对数函数综合应用

对数函数综合应用1．函数f〔x〕是定义在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕=log2x〔1〕求当x＜0时，求函数f〔x〕的表达式〔2〕假设g〔x〕=2x〔x∈R〕集合A={x|f〔x〕≥2}，B={x|g〔x〕≥16或}，试判断集合A和B的关系．2．函数f〔x〕=loga〔x+2〕，〔1〕假设函数f〔x〕的图象经过M〔7，2〕点求a的值；〔2〕假设a=3，x∈〔1，25]，求值域，并解关于x的不等式f〔x〕≤﹣1．〔3〕函数f〔x〕的反函数过定点P求P点坐标．3．〔1〕设不等式2〔〕2+9+9≤0时，求的最大值和最小值．〔2〕设f〔x〕=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．4．函数f〔x〕=loga〔x+1〕，g〔x〕=loga〔1﹣x〕〔a＞0，且a≠1〕，且h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕．〔1〕求函数h〔x〕的定义域；〔2〕判断函数h〔x〕的奇偶性，并说明理由；〔3〕求不等式f〔x〕＞g〔x〕的解集．5．函数f〔x〕=．〔1〕当m=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥2的解集是R，求m的取值范围．6．函数f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕〔1〕假设f〔1〕=1，求f〔x〕的单调区间；〔2〕是否存在实数a，使f〔x〕的最小值为0？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由．7．函数，对定义域内的任意x都有f〔2﹣x〕+f〔2+x〕=0成立．〔1〕求实数m的值；〔2〕当x∈〔b，a〕时，f〔x〕的取值范围恰为〔1，+∞〕，求实数a，b的值．8．函数f〔x〕=〔a＞1〕．〔1〕求f〔x〕的定义域、值域，并判断f〔x〕的单调性；〔2〕解不等式f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕．9．设f〔x〕=ln〔|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3〕〔m∈R〕〔Ⅰ〕当m=1时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设当1，f〔x〕≥0恒成立，求实数m的取值范围．10．设函数f〔x〕=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm在区间[1，+∞〕上有解，求实数a的取值范围．对数函数综合应用参考答案与试题解析1．函数f〔x〕是定义在〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕=log2x〔1〕求当x＜0时，求函数f〔x〕的表达式〔2〕假设g〔x〕=2x〔x∈R〕集合A={x|f〔x〕≥2}，B={x|g〔x〕≥16或}，试判断集合A和B的关系．解：〔1〕∵函数f〔x〕为奇函数∴f〔﹣x〕=﹣f〔x〕∵当x＞0时，f〔x〕=log2x∴当x＜0时，f〔x〕=﹣f〔﹣x〕=﹣log2〔﹣x〕〔2〕∵log2x≥2，解得﹣≤x＜0或x≥4∴集合A={x|x≥4或﹣}，依题意2x≥16，解得x≥4或x≤﹣4，≤2x≤1解得﹣≤x≤0∴集合B={x|x≥4或﹣}，∴A是B的真子集；2．函数f〔x〕=loga〔x+2〕，〔1〕假设函数f〔x〕的图象经过M〔7，2〕点求a的值；〔2〕假设a=3，x∈〔1，25]，求值域，并解关于x的不等式f〔x〕≤﹣1．〔3〕函数f〔x〕的反函数过定点P求P点坐标．解：〔1〕函数f〔x〕的图象经过M〔7，2〕点，那么有loga〔7+2〕=2，解得：a=3，〔2〕假设a=3，函数f〔x〕=log3〔x+2〕，当x∈〔1，25]时，3＜x+2≤27，∴1＜log3〔x+2〕≤3，即y∈〔1，3]，所以函数f〔x〕的值域为〔1，3]．又不等式f〔x〕≤﹣1⇔不等式log3〔x+2〕≤log3⇔0＜x+2≤⇒﹣2＜x≤﹣．∴不等式的解为：﹣2＜x≤﹣．〔3〕函数f〔x〕=loga〔x+2〕，当x=﹣1时，y=0，依题意，点〔﹣1，0〕在函数f〔x〕=loga〔x+2〕的图象上，那么点〔0，﹣1〕在函数f〔x〕=loga〔x+2〕的反函数的图象上那么P点的坐标为〔0，﹣1〕．3．〔1〕设不等式2〔〕2+9+9≤0时，求的最大值和最小值．〔2〕设f〔x〕=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．解：〔1〕、∵不等式2〔〕2+9+9≤0，∴，∴．∴．∴=〔log2x﹣1〕•〔log2x﹣3〕=〔log2x〕2﹣4log2x+3=〔log2x﹣2〕2﹣1．故当log2x=2时，的最小值是﹣1；当log2x=0时，的最大值是3．〔2〕、①证明：∵f〔x〕=|lgx|，f〔a〕=f〔b〕，∴|lga|=|lgb|．∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴﹣lga=lgb，故a＜1＜b．②证明：∵﹣lga=lgb，∴，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴．∵，∴，∴．∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b﹣b2＜3．4．函数f〔x〕=loga〔x+1〕，g〔x〕=loga〔1﹣x〕〔a＞0，且a≠1〕，且h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕．〔1〕求函数h〔x〕的定义域；〔2〕判断函数h〔x〕的奇偶性，并说明理由；〔3〕求不等式f〔x〕＞g〔x〕的解集．