2022年广东省深圳市高考数学押题试卷及答案解析

2022年广东省深圳市高考数学押题试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）设集合4={x|2*V，,集合B={x|y=/g（f+2x-3）},则AD（CRB）=（）

A.（…，-3）B.（-1,+8）C.[-3,1]D.[-3,-1）

2.（5分）设复数z满足|z-2i|=l,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（）

A.1B.V3C.V5D.3

3.（5分）已知向量之=（2,2V3）,若（之+3了）±a,则》在[上的投影是（）

3344

--C--

A.4B.430.3

4.（5分）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题满讲比赛,

经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现

采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的

概率为（）

5

D.—

14

5.（5分）已知函数/（x）=7・log2|x|,其图象可能是（）

6.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除

问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺

序排成一列，构成数列{〃”},则数列仅"}各项的和为（）

A.137835B.137836C.135809D.135810

7.（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力,

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取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人

类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水

车，一个水斗从点4（3,-3我）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时

120秒.经过f秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足y=/（t）=

Rsin（a）t+（pXt>0,a）>0,\（p\<^）,则下列叙述正确的是（）

A

A71

A-9=飞

B.当正［0,60］时，函数单调递增

C.当1=100时，|网=6

D.当正［0,60］,\f（/）|的最大值为3百

8.（5分）已知数列｛的｝的前“项和为S”,且“1=2,an+i=Sn,若如€（0,2020）,则称项

an为“和谐项”，则数列｛“”｝的所有“和谐项”的平方和为（）

111811141I。81I24

A.-x411+-B.-x411--C.-x410+-D,-x412--

33333333

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知0<a<6Vl<c,则下列不等式一定成立的是（）

A.ac<bcB.

C.logoc>log/?cD.sinc>sint7

（多选）10.（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，

发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻

技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水

稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线

（XT00）

A.该地水稻的平均株高为lOOc/M

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B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在\20cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（单位：cm）的概率一样

大

（多选）11.（5分）在菱形A8CQ中，AB=2,ZABC=60°,将菱形ABC。沿对角线AC

折成大小为。（0e（0°,180°））的二面角B-AC-。，四面体ABC。内接于球。，下

列说法正确的是（）

A.四面体48co的体积的最大值是1

B.无论。为何值，都有A8LOC

C.四面体ABC。的表面积的最大值是4+2百

52V137T

D.当。=60°时，球。的体积为-------

81

（多选）12.（5分）已知函数f（x）=2X—logix,且实数a,b,c（«>Z?>c>0）满足/（a）

2

f（b）/（c）<0.若实数xo是函数），=f（x）的一个零点，那么下列不等式中可能成立的

是（）

A.xo<aB.xo>aC.xo<hD.xo<c

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已如直线/的斜率为且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程

6

为.

14.（5分）若Q4+l）（x+¥）6的展开式中/的系数为224,则正实数〃的值为______.

y[X

15.（5分）请写出一个函数/（l）=,使之同时具有如下性质：@VxGR,f（x）=

/（4-x）,@VxER,f（x+4）=f（x）.

16.（5分）在棱长为1的正方体A8CQ-AIBICIOI中，M,N分别是ACi,AiBi的中点，

点P在其表面上运动，使MP与垂直，则线段8P的最大值是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

bcosB1

17.(10分)在@_=----，@2bsinA=atanB,(3)(a-c)sinA+csin(A+B)=6sin8这

a'JSsinA

三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若.

(1)求角8；

(2)若a+c=4,求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.

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18.(12分)已知递增等比数列｛的｝的前w项和为S”,且及=2,53=7.

(1)求数列｛“”｝的通项公式；

(2)令bn=nan,求数列出"｝的前"项和7”；

nn

(3)记0=3-2-(-l)2an(A丰0),是否存在实数人使得对任意的〃eN*,恒有c.i

>cn?若存在，求出入的取值范围；若不存在，说明理由.

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19.(12分)在四棱锥尸-ABCQ中，平面ABCC_L平面PCD,底面ABC。为梯形，AB//

CD,AD1DC,且AB=1,AD=DC^DP^2,ZPDC=120°.

