。相切的动圆圆心的轨迹

【难度】★★★

【解析】分析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，

由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨

迹方程.

解法r设动圆圆心为户(x,y),因为动圆过定点4所以|用|即动圆半径，

当动圆〃与。。外切时，|/犯=|例+2；

当动圆月与。。内切时，\PO\=\PA\-2.

综合这两种情况,得|^|-|^||=2.

将此关系式坐标化，得

在+y2-,(尤―4)2+丁|=2,

2

化简可得(x-2)2—工=1,

3

解法二：由解法一可得动点/，满足儿何关系

|\OP\-PA\|=2,

即〃点到两定点。、力的距离差的绝对值为定值2,所以/，点轨迹是以0、力为焦点，2为实轴长的

双曲线，中心在的中点(2,0),实半轴长年1,半焦距c=2,虚半轴长夕de?-a?=也，所以

轨迹方程为期-2)?一2=1

3

能力提升

一、单选题

1.(2018•上海•华东师范大学第三附属中学高二期中)已知圆的方程是

(X-2)2+(^-3)2=4,则点尸(3,2)()

A.在圆心B.在圆上

C.在圆内D.在圆外

【答案】C

【分析】把点的坐标代入圆标准方程，由(%-4+(%-4与/的大小关系判断

【详解】因为(3-2y+(2-3)2=2<4,所以点睢圆内.

故选：C.

2.(2016•上海•华师大二附中高三期中)圆工2+丁-2》-8'+13=0的圆心至IJ直线

ar+y-l=O的距离为1,则。=

B-4C.至)D.2

【答案】A

试题分析：由f+y2_2x_8y+i3=0配方得(X-1)2+()，-4)2=4,所以圆心为(1,4),因为圆

|«+4-1|

x」+y2-2x-8y+13=O的圆心至I」直线ax+y-l=O的距离为1,所以解得

\la2+12

4

«=,故选A.

【考点】圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关

系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参

数的值或取值范围.

3.(2018•上海•西外高二期末)圆心在轴上，半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为

()

A.x2+(y-l)2=4B.x2+(y-2)2=4

C.x2+（y-3）2=4D.x2+（y-4）2=4

【答案】D

【分析】设圆心的坐标为（OS）,由圆过点（2,4）可列出关于b的方程，解可得6的值，将6的

值代入圆的方程即可得答案.

【详解】根据题意，设圆心的坐标为（。力），

则有（0-2『+（6-4）2=4,解可得b=4,

则圆的方程为l+（y-4）2=4；

故选D.

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题.

4.（2021•上海市控江中学三模）设三角形ABC是位于平面直角坐标系宜刀的第一象限中

的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|P4『+|pB『+|pc|2=|Q4『+|o8|2+|oc/，

己知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】可设P（x，y）,A（%，x）8（々,%），由

|PA|2+|PB|2+|PCf=|OA|2+1OB『+1oc『列出关系式,由尸的轨迹为圆,求出圆心坐标即可

【详解】设P（x,y）,A（%,y）/和%）,c（%%）,由

+|户8『+|PC|2=|OA|2+|OB『+|。丁得：

22222222222

（x-x,）+（y-y,）+（x-x2）+（y-y2）+（x-x3）+（y-y3）=jf,+y,+V+y,+Jf3+y3

展开整理,得3/+3/-2（±+毛+三）8-2（%+%+〉3）y=°•

[x-：（X[+三+三）「+[y—：（%+y2+%）「=%1（玉+%+巧）~+（耳+y2+%厂1・

,j39

•・・圆的圆心坐标为（ga+电+&），g（X+%+%）），为三角形A8C的重心.

故选C

【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，重心坐标公式的应用，计算量偏大，化简时需进行

整体代换，简化运算难度，属于中档题

5.（2020•上海•高二课时练习）由直线y=x+l上的点向圆（*-3）2+y2=i作切线，则切线

长的最小值为（）

A.1B.y/lC.2播D.3

【答案】B

【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值.

【详解】切线长的最小值是当直线y=x+i上的点与圆心距离最小时取得,

圆心（3,0）到直线的距离为"=坦关」=2上,

圆的半径为1,

故切线长的最小值为序，=后斤=后，

故选:B.

【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题.

二、填空题

6.（2020•上海市市北中学高二阶段练习）圆（x-2『+y2=4关于原点对称的圆的方程为

【答案】（X+2）2+/=4

【分析】由圆的方程确定圆心和半径，求得圆心关于原点对称的点即为所求圆的圆心，半径

不变，由此可得所求圆方程.

【详解】由圆的方程知其圆心为（2,0）,半径/'=2；

则其关于原点对称的圆的圆心为（-2,0）,半径为2，

所求圆的方程为："+2）2+丁=4.

故答案为：（x+2y+y2=4.

7.（2021•上海市延安中学高二期末）圆x2+V+2x=0的圆心坐标是

【答案】（-1,0）

【分析】将圆的方程化为标准方程形式即可得到圆心坐标.

【详解】由/+产+2》=0,可得（x+iy+y2=]

所以其圆心坐标为（-1,0）

故答案为：（-L0）

8.（2020•上海市实验学校高二期中）圆心在直线y=-x+】上，且与直线x+y-2=0相切

于点（1,1）的圆的方程是

【答案】（Tj+（），一步；

【分析】假设圆心坐标，利用切点可构造方程求得圆心坐标，进而确定半径，由此得到圆的

方程.

【详解】设所求圆的圆心为（a,-a+i）,则圆心与（1」）连线与直线x+y-2=o垂直，

故答案为:

9.（2020•上海•华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为x+y=-l,

2x-y=l,2x+y=3,则三角形的外接圆方程为

【答案】%2+/-7x+3y+2=0

【分析】先由三条直线两两联立，求出三角形的三个顶点坐标，再设所求圆的•般方程，根

据待定系数法，即可求出结果.

x+y=—1x=Ox+y=—1,x=4

【详解】由解得;由2'二3解得

)=T)=一5

2x—y=]x=l

由解得

2x+y=3)=1

根据题意,可得所求圆的方程过点（0,-1）,（4,-5）,（1,1）,

设所求圆的方程为丁+丁+6+同+F=O,

l-£+F=()D=-7

则416+25+4Q-5E+F=0,解得＜E=3,

1+1+O+E+尸=0F=2

即所求圆的方程为£+y-7x+3y+2=0.

故答案为：X2+/-7X+3>-+2=0.

【点睛】方法点睛：求圆的方程时，可用待定系数求解，先设圆的标准方程或•般方程，根

据题中条件（圆心与半径满足的条件；圆所过点的坐标等）列出方程，求出待定系数，即可

得出所求圆的方程.

10.（2018•上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）直径的两个端点是（3,2）、（-1,4）的

圆的标准方程为

【答案】（x-l）2+（y-3）2=5.

【分析】根据两端点的坐标，求得圆的圆心坐标和半径，即可求得圆的标准方程.

【详解】由题意，两个端点是（3,2）、（-1,4）,

可得中点坐标为（当