解：〔1〕f〔x〕+g〔x〕=loga〔x+1〕+loga〔1﹣x〕．假设要上式有意义，那么，即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}〔2〕由于h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，那么h〔﹣x〕=f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=loga〔﹣x+1〕+loga〔1+x〕=h〔x〕．所以h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕是偶函数．〔3〕f〔x〕＞g〔x〕，即loga〔x+1〕＞loga〔1﹣x〕．当0＜a＜1时，上述不等式等价于解得﹣1＜x＜0．当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．5．函数f〔x〕=．〔1〕当m=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥2的解集是R，求m的取值范围．解：〔1〕由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣3〕∪〔4，+∞〕；〔2〕不等式f〔x〕≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|〔x+1〕﹣〔x﹣2〕|=3，∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是〔﹣∞，﹣1]．6．函数f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕〔1〕假设f〔1〕=1，求f〔x〕的单调区间；〔2〕是否存在实数a，使f〔x〕的最小值为0？假设存在，求出a的值；假设不存在，说明理由．解：〔1〕∵f〔x〕=log4〔ax2+2x+3〕且f〔1〕=1，∴log4〔a•12+2×1+3〕=1⇒a+5=4⇒a=﹣1可得函数f〔x〕=log4〔﹣x2+2x+3〕∵真数为﹣x2+2x+3＞0⇒﹣1＜x＜3∴函数定义域为〔﹣1，3〕令t=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4可得：当x∈〔﹣1，1〕时，t为关于x的增函数；当x∈〔1，3〕时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1∴函数f〔x〕=log4〔﹣x2+2x+3〕的单调增区间为〔﹣1，1〕，单调减区间为〔1，3〕〔2〕设存在实数a，使f〔x〕的最小值为0，由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．∴⇒⇒a=因此存在实数a=，使f〔x〕的最小值为0．7．函数，对定义域内的任意x都有f〔2﹣x〕+f〔2+x〕=0成立．〔1〕求实数m的值；〔2〕当x∈〔b，a〕时，f〔x〕的取值范围恰为〔1，+∞〕，求实数a，b的值．解：〔1〕由条件得：∴〔m2﹣1〕x2=0对定义域内的任意x成立∴m2﹣1=0∴m=1或m=﹣1当m=1时不成立∴m=﹣1〔2〕由f〔x〕的取值范围恰为〔1，+∞〕，当0＜a＜1时，x∈〔b，a〕的值域为〔0，a〕，函数在x∈〔b，a〕上是减函数，所以，这是不可能的．当a＞1时，x∈〔b，a〕的值域为〔a，+∞〕，所以，函数在x∈〔b，a〕上是减函数，并且b=3所以，，解得综上：，b=38．函数f〔x〕=〔a＞1〕．〔1〕求f〔x〕的定义域、值域，并判断f〔x〕的单调性；〔2〕解不等式f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕．解：〔1〕为使函数有意义，需满足a﹣ax＞0，即ax＜a，又a＞1，∴x＜1，即函数定义域为〔﹣∞，1〕．又由＜logaa=1，∴f〔x〕＜1，∴函数的值域为〔﹣∞，1〕．设x1＜x2＜1，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕=﹣=＞loga1=0，即f〔x1〕＞f〔x2〕．∴f〔x〕在〔﹣∞，1〕上是减函数．〔2〕设y=，那么ay=a﹣ax，∴ax=a﹣ay，∴x=．∴f〔x〕=的反函数为f﹣1〔x〕=〔x＜1〕．由f﹣1〔x2﹣2〕＞f〔x〕，得f〔x2﹣2〕＞f〔x〕，∴解得﹣1＜x＜1．故所求不等式的解为{x|﹣1＜x＜1}．9．设f〔x〕=ln〔|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3〕〔m∈R〕〔Ⅰ〕当m=1时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设当1，f〔x〕≥0恒成立，求实数m的取值范围．解：〔I〕由题设知：|x﹣1|+|x﹣2|﹣3＞0，∴①，或②，或③．解①可得x＞5，解②可得x∈∅，解③可得x＜0．不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为〔﹣∞，0〕∪〔5，+∞〕．〔II〕不等式f〔x〕≥0即|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3≥0，即m≥．∵1，∴m≥==1+，即m≥1+．由于函数y=1+在[1，]上是增函数，故当x=1时，y取得最小值为2；当x=时，y取得最大值为5，由题意可得，m大于或等于y的最大值5，故m的取值范围是[5，+∞〕．10．设函数f〔x〕=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm在区间[1，+∞〕上有解，那么实数a的取值范围是a．解：不等式f〔x〕＞〔x﹣1〕lgm，即lg＞lgmx﹣1，∵常用对数的底10＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+〔