(I)求证：ADIPC,

(ID求二面角尸-A8-C的余弦值；

(Ill)若”是棱以的中点，求证：对于棱BC上任意一点F,M尸与尸C都不平行.

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20.（12分）某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十

万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令网,%=/〃”,得到相

关数据如表所示：

£旦两明鹉%—鹉.

30.5151546.5

,年利涧额/千万元

10-

8.

6・0

尔・•

2：

也~24681012141618202224262830号广告费用/十万元

（1）从①y=bx+a；@y—m,xk（tn>0,k>0）；③yucf+dr+e三个函数中选择一个作为

年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由;

（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程;

（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）

10,

参考数据：—«3.6788,3.67883,49.787.

e

参考公式：回归方程y=3+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=

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%2y2A/3

21.（12分）己知椭圆C：—+—=1（a>Z>>0）的离心率为一，直线x—y+V5=0与

a2b23

椭圆C有且只有一个公共点.

（I）求椭圆C的标准方程

（II）设点4（一百，0）,8（遮，0）,P为椭圆C上一点，且直线以与P8的斜率乘积为

一|,点M,N是椭圆C上不同于A,B的两点，且满足”〃OM,BP//ON,求证：△

OMN的面积为定值.

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22.(12分)己知函数/(无)="-ei-asinx,。>0,其中e是自然对数的底数.

(1)当比>0,/G)>0,求。的取值范围；

e%—?-%一久+工

(2)当x>l时，求证：------------>sinx-sin(/nx).

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2022年广东省深圳市高考数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)设集合4={x|2"V、,集合8={x|y=/g(/+2x-3)},则AC(CRB)=()

A.(-8,-3)B.(-1,+8)C.[-3,I]D.I-3,-1)

解:由已知可得集合4={x|xV-1},

令7+2x-3>0,解得x>l或x<-3,所以集合8={小>1或x<-3},

则CR3={X|-3WxWl},

所以4。(CRB)=[-3,-1),

故选：D.

2.(5分)设复数z满足|z-2i|=l,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()

A.1B.V3C.V5D.3

解:因为|z-因=1,

故复数z对应的点Z的轨迹是以C(0,2)为圆心，1为半径的圆，

又OC=2,

所以在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是2+1=3.

故选：D.

3.(5分)已知向量之=(2,2V3),若G+3%)la,则了在盘上的投影是()

3344

A.-B.C.-D.一；

4433

解：•日|=4,(a+3b)La,

—>TT—TTTT

/.(a+3Z?)•a=a?+3。•b=16+3a•b=0,

♦-・Q-•；b一=—16

TT

—tCL-b4

.♦.b在a上的投影是

|a|3

故选：D.

4.(5分)清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题满讲比赛，

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经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现

采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的

概率为（）

5795

A.—B.—C.—D.—

12121414

解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，

采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，

基本事件总数〃=“武=241920,

其中高一3人不相邻包含的基本事件个数m=AjA1Al=86400,

工高一年级3人不相邻的概率P===黑爆

故选：D.

5.（5分）已知函数/（x）=x2,log2|x|,其图象可能是（）

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D.VIV

解：根据题意,函数/（x）=/Tog2|x|,其定义域为｛x|x#O）,

则，（-x）=JC2,log2|x|=/（X）,即函数/（X）为偶函数，排除8C,

当X-+8时，f（x）为增函数且增加得越来越快，排除O,

故选：A.

6.（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题.现有这样一个整除

问题：将1到2021这2021个正整数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺

序排成一列，构成数列则数列｛板｝各项的和为（）

A.137835B.137836C.135809D.135810

解：由于数列中的数能被3除余1且被5除余1的数，

故an=15n-14,

当〃=135时，0135=15X135-14=2011,

135x(1+2011)

所以品=135810.

故选：D.

7.（5分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，

取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于随而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人

类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水

车，一个水斗从点4（3,-3百）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时

120秒.经过r秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为（x,y）,其纵坐标满足y=f（t）=

Rsin（a）t+<p｝（t>0,&）>0,\（p\则下列叙述正确的是（）

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A71

A-程=飞

B.当正［0,60］时，函数y=/(f)单调递增

C.当f=100时，\PA\=6

D.当怎［0,60］,\f(/)|的最大值为3国

解：由题意，R=〔32+(-36)2=6,T=120,

所以3=爷=看；

又点力(3,-3V3)代入/(x)可得一3V5=6s讥9，

解得sintp=一空；

又附法，所以9=一全故A错误；

77"ITJTTCIt271

所以/«)=6s讥(前£一百)，当/日0,60］时，77t-；W［-二，—］,所以函数/(x)先

ouJ60363

增后减，故8错误；

7T714-7T

当1=100时，—t-,P的纵坐标为y=-36，横坐标为x=-3,所以

6033

=|-3-3|=6,故C正确.

正［0,60］时，点尸到x轴的距离的最大值为6,故。错误；

故选：C.

8.(5分)已知数列｛“"｝的前〃项和为S”，且G=2,a”+i=Sn,若(0,2020),则称项

an为“和谐项”，则数列｛“”｝的所有“和谐项”的平方和为()

=

解：因为an+\=Sn,所以G?=S〃-1(几22),则an-F1~ClnSn"Sn-h即dn+\-Cln=Cln,

Cln+1=2〃八，

所以一2(n>2),因为—2,所以及一Si—-a\=2,

an

(271-1,n>2

故册=(,

｛,2,n=1

因为(0,2020),所以1W后11,

于是数列｛3｝的所有“和谐项”的平方和为：

4(l-410).^4U-41

+及+…+"o+Q，=4+4+42+…+41°=4"1-4=4+3=3X

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4n+|.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知0<a<6<l<c,则下列不等式一定成立的是（）

A.ac<bcB.c0<?

C.logac>logfecD.sinc>sina

解：对于4,基函数y=£在（0,1）上是增函数，

,：0<a<b<l<c,：.ac<bc,故A正确，

对于8,指数函数y=F在（0,1）上是增函数，

\'0<a<b<1<c,:,故B正确，

l11

对于C,Vlog（«<logc/?<0,09aC=j^~^>logbc=

.*.IOgaC>lOg/,C,故C正确，

对于。，令c=n,。=$满足0<a<人<l<c,但sinc<sina,故。错误.

故选：ABC.

（多选）10.（5分）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,

发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻

技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水

稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：服从正态分布，其密度曲线

1（x-100）2

函数为/（"）=旃院^-xe（-oo,+oo）,则下列说法正确的是（）

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大

D.随机测量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（单位：cvn）的概率一样

-I（x-100）2

解：由正态分布密度曲线函数为/'（%）=7^=e200—,x€（-00,+oo）,

10VZ7T

得n=100,O=10.

...该地水稻的平均株高为E（X）=100cvn,故A正确;

第14页共26页

该地水稻株高的标准差。=10,方差为100,故8错误；

11

■:P(X>120)=^[1-P(n-2o<X<H+2G)]=^(1-0.9544)=0.0228,

iI

P(X<70)=卦-P(R-3。<X<n+3o)]=i(1-0.9974)=0.0013,

.•.随机测量-一株水稻，其株高在120a”以上的概率比株高在70°”以下的概率大，故C

正确；

P(80<X<90)="(H-2o<X<|i+2o)-P(|i-o<X<|i+o)]

=1(0.9544-0.6826)=0.1359,

P(100<X<110)=(H-O<X<|i+o)J=1x0.6826=0.3413.

随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率不一样

大，

故。错误.

故选：AC.

(多选)11.(5分)在菱形ABCD中，AB=2,NABC=60°,将菱形A8CD沿对角线AC

折成大小为。(0G(0°,180°))的二面角B-AC-O,四面体ABC。内接于球。，下

列说法正确的是()

A.四面体ABCD的体积的最大值是1

B.无论。为何值，都有4BJ_0c

C.四面体ABC。的表面积的最大值是4+28

52-/137T

D.当e=60°时，球。的体积为-------

81

解：对于A选项，：AC=AB=2,/ABC=60°,则△ABC为等边三角形，

取AC的中点E,则3ELAC,

同理可知，△AC。为等边三角形，

故DE±AC,且BE=DE=2s讥60°=遮，ShABC=•BE=遮，

设二面角B-AC-D的平面角为0=NBED,设点D到平面ABC的距离为d,

则d=DEsind—Visin',VD-ABC=,d=XV3X痘sin。—sinO<1,

当且仅当。=90°时，等号成立，即当。=90°时，四面体ABCC的体积的最大值是1,

故A正确；

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对于8选项，取AB中点F,连接CF,

若AB_LCZ),

因为A8_LCF,C£>nCF=C,

所以AB_L平面CO凡从而ABJ_DF,DB=DA,

而DB,D4不一定相等，故8错误；

对于C选项，SAACD=SA.BC=C，

"：AB=AD=BC=CD,BD=BD,

:.△ABDZACBD,

所以，S^CBD=S^ABD—aAB-ADsinZ.BAD=2sin乙BAD<2,

因此，四面体ABCQ的表面积的最大值是2xW+2x2=4+2g,C选项正确;

1/o

对于。选项，设M、N分别为△”(?、△AC。的外心，则EN=EM=”E=号

在平面BDE内过点M作BE的垂线与过点N作DE的垂线交于点0,

\'BE1AC,DEYAC,BECDE=E,

平面BDE,

平面BDE,

J.OMLAC,

,：0M1.BE,BEHAC^E,

平面ABC,同理可得ON_L平面ACC,

则0为四面体ABCD的外接球球心，

连接。E,,:EM=EN,OE=OE,NOME=NONE=90°,

a

:.△OMEQlXONE,所以，Z.OEM=萱=30。，

VAC±¥ffiBDE,OEu平面BOE,

OELAC,

：.OA=y/OE2+AE2=孚，即球0的半径为R=孚，

因此，球。的体积为以=基内=安髻兄力选项正确.

DOi

故选：ACD.

第16页共26页

(多选)12.(5分)已知函数/(x)=2X—logix,且实数a,b,c(a>b>c>0)满足/(a)

2

f(b)/(c)<0.若实数刈是函数)，=/(x)的一个零点，那么下列不等式中可能成立的

是()

A.xo<aB.xo>aC.xo<bD.xo<c

解：根据题意，函数/'(x)=2*-/ogix=2*+log2x,其定义域为(0,+°°),

2

函数y=2*和y=log»都在(0,+°°)为增函数，则函数/(x)在(0,+°°)上为增函

数，

因为实数a,b,cCa>b>c>Oy)满足/(“)f(6)f(c)<0,

则f(a),f(b),f(c)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0,

如图.则A,B,C可能成立，%o>c,。不可能成立.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已如直线/的斜率为之且和坐标轴围成的三角形的面积为3,则直线/的方程

6

为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

第17页共26页

解：根据题意，设直线/的方程为X一+5V=1,

ab

所以强1=3,且—[J解得仁丁或｛；：)

XX

所以直线/的方程为三+y=1或&一y=1,即尤-6)；+6=0或X-6y-6=0.

故答案为：x-6)：+6=0或x-6厂6=0.

14.(5分)若(%4+l)(x+/)6的展开式中/的系数为224,则正实数4的值为2

,,1

6的展开式的通项公式为Tf=C^6'V(X-3)r,

解:(X+卷)

所以r=3时，得到小的系数为C初3=20",

r=6时，得到/2的系数为c各6=小,

从而(%4+1)(%+，)6的展开式中X2的系数为6!6+206Z3=224,

V%

解得“3=8或a3=-28,

所以正实数。的值为2.

故答案为：2.

TI-

15.(5分)请写出一个函数f(x)=cos-A_,使之同时具有如下性质：①VxWR,f(x)

=/(4-x),@VxGR,/(x+4)=f(x).

解：性质①：VxGR,f(x)=/(4-x),故函数/(x)关于直线x=2对称，

性质②：VxGR,/(x+4)=f(x),故函数/(x)的周期为4,

考虑同时具有对称性和周期性的函数，常见的是三角函数，

71

故f(x)=COS&X(答案不唯一).

故答案为：COS^X.

16.(5分)在棱长为1的正方体A8CQ-4BC1O1中，M,N分别是AC,AiB的中点，

点P在其表面上运动，使MP与BN垂直，则线段2P的最大值是—.

-4-

解：如图所示，

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Cl

分别取881,CCj的中点E,F,连接AE,EF,FD,

则8NJ_平面AEFD,

过点M作平面a,使a〃平面AEFD,

则平面a与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，

其周长与矩形AEFD的周长相等，故BP的最大值为每，

4

故答案为：一V33

4

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

bcosB]

17.(10分)在@—=-^=----,②2bsin4=man8,③(a-c)sinA+csin(4+B)=bsinB这

ayJ3sinA

三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若.

(1)求角B；

(2)若a+c=4,求AABC周长的最小值，并求出此时AABC的面积.

解：若选①：

bcosB+1_

(1)因为一=—，由正弦定理可得：遮sin8sin4=sinAcos8+sirL4,

ayJ3sinA

因为A为三角形内角，siM#0,

所以V^sinB=cos5+l,可得：2sin(B—5)=1,即sin(B—5)=i,

ooZ

因为3E(0,ii),可得3—(—5,),可得3—

。。6oo

所以可得5=不

(2)Vh2=a2+c2,-2accosB=(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=\6-序,

a+c

・・・16-庐〈3(——)2,解得622,当且仅当。=‘=2时，取等号，

2

1

：.hmin=2,ZUBC周长的最小值为6,此时，AABC的面积S=*acsinB=6.

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若选②：

(1)2/?sinA=atanB,

2bs\nA=0'呻,由正弦定理可得2sin8sinA=sinA・2—,

cosBCOSB

,:sinA#O,

，可得cosB=2»

■:BE(0,Ti),

•・•RB—-—3-

2222

(2)b=a+c-2accosB=(«+c)-3ac=l6-3acf即3加=16-序，

a+c

：.16-b2^3(——)2,解得人》2,当且仅当”=c=2时，取等号，

2

；.而讥=2,"如周长的最小值为6,此时，△A8C的面积S=%rcsinB=遮.

若选③：

(1)因为(a-c)sinA+csin(A+B)=bsinB,

所以(a-c)sinA+csinC=bsinB,

由正弦定理可得：(a-c)a+c2=h2,整理可得：a^c2-h2=ac,

由余弦定理可得cosB=上留=洗J

因为56(0,TT),

所以

(2)"."tP'—c^+c1-2accosB—(a+c)2-3ac=16-3ac,即3ac=16-/,

Q+C

.-.16-/>2<3(—)2,解得当且仅当n=c=2时，取等号，

：.bmin=2,△ABC周长的最小值为6,此时，△ABC的面积S=&csinB=b.

18.(12分)已知递增等比数列｛4“｝的前〃项和为S”,且及=2,53=7.

(1)求数列｛“〃｝的通项公式；

(2)令b"=na”,求数列出”｝的前〃项和T”；

nn

(3)记金=3-2-(-l)Aan(A*0),是否存在实数人使得对任意的“eN*,恒有c%+i

>Cn?若存在，求出入的取值范围；若不存在，说明理由.

解：(1)设等比数列｛板｝的公比为q,由已知条件可知q>0.

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｛g==2

S3=ai(l+q+q2)=7,

q>0

“"汨他=1T产=4

解得>，或｛1>

匕=2u=2

若m=l,4=2,则册=%勺吩1=2"-1,此时，数列｛“”｝为递增数列，合乎题意；

若m=4,q=$则即=ad-1=4•(扔二此时，数列｛"”｝为递减数列，不合乎题意.

nr

综上所述，an=2-.

n1

(2)由(1)得：bn=n-2-,

则Tn=1.2°+2«2l+3»22+—+/?«2nl,

①2〃=1•21+2•22+•••+(n-1)-2"T+n-2n,②

由②-①得：7；=n-2n-(l+2+22+-+2”T)=n-2n-=(n-l)-2n+l.

nnnn

(3),：cn=3-2•(-l)Aan=3-(—1)31-2,

n+1nn+1

•,.cn+1=3+(-l)-A-2.

XVcn+l>Cn,

/.3n+,+(-1)nA-2n+l>3n-(-1)92",即3nl+(-1)nA-2nl>0.

当〃为偶数时，3"。入2"r>0,则2>—(|)吁1,，；1>-右

当〃为奇数时，3".1-入2"一1>0,则;lV$)nT,...入VI.

综上：一卷。<1,且入WO.

故人的取值范围是(一参0)U(0,1).

19.(12分)在四棱锥P-ABCQ中，平面ABCD_L平面PCQ,底面ABC。为梯形，AB//

CD,AD1DC,且A8=l,AD=DC^DP=2,NPDC=120°.

(I)求证：ADIPC；

(II)求二面角P-AB-C的余弦值；

(III)若M是棱布的中点，求证：对于棱2c上任意一点F,与PC都不平行.

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p

AH

(1)证明：•.•平面A8CD_L平面PCD,平面A8C£>n平面PCD=CD,AOu平面ABCD,

AD1.DC,

.•.AO_L平面PC。，

：PCu平面PCD,

PC；

(II)解：在平面PCD内过点D作DHLDC,交PC于H,

由(I)知，AQ_L平面PQC,O4u平面尸OC,

J.ADLDH,

：.AD,CD,。，两两垂直，

以。为原点，DA,DC,。”所在直线分别为x,»z轴，建立空间直角坐标系，如图所

示，

则D(0,0,0),P(0,-1,遮)，A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),

：Z)H_L平面ABC。，

平面48CD的一个法向量为%=(0,0,1),

又易=(2,1,-V3),PB=(2,2,-V3),

设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z),

m■PA=2x+y-V3z=0

TT.—

.m-PB=2x+2y—V3z=0

取z=2,则加=(V3,0,2),

.j、n-m22\[7

.•cos<n,m>=—~—=-7==

|n|-|ni|V77

由题意可知，二面角尸-AB-C为锐角,

二面角P-A8-C的余弦值为一二；

(III)证明：假设BC上存在点F,使得MF〃尸C,

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设正'=4品，入日0,1],

1V3

依题意可知，M（1,-4，一）,

22

则立=（-2,1,0）,BF=（-2A,入，0）,

所以F（2-2A,1+A,0）,

故忌=（1-2A,|+九一堂），PC=（0,3,-V3）,

rl-2A=0

则+〃，此方程组无解，故假设不成立，

一空=一廊

•••对于棱BC上任意一点尸，MF与PC都不平行.

20.（12分）某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十

万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui=lnxi,vi=lnyi,得到相

关数据如表所示：

UiVi鹉%鹉.

30.5151546.5

,年利润额/千万元

10

8

6・*

小・•

2：

9—24681012141618202224262830广告费用/十万元

（1）从①y=6x+a；②（w>0,k>0）；③y=c/+"c+e三个函数中选择一个作为

年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；

（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；

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（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）

JLUo

参考数据：—«3.6788,3.67883~49.787.

e

参考公式：回归方程y=3+br中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=

Ejli-y）--

-------------—,a=y-bt.

解：（1）由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲

线型的，所以选择回归类型y=〃「小更好.（3分）

（2）对y=〃rX’两边取对数，得出y=lrm+klnx,即u=/〃〃?+%”，（4分）

E昌叫以一10面30.5-10x1.5x1.51

由表中数据得，k=,（6分）

£［。］〃?—10正246.5—10x1.5x1.53

所以"m=万一左五=1.5—可x1.5=1,所以m=e,（7分）

所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=e-%3.（8分）

（3）由（2）,知、=?・记，

11in1

令、=?.依>10,得得送>3.6788,（10分）

所以x>3.67883比49.787,（11分）

所以x七49.8